浙江省东阳市外国语学校2024-2025学年高三上学期8月独立作业（开学）数学试题
1．（2024高三上·东阳开学考）已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·东阳开学考）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高三上·东阳开学考）的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
4．（2024高三上·东阳开学考）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米 （ ）
A．10500 B．12500 C．31500 D．52500
5．（2024高三上·东阳开学考）在中，分别为角的对边，若，，，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2024高三上·东阳开学考）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（2024高三上·东阳开学考）在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
8．（2024高三上·东阳开学考）已知实数a，b，c构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·东阳开学考）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A．
B．
C．
D．在的方向上的投影向量为
10．（2024高三上·东阳开学考）已知函数，则（ ）
A．当时，的图象关于对称
B．当时，在上的最大值为
C．当为的一个零点时，的最小值为1
D．当在上单调递减时，的最大值为1
11．（2024高三上·东阳开学考）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
12．（2024高三上·东阳开学考）已知一组数据5，6，7，7，8，9，则该组数据的方差是 ．
13．（2024高三上·东阳开学考）若，则 ．
14．（2024高三上·东阳开学考）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ．
15．（2024高三上·东阳开学考）在△ABC中，角的对边分别为已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若为BC的中点，求AD的长.
16．（2024高三上·东阳开学考）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
17．（2024高三上·东阳开学考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2024高三上·东阳开学考）已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程.
19．（2024高三上·东阳开学考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：对于，即
即
∴，
对于，
∴，
所以.
故答案为：B．
【分析】先求出集合的解集，利用交集的运算求出即可．
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，则，
则，
即，所以，，
解得，，
故，
对应的点在第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用假设法，先假设z，接着利用已知条件z，进而利用复数的几何意义得出z对应的点，进而求出答案即可．
3．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：先对的展开式求解通项公式：
，
则含的项为：，
所以的展开式中的系数为6，
故答案为：C．
【分析】先求出二项式的通项，利用通项求解结果即可．
4．【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：一斛米的体积为，
因为五斗为一斛，
所以一斗米的体积为，
故答案为：A.
【分析】根据题意，整理出图象为棱台，进而利用其体积公式进行计算即可得到结果．
5．【答案】B
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：根据，可得，
根据，
进而求出，，
由可得，，
则，
由正弦定理可知，
又因为，
解得，，
由正弦定理可得．
故答案为：B．
【分析】先利用同角三角函数关系求得，，利用两角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，进而求出a的值．
6．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，
令P点在x轴下方，如图：
设、，，双曲线其中一条渐近线为，
直线的方程为，①
由，
得，
即直线的斜率为，直线方程为，②
由点在双曲线上，得，③
联立①③，得，联立①②，得，
则，即，因此，
所以离心率．
故答案为：C
【分析】设，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题意：，
当且仅当P在线段CO上时等号成立.
故答案为：B.
【分析】先根据，再根据圆的性质求的最小值即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，，
所以，，
所以，
即，解得，
设，，
则，令，解得，
所以时，，单调递减；
时，，单调递增.
所以时，有最小值为，
所以，解得：或，
故答案为：A.
【分析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，列出方程组化简得，接着构造函数，得到其单调性以及最值，进而得出在其值域内，最后解不等式即可得到结果.
9．【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，，故A正确；
，所以，故B正确；
，所以，
又因为，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D错误；
故选：AB．
【分析】利用向量的数量积、模以及向量的垂直和投影向量的运算性质，对每一个选项进行判断即可得到结果．
10．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：当时，，因为，
所以关于对称，故A正确；
对于B：时，由可得，
根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误；
对于C：若，则，，所以，，且，
所以的最小值为1，故C正确；
对于D：因为在上单调递减，且，
由，，得，，
根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为：，
所以，，所以，故D正确．
故选：ACD．
【分析】利用三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A：令，，则，将代入得，即，故A错误；
对于B：由，令可得，
若存在x使得，
则上式变为，显然不成立，所以，
又，
因为，所以，
将整理为，
因为，即，所以，故B正确；
对于C：令，
则，
且，所以为奇函数，故C正确；
对于D：当时，，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由可知，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：BCD．
【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D．
12．【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意：一组数据5，6，7，7，8，9的平均数为：，
∴该组数据的方差为：
．
故答案为：．
【分析】先求出这一组数据5，6，7，7，8，9的平均数，由此再求出该组数据的方差．
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为可得，
又因为，
所以，
解得或（舍去）
所以．
故答案为：．
【分析】根据，，解得，结合二倍角余弦公式进行解答即可得到结果．
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：延长CM交AB于点I，因为平面ABD，
由线面平行性质定理可知，设，
因为三棱锥的所有棱长均为2，
所以，且E为线段BC的中点，
所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知，
所以，
因为F为线段AD的中点，所以，
由余弦定理可知，
所以，
令，，化简可得，
因为，所以，
则在时取得最小值，
所以，
综上当，即时MN取得最小值．
故答案为：．
【分析】延长CM交AB于点I，设，由余弦定理得，根据角平分线定理以及平行线性质可知，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值．
15．【答案】（1）解：因为，
所以，即，
由正弦定理可得，由余弦定理得，因为，所以；
（2）解：由，利用余弦定理可得，
解得，则；
（3）解：在中，由余弦定理得，
即，解得，因为为BC的中点，所以，
两边平方得，解，即中线AD的长度为.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理求解即可；
（2）由题意，根据余弦定理得，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）在中，利用余弦定理求得，再根据向量的模长公式结合已知条件求解即可.
16．【答案】（1）解：因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
（2）解：由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.
（1）因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
（2）由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
17．【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，
，平面ABCD，所以平面，平面，所以，
又因为，为中点，所以，
又，平面，所以平面；
（2）设点在底面的射影为点，则平面，
又平面，所以，取中点，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，即在的中垂线上，
如图建立空间直角建系，不妨取，
则设为，，，，
所以，，，
由（1）可知，计算得，，所以，
又，，
设平面PBC的法向量为，
则，即，取，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】（2）设点在底面的射影为点，则平面，
又平面，所以，取中点，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，即在的中垂线上，
如图建立空间直角建系，不妨取，
则设为，，，，
所以，，，
由（1）可知，计算得，，所以，
又，，
设平面PBC的法向量为，
则，即，取，
所以．
【分析】（1）先证明平面，所以，又因为，为中点，所以，由线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角建系，不妨取，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．
（1）因为平面平面，且平面平面，
，平面ABCD，所以平面，平面，所以，
又因为，为中点，所以，
又，平面，所以平面；
（2）设点在底面的射影为点，则平面，
又平面，所以，取中点，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，即在的中垂线上，
如图建立空间直角建系，不妨取，
则设为，，，，
所以，，，
由（1）可知，计算得，，所以，
又，，
设平面PBC的法向量为，
则，即，取，
所以．
18．【答案】（1）由离心率，得，
又因为，则，
所以，
所以椭圆：，
将点代入，得，
解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意得：直线的斜率存在，设方程为，
由，得，
，
设，
则，
所以
当且仅当，即时等号成立，
此时直线的方程为。
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）本题主要根据题意求出即可得解；
（2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解.
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，方程为，
此时，
当直线的斜率存在时，设方程为，
联立，消得，
恒成立，故，
则，
所以
，
令，则，
所以
，
当，即时，取得最大值，此时，
综上所述，当最大时，求直线的方程为.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
所以时，，所以在上单调递增；
时，，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：当时，不等式恒成立，
即，在时恒成立，
令，只需要在时恒成立，
，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
当时，，在上单调递减，所以恒成立，
当时，，在上单调递减，
所以，使得时，，在上单调递增，
所以，不合题意，
综上所述：实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，利用导数分类讨论分析函数的单调性即可；
（2）当时，不等式恒成立，构造函数，转化为在时恒成立，然后利用导数分析函数的单调性最值，求解实数a的取值范围即可.
（1）函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
所以时，，所以在上单调递增；
时，，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，不等式恒成立，
即，在时恒成立，
令，只需要在时恒成立，
，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
当时，，在上单调递减，所以恒成立，
当时，，在上单调递减，
所以，使得时，，在上单调递增，
所以，不合题意，
综上所述：实数a的取值范围为.
1 / 1浙江省东阳市外国语学校2024-2025学年高三上学期8月独立作业（开学）数学试题
1．（2024高三上·东阳开学考）已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：对于，即
即
∴，
对于，
∴，
所以.
故答案为：B．
【分析】先求出集合的解集，利用交集的运算求出即可．
2．（2024高三上·东阳开学考）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，则，
则，
即，所以，，
解得，，
故，
对应的点在第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用假设法，先假设z，接着利用已知条件z，进而利用复数的几何意义得出z对应的点，进而求出答案即可．
3．（2024高三上·东阳开学考）的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：先对的展开式求解通项公式：
，
则含的项为：，
所以的展开式中的系数为6，
故答案为：C．
【分析】先求出二项式的通项，利用通项求解结果即可．
4．（2024高三上·东阳开学考）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米 （ ）
A．10500 B．12500 C．31500 D．52500
【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：一斛米的体积为，
因为五斗为一斛，
所以一斗米的体积为，
故答案为：A.
【分析】根据题意，整理出图象为棱台，进而利用其体积公式进行计算即可得到结果．
5．（2024高三上·东阳开学考）在中，分别为角的对边，若，，，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：根据，可得，
根据，
进而求出，，
由可得，，
则，
由正弦定理可知，
又因为，
解得，，
由正弦定理可得．
故答案为：B．
【分析】先利用同角三角函数关系求得，，利用两角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，进而求出a的值．
6．（2024高三上·东阳开学考）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，
令P点在x轴下方，如图：
设、，，双曲线其中一条渐近线为，
直线的方程为，①
由，
得，
即直线的斜率为，直线方程为，②
由点在双曲线上，得，③
联立①③，得，联立①②，得，
则，即，因此，
所以离心率．
故答案为：C
【分析】设，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案．
7．（2024高三上·东阳开学考）在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题意：，
当且仅当P在线段CO上时等号成立.
故答案为：B.
【分析】先根据，再根据圆的性质求的最小值即可.
8．（2024高三上·东阳开学考）已知实数a，b，c构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，，
所以，，
所以，
即，解得，
设，，
则，令，解得，
所以时，，单调递减；
时，，单调递增.
所以时，有最小值为，
所以，解得：或，
故答案为：A.
【分析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，列出方程组化简得，接着构造函数，得到其单调性以及最值，进而得出在其值域内，最后解不等式即可得到结果.
9．（2024高三上·东阳开学考）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A．
B．
C．
D．在的方向上的投影向量为
【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，，故A正确；
，所以，故B正确；
，所以，
又因为，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D错误；
故选：AB．
【分析】利用向量的数量积、模以及向量的垂直和投影向量的运算性质，对每一个选项进行判断即可得到结果．
10．（2024高三上·东阳开学考）已知函数，则（ ）
A．当时，的图象关于对称
B．当时，在上的最大值为
C．当为的一个零点时，的最小值为1
D．当在上单调递减时，的最大值为1
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：当时，，因为，
所以关于对称，故A正确；
对于B：时，由可得，
根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误；
对于C：若，则，，所以，，且，
所以的最小值为1，故C正确；
对于D：因为在上单调递减，且，
由，，得，，
根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为：，
所以，，所以，故D正确．
故选：ACD．
【分析】利用三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．
11．（2024高三上·东阳开学考）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A：令，，则，将代入得，即，故A错误；
对于B：由，令可得，
若存在x使得，
则上式变为，显然不成立，所以，
又，
因为，所以，
将整理为，
因为，即，所以，故B正确；
对于C：令，
则，
且，所以为奇函数，故C正确；
对于D：当时，，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由可知，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：BCD．
【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D．
12．（2024高三上·东阳开学考）已知一组数据5，6，7，7，8，9，则该组数据的方差是 ．
【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意：一组数据5，6，7，7，8，9的平均数为：，
∴该组数据的方差为：
．
故答案为：．
【分析】先求出这一组数据5，6，7，7，8，9的平均数，由此再求出该组数据的方差．
13．（2024高三上·东阳开学考）若，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为可得，
又因为，
所以，
解得或（舍去）
所以．
故答案为：．
【分析】根据，，解得，结合二倍角余弦公式进行解答即可得到结果．
14．（2024高三上·东阳开学考）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：延长CM交AB于点I，因为平面ABD，
由线面平行性质定理可知，设，
因为三棱锥的所有棱长均为2，
所以，且E为线段BC的中点，
所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知，
所以，
因为F为线段AD的中点，所以，
由余弦定理可知，
所以，
令，，化简可得，
因为，所以，
则在时取得最小值，
所以，
综上当，即时MN取得最小值．
故答案为：．
【分析】延长CM交AB于点I，设，由余弦定理得，根据角平分线定理以及平行线性质可知，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值．
15．（2024高三上·东阳开学考）在△ABC中，角的对边分别为已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若为BC的中点，求AD的长.
【答案】（1）解：因为，
所以，即，
由正弦定理可得，由余弦定理得，因为，所以；
（2）解：由，利用余弦定理可得，
解得，则；
（3）解：在中，由余弦定理得，
即，解得，因为为BC的中点，所以，
两边平方得，解，即中线AD的长度为.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理求解即可；
（2）由题意，根据余弦定理得，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）在中，利用余弦定理求得，再根据向量的模长公式结合已知条件求解即可.
16．（2024高三上·东阳开学考）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
【答案】（1）解：因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
（2）解：由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.
（1）因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
（2）由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
17．（2024高三上·东阳开学考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，
，平面ABCD，所以平面，平面，所以，
又因为，为中点，所以，
又，平面，所以平面；
（2）设点在底面的射影为点，则平面，
又平面，所以，取中点，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，即在的中垂线上，
如图建立空间直角建系，不妨取，
则设为，，，，
所以，，，
由（1）可知，计算得，，所以，
又，，
设平面PBC的法向量为，
则，即，取，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】（2）设点在底面的射影为点，则平面，
又平面，所以，取中点，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，即在的中垂线上，
如图建立空间直角建系，不妨取，
则设为，，，，
所以，，，
由（1）可知，计算得，，所以，
又，，
设平面PBC的法向量为，
则，即，取，
所以．
【分析】（1）先证明平面，所以，又因为，为中点，所以，由线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角建系，不妨取，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．
（1）因为平面平面，且平面平面，
，平面ABCD，所以平面，平面，所以，
又因为，为中点，所以，
又，平面，所以平面；
（2）设点在底面的射影为点，则平面，
又平面，所以，取中点，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，即在的中垂线上，
如图建立空间直角建系，不妨取，
则设为，，，，
所以，，，
由（1）可知，计算得，，所以，
又，，
设平面PBC的法向量为，
则，即，取，
所以．
18．（2024高三上·东阳开学考）已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程.
【答案】（1）由离心率，得，
又因为，则，
所以，
所以椭圆：，
将点代入，得，
解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意得：直线的斜率存在，设方程为，
由，得，
，
设，
则，
所以
当且仅当，即时等号成立，
此时直线的方程为。
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）本题主要根据题意求出即可得解；
（2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解.
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，方程为，
此时，
当直线的斜率存在时，设方程为，
联立，消得，
恒成立，故，
则，
所以
，
令，则，
所以
，
当，即时，取得最大值，此时，
综上所述，当最大时，求直线的方程为.
19．（2024高三上·东阳开学考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
所以时，，所以在上单调递增；
时，，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：当时，不等式恒成立，
即，在时恒成立，
令，只需要在时恒成立，
，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
当时，，在上单调递减，所以恒成立，
当时，，在上单调递减，
所以，使得时，，在上单调递增，
所以，不合题意，
综上所述：实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，利用导数分类讨论分析函数的单调性即可；
（2）当时，不等式恒成立，构造函数，转化为在时恒成立，然后利用导数分析函数的单调性最值，求解实数a的取值范围即可.
（1）函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
所以时，，所以在上单调递增；
时，，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，不等式恒成立，
即，在时恒成立，
令，只需要在时恒成立，
，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
当时，，在上单调递减，所以恒成立，
当时，，在上单调递减，
所以，使得时，，在上单调递增，
所以，不合题意，
综上所述：实数a的取值范围为.
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