2024～2025学年9上第2章 解直角三角形（青岛版）
数学答案
1．B
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】∵在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，
∴∠C=30°，
∴tanC=．
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理．
2．C
【分析】设菱形的边长为a，用a表示BE与AB，再在Rt△ABE中由三角函数关系求得a便可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
设AB=BC=CD=AD=a，
∵B′C=-1，
∴BB′=a+ 1，
由对折知，BE=B′E=，AE⊥BB′，
∵∠B=45°，
∴BE=AB sin45°=a，
∴＝a，
解得，a=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，解直角三角形的应用，折叠的性质，关键是列出关于a的方程，体现了方程思想．
3．D
【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为k，2k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．
【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴设AC＝2k，BC＝k，
则AB＝＝k，
∴sinB＝＝＝．
故选：D．
【点睛】考核知识点：勾股定理，三角函数．理解正弦、正切定义是关键．
4．A
【详解】∵，∴．
∵
∴
解得．
∵，
∴．
故选A.
5．D
【分析】根据正切函数的定义，可得答案．
【详解】解：如图：过A点作AD⊥BC与点D，
，
tanB= ，
故选：D．
【点睛】本题考查了正切三角函数的定义，利用了正切的表示方法，注意锐角三角函数都要在直角三角形中求解．
6．B
【详解】解：设则
又因为在菱形ABCD中，
所以
，
由勾股定理知，
故答案为：B．
7．B
【分析】根据坡度的定义先求解出DE和EC，然后结合题意可知四边形为矩形，从而结合仰角的定义分别在，中，表示出AB，从而建立等式求解即可．
【详解】解：∵斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
∴设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，，
由题意知，，，四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即：树AB的高度是30m，
故选：B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．B
【分析】先通过添加辅助线构造出直角三角形，然后利用锐角三角函数解直角三角形求得、，再让两条线段相减即可得到答案．
【详解】解：延长交地面于点，则，过点作于点，如图：
∵旋转支撑臂与楼梯托架之间的夹角为；当伸缩楼梯上收时，旋转支撑臂绕着点逆时针旋转，
∴，
∴
∵在中，，
∴
∴
∵，
∴
∴在中，，
∴
∴
∴
∴此时，楼梯底部的脚垫到地面的距离为米．
故选：B
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、利用锐角三角函数解直角三角形等知识点的实际应用，灵活运用相关知识点是解决问题的关键．
9．B
【详解】分析： 由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过解两个直角三角形得到DC，DB的长度，作差后可得结果．
解答： 解：由已知条件得∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣，
在Rt△ADB中，AD=600，
∴DB=AD tan15°=600×（2﹣）=1200﹣600，
在Rt△ADC中，AD=600，∠DAC=60°，
∴DC=AD tan60°=600，
∴BC=CD﹣BD=600﹣（1200﹣600）=1200（﹣1），
∴长江的宽度BC等于1200（﹣1）．
故选B．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用；利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度是解决本题的关键．
10．B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
11．
【分析】设BC＝x，则AB＝2x，再根据勾股定理得到x2+（2x）2=52，再方程的解即可．
【详解】如图所示：设BC＝x，则AB＝2x，依题意得：
x2+（2x）2=52
解得x=或x=-（舍去）．
故答案为：．
【点睛】考查了解直角三角形，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．
12．
【分析】先根据线段的和差求出，再根据角平分线的定义得出，然后利用三角形面积公式分别求出AM、AF的长，由此即可得．
【详解】，，，
是的角平分线
设，则
即
解得
同理可得：
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、正弦的应用等知识点，正确利用题干中的三角形面积公式是解题关键．
13．5356
【分析】分析知奇数的通式为：2n﹣1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出的表达式，第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．代入求解即可．
【详解】设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，
则上底长为atan∠AOB，下底长为btan∠AOB，
∴b×btan∠AOBa×atan∠AOB，
∵第1个梯形的两底距离点O的距离a＝1，b＝3，
∴；
∵第2个梯形的两底距离点O的距离a＝5，b＝7，
∴＝；
以此类推，
∵第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，
∴2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数，
∴第2009个梯形的上下两底的长分别为：
a＝2×（2008×2+1）﹣1＝8033，
b＝2×（2008×2+2）－1＝8035，
故＝5356．
故答案为：5356．
【点睛】本题考查了解直角三角形、实数的混合运算，找到是解题的关键．
14．
【分析】首先过点D作DM⊥AB于点M，设BM=x，则BD=2x，求出BD，CD即可解决问题．
【详解】解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵在等边三角形△ABC中，射线AD四等分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD=45°，∠B=60°，
∴AM=MD，∠BDM=30°，
∴设BM=x，则BD=2x，
故DM=x，
∴BC=AB=x+x，
∴
故答案为
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理等知识，表示出DC，BD的长是解题关键．
15．
【分析】连接AB，就可以根据勾股定理求出OA，OB，AB的长度，用面积法先求OB上的高，再由三边关系求∠AOB的正切值．
【详解】解：连接AB，取AB中点C，连接OC，
根据勾股定理可以得到OA＝OB＝，AB＝2，OC＝2，
三角形ABO的面积为＝4，
过A作AD⊥OB，,
＝
AD＝,
OD＝
则tan∠AOB＝.
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理和三角函数的应用，用面积法求高是解题的关键.
16．/
【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．
【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，
由题意可得，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵博雅楼顶部E的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
由题意可得四边形是矩形，
∴，
∵尚美楼顶部F的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再利用正弦值即可求出长度．
（2）根据角度相等证明求出，再根据余弦值求出长度，即可求出长度，最后可求出点A到对称轴的距离．
【详解】（1）解：由图可知，过点作于，延长至，过点作于 ，
，，
，，
．
故答案为：．
（2）解：，
，，
，
．
，
，
．
，，
，
．
，
．
点A到对称轴的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数和等腰三角形的性质．解题的关键在于明确点A到对称轴的距离，从而作辅助线．
18．楼与塔之间的距离的长为50米．
【分析】过点作于点，设大楼与塔之间的距离的长为米，在和中，分别用三角函数表示出CD和CE,根据等量关系列出方程解答即可.
【详解】过点作于点，
由题意可知：，，米
设大楼与塔之间的距离的长为米，则
∵在中，
∴
∵在中，
∴
∵
∴
∴
即(米)
答：楼与塔之间的距离的长为50米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．
19．渔船继续向正东方向航行是安全的，理由详见解析．
【分析】作CH⊥AB于H．利用解直角三角形，求出PH的值即可判定；
【详解】解：作CH⊥AB于H．
∵∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，
∵∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴BA＝BC＝60海里，
在Rt△CBH中，CH＝CB sin60°＝60×＝30（海里），
∵30＞50，
∴渔船继续向正东方向航行是安全的．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）首先证明在中，设，，，得，即可解决问题；
（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】（1）由，，
得：，
在中，设，
，，
得，
即；
（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，
设，
在中，，，
，
又，，
，
【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识,熟练运用这些知识是解题关键．
21．(1)点A到地面的高度约为；
(2)点距离地面的高度约为．
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
（1）过点作边的高，由等腰三角形性质可知，结合勾股定理求出的长即可；
（2）过作于，于，可知四边形为矩形，然后解直角三角形可求出的长．
【详解】（1）解：（1）过点E作，垂足为点，如图，即 ，
∵，，
∴，
∵在中， ，，
∴
答：点A到地面的高度约为．
（2）解：过点作于点H，过点作于点G．如图，
由旋转的性质得
∵在中，，， ，
，
∴
答：点距离地面的高度约为．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据矩形性质得到，再根据折叠性质得到，，，利用锐角三角函数得到，利用平行线的性质求得，进而可求解；
（2）证明得到，结合已知得到，则，利用勾股定理求得，进而求得即可求解；
（3）过点N作于点G，先根据已知和折叠性质得到，证明得到，设，根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，设，则，利用勾股定理求得，进而求得即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，
∴，，
又∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
（3）解：过点N作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵平分， ，
∴，又，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、锐角三角函数、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质以及相似三角形的性质是解答的关键．
23．(1)见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质证明，
（2）根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解；
（3）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可．
【详解】（1）解：如图1，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
（2）
，，
，，
，，
，
，
，
设则
，
解得或，
经检验，，都是原方程的根，
或，
在中，
或；
（3）如图2，由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
即．
【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（1）正方形，24；（2）是，理由见解析，；（3）3或12
【分析】本题主要考查正方形的判定，直角三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用：
（1）先证明四边形是矩形，再由旋转得，从而可判断四边形是正方形；
（2）连接，根据证明可得，从而得出结论；
（3）分两种情况，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∵
∴正方形的周长为
故答案为：正方形；24；
（2）四边形是筝形，理由如下：
连接，如图，
由旋转得
又
∴
∴
又
∴四边形是筝形，
∵旋转角度数为α度，
∴
又
∴
∴四边形的周长为
（3）如图，
∵四边形是矩形，
∴
∴
设，则
∵
∴
在中，
∴，
解得，，
∴；
如图，
∵
∴
∴，即
解得，，
综上，的值为：3或12
答案第1页，共2页绝密★启用前
6．如图，在菱形 中， ， ， ，则 tan∠ 的值是( )
2024～2025 学年 9 上第 2 章 解直角三角形（青岛版）
数学问卷
时间：120 分钟 分值 ：120 分
第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）
一、单项选择题（本题包括 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） A． B．2 C． D．
1．在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ）
7．如图，学校环保社成员想测得斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为
1 3
A． B． C．1 D．
2 33 60°，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长度为 20m，且坡度为1: 3，则树
2．如图，在菱形 ABCD中， B 45 ，AE为 BC边上的高，将 ABE沿 AE所在直线翻折，得到 AB E，
AB 的高度是 （ ）
若C B 2 1，则菱形的边长为（ ）
2
A． B． 2 C．1 D．
2 2
1
3．在 Rt△ABC 中，若∠ACB＝90°，tanA＝ ，则 sinB＝（ ）
2
1 3 5 2 5
A． B． C． D．
2 A． B．30m C． D．40m2 5 5 20 3m 30 3m
4．Rt ABC
4
△ 中， C 90 ， sin A ， AC 6，那么 BC等于（ ）． 8．如图所示，一架伸缩楼梯托架 AD固定在墙面上，托架 AD始终与地面垂直且 AD DE． 旋转支
5
24 18 6 撑臂DE绕着点D旋转，当伸缩楼梯下放时，楼梯长 AC 5米，点C正好接触地面，此时，旋转支
A．8 B． C． D．
5 5 5
撑臂DE与楼梯托架 AD之间的夹角为120 ；当伸缩楼梯上收时，旋转支撑臂DE绕着点D逆时针旋
5．如图，△ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则 tan∠B 的值为（ ）
转30 ，楼梯长 AC '变为 4米，此时，楼梯底部的脚垫C '到地面的距离为( )米．
5 3
A． 2 5 3B． 2 2 C．5 2 2 D．1
2 2
4 41 41 5 4
A． B． C． D．
41 4 4 5
数学问卷 1 / 4
9．如图，从白塔山山顶 A 外测得正前方的长江两岸 B、C的俯角分别为 30°，75°，白塔山的高度 15．如图，在正方形网格中，∠AOB 的正切值是 ．
AD 是 600m，则长江的宽度 BC 等于（ ） 16．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点 A 处竖直
上升 30 米到达 B 处，测得博雅楼顶部 E 的俯角为 45 ，尚美楼顶部 F的俯角为30 ，已知博雅楼高度
CE为 15 米，则尚美楼高度DF为 米．（结果保留根号）
A．300（ 3 +1）m B．1200（ 3﹣1）m C．1800（ 3﹣1）m D．2400（ 2﹣1）m
10．如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC=（ ）
2 26 26 13 三、解答题（本题包括 8 小题，共 72 分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
A． B． C． D．
6 26 13 13 17．（本题 6分）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图 1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，
第Ⅱ卷（选择题 共 90 分） 其示意图如图 2，已知 AD BE 10cm，CD CE 5cm， AD CD， BE CE ， DCE 40 .
二、填空题（本题包括 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，小杨沿着有一定坡度的坡面前进了 5米，这个坡面的坡度为 1:2，此时他与水平地面的垂
直距离为 米.
12．如图， AM 是V ABC的角平分线，D、 E分别是边 AB， AC上的点，DE与 AM 交于点 F ，若
1
AD 1，AE 2，BD 3 EC 4
AF
， ，则 ．（提示三角形面积公式：S面积 AB AC sin A．）AM 2 (1)连结DE，求线段DE的长．
13．如图， AOB 30 ，过 OA 上到 O 点的距离为 1、3、5、7、…的点作 OA 的垂线，分别于 OB 相
(2)求点 A 到对称轴的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据： sin 20 0.34， cos 20 0.94，
交，得到图中所示的阴影梯形，它们的面积依次极为 S1、 S2、 S3、…则 S2009 ． tan 20 0.36， sin 40 0.64， cos 40 0.77 ， tan 40 0.84）
CD
14．如图，在等边三角形△ABC 中，射线 AD 四等分∠BAC 交 BC 于点 D，其中∠BAD＞∠CAD，则
BD
＝ ．
数学问卷 2 / 4
18．（本题 6 分）如图，某小区住宅楼 AB高 20 米，住宅楼不远处有一座古塔CD，小明在楼底 B处 20．（本题 8 分）如图，在V ABC中， ACB 90 ， AC : BC 4 : 3，D 是边 AC 的中点，CE BD交
测得塔顶的仰角为38.5 ，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为 22 ，求住宅楼与古塔之间的距离 BD的 AB 于点 E．
长.(参考数据： sin 22 0.37， cos 22 0.93， tan22 0.40， sin 38.5 0.62， cos38.5 0.78，
tan 38.5 0.80 )
(1)求 tan ACE的值；
(2)求 AE : EB．
21．（本题 10 分）如图 1 是广场上健身的三联漫步机，当人踩在踏板上，握在扶手，像走路一样抬
腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，漫步机踏板静止时其侧面示意图可以抽象为如图 2，其中
AB AC 120cm， BC 80cm， AE 94cm．
19．（本题 8 分）如图，一艘渔船以 60 海里每小时的速度向正东方向航行．在 A处测得灯塔 C在北
偏东 60°方向上；继续航行 1小时到达 B 处，此时测得灯塔 C在北偏东 30°方向上．已知在灯塔 C
周围 50 海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险？
(1)求点 A 到地面的高度；
(2)如图 3，当踏板从点 E 旋转到点 E 时，测得 E AE 42 ，求此时点 E 距离地面 BC的高度．（结
果精确到1cm）（参考数据： sin42 0.6691， cos42 0.7431， tan42 0.9004， 2 1.41）
数学问卷 3 / 4
22．（本题 10 分）在矩形 ABCD的CD边上取一点 E，将 BCE沿 BE翻折，使点 C 恰好落在 AD边上 24．（本题 12 分）综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动．
点 F 处． [问题情景]
如图 1：在矩形 ABCD中，AB 6cm，AD 8cm．将边 AB绕点 A 逆时针旋转α度 180 ，得到
线段 AE，过点 E 作 EF AE 交直线 BC于点 F．
(1)如图 1，若 BC 2BA，求 CBE的度数；
(2)如图 2，当 AB 5，且 AF FD 10时，求 BC的长；
AB [初步感知]
(3)如图 3，延长 EF ，与 ABF的角平分线交于点 M，BM 交 AD于点 N，当NF AN FD时，求
BC （1）当 90 时．四边形 ABFE的形状为________．周长为________ cm（直接写出答案）．
的值．
[深入探究]
23．（本题 12 分）如图，已知正方形 ABCD的边长为12，点 E 是射线 BC上一点（点 E不与点 B、C
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图 1 判定四边
重合）过点A作 AF AE，交边 的延长线于点 F ，直线 EF分别交射线 AC、射线 于点M 、N．
形 ABFE是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形 ABFE的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接CE，当 FEC是以点 E为直角顶点的直角三角形时，请直接写
出此时 BF的长度．
(1)求证： ABE≌ ADF ；
(2)当点 E在边 BC上时，如果， AN 5DN，求 BAE的正切值；
(3)当点 E在边 BC延长线上时，设线段 BE x, y EN MF ，求 y关于 x的函数解析式．
数学问卷 4 / 4绝密★启用前
2024～2025学年9上第2章 解直角三角形（青岛版）
数学问卷
时间：120分钟 分值 ：120分
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）
1．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，得到，若，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
4．中，，，，那么等于（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tan∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，，，，则tan∠的值是( )
A． B．2 C． D．
7．如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为，则树AB的高度是 （ ）
A． B．30m C． D．40m
8．如图所示，一架伸缩楼梯托架固定在墙面上，托架始终与地面垂直且． 旋转支撑臂绕着点旋转，当伸缩楼梯下放时，楼梯长米，点正好接触地面，此时，旋转支撑臂与楼梯托架之间的夹角为；当伸缩楼梯上收时，旋转支撑臂绕着点逆时针旋转，楼梯长变为米，此时，楼梯底部的脚垫到地面的距离为( )米．
A． B． C． D．
9．如图，从白塔山山顶A外测得正前方的长江两岸B、C的俯角分别为30°，75°，白塔山的高度AD是600m，则长江的宽度BC等于（ ）
A．300（+1）m B．1200（﹣1）m C．1800（﹣1）m D．2400（﹣1）m
10．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，小杨沿着有一定坡度的坡面前进了5米，这个坡面的坡度为1:2，此时他与水平地面的垂直距离为 米.
12．如图，是的角平分线，、分别是边，上的点，与交于点，若，，，，则 ．（提示三角形面积公式：．）
13．如图，，过OA上到O点的距离为1、3、5、7、…的点作OA的垂线，分别于OB相交，得到图中所示的阴影梯形，它们的面积依次极为、、、…则 ．
14．如图，在等边三角形△ABC中，射线AD四等分∠BAC交BC于点D，其中∠BAD＞∠CAD，则＝ ．
15．如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 ．
16．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
三、解答题（本题包括8小题，共72分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17．（本题6分）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，.
(1)连结，求线段的长．
(2)求点A到对称轴的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
18．（本题6分）如图，某小区住宅楼高20米，住宅楼不远处有一座古塔，小明在楼底处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求住宅楼与古塔之间的距离的长.(参考数据：，，，，，)
19．（本题8分）如图，一艘渔船以60海里每小时的速度向正东方向航行．在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上；继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°方向上．已知在灯塔C周围50海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险？
20．（本题8分）如图，在中，，，D是边AC的中点，交AB于点E．
(1)求的值；
(2)求．
21．（本题10分）如图1是广场上健身的三联漫步机，当人踩在踏板上，握在扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，漫步机踏板静止时其侧面示意图可以抽象为如图2，其中，，．
(1)求点A到地面的高度；
(2)如图3，当踏板从点E旋转到点时，测得，求此时点距离地面的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
22．（本题10分）在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，当，且时，求的长；
(3)如图3，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，求的值．
23．（本题12分）如图，已知正方形的边长为，点 是射线上一点（点不与点、重合）过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
(1)求证：；
(2)当点在边上时，如果，，求的正切值；
(3)当点在边延长线上时，设线段，求关于的函数解析式．
24．（本题12分）综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动．
[问题情景]
如图1：在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F．
[初步感知]
（1）当时．四边形的形状为________．周长为________（直接写出答案）．
[深入探究]
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接，当是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此时的长度．
试卷第1页，共3页
