浙江省金华市卓越联盟2023-2024学年高一下学期5月阶段性模拟考试数学试题
1．（2024高一下·金华期中）已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．-i
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
得，
所以z的虚部为，
故选：A
【分析】此题考查复数乘除运算，虚部的概念，先求出z ，即可得z的虚部。
2．（2024高一下·金华期中）数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，
所以数据 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的第八个数8为第75百分位数.
故选：C
【分析】本题主要考查百分位数的计算，利用百分位数的定义即可得到答案.
3．（2024高一下·金华期中）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以.
故选：D
【分析】本题考查了向量平行的坐标运算及向量的坐标运算，根据向量平行的坐标关系得到，然后利用向量的坐标运算即可求解。
4．（2024高一下·金华期中）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线为，底面半径为，
所以扇形的面积为，解得，
扇形的弧长为，解得，
故圆锥的高，
所以此圆锥的体积为.
故选：B.
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，弧长公式，圆锥体积公式，由扇形面积和弧长公式求得扇形半径和弧长，从而得到圆锥的底面圆半径，再求圆锥的高，利用体积公式求解。
5．（2024高一下·金华期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，，，
取中点，连接，
则，而，
于是，
则，，，
由斜二测画法规则作出，如图，
则，
所以.
故选：C
【分析】本题主要考查了平面图形的直观图，根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，进行计算即可.
6．（2024高一下·金华期中）在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得，
故选：A
【分析】
本题考查向量的线性运算，根据向量的线性运算，化简即可得到结果.
7．（2024高一下·金华期中）在正方体中，M，N，P，Q分别是棱，，AB，的中点，则（ ）
A．PN与QM为异面直线
B．与MN所成的角为
C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D．点，到平面PMN的距离相等
【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于选项AC：因为N，Q分别是棱，的中点，
则∥，
又因为M，P分别是棱，AB的中点，
则∥，且，∥，且，
可知∥，且，
则为平行四边形，可知∥，可得∥，
即四点共面，
所以PN与QM不为异面直线，故A错误；
分别取的中点，
可知为的中点，可知六点共面，
即平面PMN截该正方体所得截面形状为六边形，故C错误；
对于选项B：
因为平面∥平面，平面平面，
平面平面，可得∥，
且N，P分别是棱，AB的中点，则∥，
可知∥，
则与MN所成的角为（或其补角），
由正方形性质可知：，
即为正六边形，由正六边形可知，即，
所以与MN所成的角为，故B错误；
对于选项D：因为M是棱的中点，且平面PMN，
所以点，到平面PMN的距离相等，故D正确；
故选：D.
【分析】解决此类空间几何问题的关键是理解并运用正方体的性质，特别是关于直线与平面的位置关系以及线线角、线面角等空间角的计算方法。首先，我们需要对题目中涉及的正方体结构有基本的了解，包括M，N，P，Q的位置和它们之间的关系。对于正方体， M，N，P，Q分别是棱，，AB，的中点，对选项A至D进行逐一分析。
8．（2024高一下·金华期中）为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示：
因为四个半径都是1 cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面.
所以容器的容积为4个球体体积+半个球体体积.
所以
故选：B
【分析】本题考查了球的体积，根据题意，将四个半径都是1 cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面. 则容器的容积为4个球体体积+半个球体体积.
9．（2024高一下·金华期中）某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．直方图中x的值为0.030
B．估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C．估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分
D．估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分
【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于A，由题意得：
，解得，所以A正确，
对于B， 该市普法知识竞赛成绩的平均数为
分，所以B错误，
对于C，众数是频率最高的组的中点值，根据直方图，频率最高的组是90-100分，所以众数为95分，C选项正确。
对于D，因为前3组的频率和为，前4组的频率和为，
所以中位数在80到90之间，设中位数，则，解得，所以D错误，
故选：AC
【分析】本题考查频率分布直方图，根据直方图面积为1可判断A，再根据直方图中平均数，中位数与众数的求法判断BCD。
10．（2024高一下·金华期中）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D．函数在区间上恰有3个零点
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为f(x) = sin 2x + 2 sin2x = sin 2x - cos2x+1 =
对于A，函数函数f(x)的图象关于点（，1）对称，故A错误；
对于B，当r∈时.所以函数f(x)在区间上单调递增，故 B正确；
对于C，函数f(x)的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为：
，
所以函数为偶函数，故C正确；
对于D，令f(x) = 0，得，又x ∈(-π，π)，所以，
所以或，所以f(x)在区间(-π，π)上恰有3个零点，故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】利用三角恒等变换化简f(x)，再由三角函数的对称性、单调性，判断A错误、B正确. 函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数 解析式，根据奇偶性即可判断C正确.f(x) = 0，求得或，即可判断D正确.
11．（2024高一下·金华期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点，将沿AE折起，使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内），连接PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．平面PAE
B．
C．存在某个位置，使平面PAE
D．PB与平面ABCE所成角的取值范围为
【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A， 由于与在原梯形中就平行，且在折叠后与平面平行，根据平行线的传递性，我们可以得出与平面平行的结论。因此，A选项正确。
对于B，由于，而，因此与垂直。B选项正确。
对于C，假设存在某个位置使，这将与选项A的推论（即）相矛盾，因为在平面内，垂直于直线的直线必然垂直于该直线平行的其他所有直线。因此，C选项错误。
选项D：在选项B的图形的基础上，过点作，交或延长线于点，
由选项B的解析知，平面，
又因为平面，所以，
又因为，都在平面内，且相交于点，
所以平面.
所以为直线与平面所成的角，
显然，故D错误；
故选：AB.
【分析】本题主要考查了空间几何中平面与平面、直线与平面之间的位置关系，以及角的度量。A根据判断；B根据 平面判断；C选项用反证法判断；D根据与平面所成的角为判断。
12．（2024高一下·金华期中）函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 .
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数（且）的图象恒过定点A，
令，解得：，
即，
所以点的坐标为，
设，又因为点A在幂函数的图象上，
则，得，
所以，
故填：
【分析】本题主要考查对数函数过定点问题和幂函数解析式的求法，先求出定点A的坐标，再求幂函数的解析式.
13．（2024高一下·金华期中）如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为 m．
【答案】200
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，
即m，
在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
故填：200
【分析】本题考查解三角形的应用问题，在 中求出的值，求出，在中求即可.
14．（2024高一下·金华期中）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为6的正三角形，E为SA的中点，直线CE，SB所成角为90°，则球O的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为，是边长为6的正三角形，
所以三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的射影为等边的中心，
连接并延长交于，则，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以正三棱锥的三条侧棱两两垂直，
因为，
所以，
则将三棱锥补为正方体，
则正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，
则，即，
所以球O的表面积为，
故答案为：
【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的体积。
15．（2024高一下·金华期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与垂直，求的值.
【答案】（1）解：由题意，所以，
所以，
所以.
（2）解： 由与垂直得：，
所以，
即有，
解得：.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据数量积夹角公式，向量的模公式，求得，然后利用平面向量数量积的运算性质与向量的模的公式算出；
（2）根据两个向量垂直的条件建立关于的方程，解之即可得到所求答案。
（1）由题意，，
，
.
（2）由与垂直得，，
所以，即有，
.
16．（2024高一下·金华期中）已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．
【答案】（1）解：当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以
所以在上的最小值为，最大值为0.
（2）解：
，
设，
当且仅当，即时取得等号，
所以，对称轴，
当，即时，在单调递增，
则，解得，不满足题意；
当，即时，在单调递减，单调递增，
所以，解得或（舍去），
综上，实数a的值为6.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)、本题考查指数型二次函数最值问题，将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质求出最值；
(2)、将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质求出给定区间内的单调性和最值 .
（1）当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以
所以在上的最小值为，最大值为0.
（2），
设，当且仅当，即时取得等号，
所以，对称轴，
当，即时，在单调递增，
则，解得，不满足题意；
当，即时，在单调递减，单调递增，
所以，解得或（舍去），
综上，实数a的值为6.
17．（2024高一下·金华期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）证明：因为在中，有，
所以，
即，
当时，等式显然不成立，
所以，
所以.
（2）解：因为由正弦定理推出，且（1）得，所以，
即，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
所以，
即，
，
又，
即。
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】本题主要考察三角形中的边角关系和三角函数的性质。根据给定的条件和，需要证明和，利用正弦定理及得，利用三角形性质及两角和正弦公式化简得，求得，代入化简得，解方程即可.
（1）在中，有，
，即，
当时，等式显然不成立，所以，
.
（2）由正弦定理推出，且（1）得，，即，
，即，
又，，，
，即，
，或（舍去）.
18．（2024高一下·金华期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面．
（1）证明：；
（2）若平面，求三棱锥的体积；
（3）若二面角的平面角为，求．
【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以
（2）解：
因为平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点），
所以，可知N为中点，
而，，，
所以，
因为，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，
在三角形中，，由余弦定理有，
结合，解得，
.
（3）解：
由题意知平面，过点N作平行线交于点H，
所以面，再作（K为垂足），
所以为二面角的平面角，，
由（2）可知，
所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形，
从而，
在三角形中，，
所以，
而，
所以，
不妨设，，
则且，
所以，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）本题考查线线垂直的判定以及二面角的计算，只需结合已知证明平面即可，再利用线面垂直的性质即可得证；
（2）利用转换法，可知只需求出即可，再结合解三角形知识即可求解；
（3）找出二面角的平面角，再结合解三角形知识即可求解.
（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又平面，
（2）平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点），
，可知N为中点，
而，，，
所以，
因为，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，
在三角形中，，由余弦定理有，
结合，解得，
.
（3）由题意知平面，过点N作平行线交于点H，
面，再作（K为垂足），
为二面角的平面角，，
由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形，
从而，
在三角形中，，
所以，
而，所以，
不妨设，，
则且，，
.
19．（2024高一下·金华期中）五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记.
（1）设与相交于点R，当时，
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）求线段的长；
（2）为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？
【答案】（1）解：（ⅰ）如图，建立平面直角坐标系，由，，
所以，
由，得，
所以，
又，
则，，
在中，，
（ⅱ）由（ⅰ）得，所以，
所以直线的方程为，化简得，
又直线的方程为，联立，解得，
所以，
所以线段.
（2）
，
又，所以，
所以当且仅当时，.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1） （ⅰ）以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系，由题意可知，通过求出，从而求出的长；（ⅱ）由点，的坐标求出直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标，从而求出的值。
（2） 由题意得 ， ，再利用三角函数公式化简即可求出结果。
（1）如图，建立平面直角坐标系，由，，
所以，
由，得，所以，
又，则，，
在中，，
所以，所以，
所以直线的方程为，化简得，
又直线的方程为，联立，解得，
所以，
所以线段.
（2）
，
又，所以，
所以当且仅当时，.
1 / 1浙江省金华市卓越联盟2023-2024学年高一下学期5月阶段性模拟考试数学试题
1．（2024高一下·金华期中）已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．-i
2．（2024高一下·金华期中）数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
3．（2024高一下·金华期中）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·金华期中）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·金华期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2024高一下·金华期中）在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一下·金华期中）在正方体中，M，N，P，Q分别是棱，，AB，的中点，则（ ）
A．PN与QM为异面直线
B．与MN所成的角为
C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D．点，到平面PMN的距离相等
8．（2024高一下·金华期中）为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一下·金华期中）某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．直方图中x的值为0.030
B．估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C．估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分
D．估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分
10．（2024高一下·金华期中）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D．函数在区间上恰有3个零点
11．（2024高一下·金华期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点，将沿AE折起，使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内），连接PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．平面PAE
B．
C．存在某个位置，使平面PAE
D．PB与平面ABCE所成角的取值范围为
12．（2024高一下·金华期中）函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 .
13．（2024高一下·金华期中）如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为 m．
14．（2024高一下·金华期中）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为6的正三角形，E为SA的中点，直线CE，SB所成角为90°，则球O的表面积为 ．
15．（2024高一下·金华期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与垂直，求的值.
16．（2024高一下·金华期中）已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．
17．（2024高一下·金华期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，.
（1）求证：；
（2）求的值.
18．（2024高一下·金华期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面．
（1）证明：；
（2）若平面，求三棱锥的体积；
（3）若二面角的平面角为，求．
19．（2024高一下·金华期中）五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记.
（1）设与相交于点R，当时，
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）求线段的长；
（2）为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
得，
所以z的虚部为，
故选：A
【分析】此题考查复数乘除运算，虚部的概念，先求出z ，即可得z的虚部。
2．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，
所以数据 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的第八个数8为第75百分位数.
故选：C
【分析】本题主要考查百分位数的计算，利用百分位数的定义即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以.
故选：D
【分析】本题考查了向量平行的坐标运算及向量的坐标运算，根据向量平行的坐标关系得到，然后利用向量的坐标运算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线为，底面半径为，
所以扇形的面积为，解得，
扇形的弧长为，解得，
故圆锥的高，
所以此圆锥的体积为.
故选：B.
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，弧长公式，圆锥体积公式，由扇形面积和弧长公式求得扇形半径和弧长，从而得到圆锥的底面圆半径，再求圆锥的高，利用体积公式求解。
5．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，，，
取中点，连接，
则，而，
于是，
则，，，
由斜二测画法规则作出，如图，
则，
所以.
故选：C
【分析】本题主要考查了平面图形的直观图，根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，进行计算即可.
6．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得，
故选：A
【分析】
本题考查向量的线性运算，根据向量的线性运算，化简即可得到结果.
7．【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于选项AC：因为N，Q分别是棱，的中点，
则∥，
又因为M，P分别是棱，AB的中点，
则∥，且，∥，且，
可知∥，且，
则为平行四边形，可知∥，可得∥，
即四点共面，
所以PN与QM不为异面直线，故A错误；
分别取的中点，
可知为的中点，可知六点共面，
即平面PMN截该正方体所得截面形状为六边形，故C错误；
对于选项B：
因为平面∥平面，平面平面，
平面平面，可得∥，
且N，P分别是棱，AB的中点，则∥，
可知∥，
则与MN所成的角为（或其补角），
由正方形性质可知：，
即为正六边形，由正六边形可知，即，
所以与MN所成的角为，故B错误；
对于选项D：因为M是棱的中点，且平面PMN，
所以点，到平面PMN的距离相等，故D正确；
故选：D.
【分析】解决此类空间几何问题的关键是理解并运用正方体的性质，特别是关于直线与平面的位置关系以及线线角、线面角等空间角的计算方法。首先，我们需要对题目中涉及的正方体结构有基本的了解，包括M，N，P，Q的位置和它们之间的关系。对于正方体， M，N，P，Q分别是棱，，AB，的中点，对选项A至D进行逐一分析。
8．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示：
因为四个半径都是1 cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面.
所以容器的容积为4个球体体积+半个球体体积.
所以
故选：B
【分析】本题考查了球的体积，根据题意，将四个半径都是1 cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面. 则容器的容积为4个球体体积+半个球体体积.
9．【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于A，由题意得：
，解得，所以A正确，
对于B， 该市普法知识竞赛成绩的平均数为
分，所以B错误，
对于C，众数是频率最高的组的中点值，根据直方图，频率最高的组是90-100分，所以众数为95分，C选项正确。
对于D，因为前3组的频率和为，前4组的频率和为，
所以中位数在80到90之间，设中位数，则，解得，所以D错误，
故选：AC
【分析】本题考查频率分布直方图，根据直方图面积为1可判断A，再根据直方图中平均数，中位数与众数的求法判断BCD。
10．【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为f(x) = sin 2x + 2 sin2x = sin 2x - cos2x+1 =
对于A，函数函数f(x)的图象关于点（，1）对称，故A错误；
对于B，当r∈时.所以函数f(x)在区间上单调递增，故 B正确；
对于C，函数f(x)的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为：
，
所以函数为偶函数，故C正确；
对于D，令f(x) = 0，得，又x ∈(-π，π)，所以，
所以或，所以f(x)在区间(-π，π)上恰有3个零点，故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】利用三角恒等变换化简f(x)，再由三角函数的对称性、单调性，判断A错误、B正确. 函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数 解析式，根据奇偶性即可判断C正确.f(x) = 0，求得或，即可判断D正确.
11．【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A， 由于与在原梯形中就平行，且在折叠后与平面平行，根据平行线的传递性，我们可以得出与平面平行的结论。因此，A选项正确。
对于B，由于，而，因此与垂直。B选项正确。
对于C，假设存在某个位置使，这将与选项A的推论（即）相矛盾，因为在平面内，垂直于直线的直线必然垂直于该直线平行的其他所有直线。因此，C选项错误。
选项D：在选项B的图形的基础上，过点作，交或延长线于点，
由选项B的解析知，平面，
又因为平面，所以，
又因为，都在平面内，且相交于点，
所以平面.
所以为直线与平面所成的角，
显然，故D错误；
故选：AB.
【分析】本题主要考查了空间几何中平面与平面、直线与平面之间的位置关系，以及角的度量。A根据判断；B根据 平面判断；C选项用反证法判断；D根据与平面所成的角为判断。
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数（且）的图象恒过定点A，
令，解得：，
即，
所以点的坐标为，
设，又因为点A在幂函数的图象上，
则，得，
所以，
故填：
【分析】本题主要考查对数函数过定点问题和幂函数解析式的求法，先求出定点A的坐标，再求幂函数的解析式.
13．【答案】200
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，
即m，
在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
故填：200
【分析】本题考查解三角形的应用问题，在 中求出的值，求出，在中求即可.
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为，是边长为6的正三角形，
所以三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的射影为等边的中心，
连接并延长交于，则，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以正三棱锥的三条侧棱两两垂直，
因为，
所以，
则将三棱锥补为正方体，
则正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，
则，即，
所以球O的表面积为，
故答案为：
【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的体积。
15．【答案】（1）解：由题意，所以，
所以，
所以.
（2）解： 由与垂直得：，
所以，
即有，
解得：.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据数量积夹角公式，向量的模公式，求得，然后利用平面向量数量积的运算性质与向量的模的公式算出；
（2）根据两个向量垂直的条件建立关于的方程，解之即可得到所求答案。
（1）由题意，，
，
.
（2）由与垂直得，，
所以，即有，
.
16．【答案】（1）解：当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以
所以在上的最小值为，最大值为0.
（2）解：
，
设，
当且仅当，即时取得等号，
所以，对称轴，
当，即时，在单调递增，
则，解得，不满足题意；
当，即时，在单调递减，单调递增，
所以，解得或（舍去），
综上，实数a的值为6.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)、本题考查指数型二次函数最值问题，将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质求出最值；
(2)、将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质求出给定区间内的单调性和最值 .
（1）当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以
所以在上的最小值为，最大值为0.
（2），
设，当且仅当，即时取得等号，
所以，对称轴，
当，即时，在单调递增，
则，解得，不满足题意；
当，即时，在单调递减，单调递增，
所以，解得或（舍去），
综上，实数a的值为6.
17．【答案】（1）证明：因为在中，有，
所以，
即，
当时，等式显然不成立，
所以，
所以.
（2）解：因为由正弦定理推出，且（1）得，所以，
即，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
所以，
即，
，
又，
即。
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】本题主要考察三角形中的边角关系和三角函数的性质。根据给定的条件和，需要证明和，利用正弦定理及得，利用三角形性质及两角和正弦公式化简得，求得，代入化简得，解方程即可.
（1）在中，有，
，即，
当时，等式显然不成立，所以，
.
（2）由正弦定理推出，且（1）得，，即，
，即，
又，，，
，即，
，或（舍去）.
18．【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以
（2）解：
因为平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点），
所以，可知N为中点，
而，，，
所以，
因为，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，
在三角形中，，由余弦定理有，
结合，解得，
.
（3）解：
由题意知平面，过点N作平行线交于点H，
所以面，再作（K为垂足），
所以为二面角的平面角，，
由（2）可知，
所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形，
从而，
在三角形中，，
所以，
而，
所以，
不妨设，，
则且，
所以，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）本题考查线线垂直的判定以及二面角的计算，只需结合已知证明平面即可，再利用线面垂直的性质即可得证；
（2）利用转换法，可知只需求出即可，再结合解三角形知识即可求解；
（3）找出二面角的平面角，再结合解三角形知识即可求解.
（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又平面，
（2）平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点），
，可知N为中点，
而，，，
所以，
因为，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，
在三角形中，，由余弦定理有，
结合，解得，
.
（3）由题意知平面，过点N作平行线交于点H，
面，再作（K为垂足），
为二面角的平面角，，
由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形，
从而，
在三角形中，，
所以，
而，所以，
不妨设，，
则且，，
.
19．【答案】（1）解：（ⅰ）如图，建立平面直角坐标系，由，，
所以，
由，得，
所以，
又，
则，，
在中，，
（ⅱ）由（ⅰ）得，所以，
所以直线的方程为，化简得，
又直线的方程为，联立，解得，
所以，
所以线段.
（2）
，
又，所以，
所以当且仅当时，.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1） （ⅰ）以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系，由题意可知，通过求出，从而求出的长；（ⅱ）由点，的坐标求出直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标，从而求出的值。
（2） 由题意得 ， ，再利用三角函数公式化简即可求出结果。
（1）如图，建立平面直角坐标系，由，，
所以，
由，得，所以，
又，则，，
在中，，
所以，所以，
所以直线的方程为，化简得，
又直线的方程为，联立，解得，
所以，
所以线段.
（2）
，
又，所以，
所以当且仅当时，.
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