专题提优 12 与分式方程有关的解题技巧（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 专题提优 12 与分式方程有关的解题技巧（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 42.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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专题提优 12 与分式方程有关的解题技巧
类型一解分式方程的方法与技巧
分式方程是通过转化为整式方程来求解的，转化的常用方法是去分母、换元等，在解具体的分式方程时，可根据方程的特点，巧妙采用合并、化简、分组通分、裂项等方法，可使求解简便.要注意的是解分式方程可能产生增根，所以必须要进行检验，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去.
1.分式方程 的解为 ( )
A. x=-1 B. x=1
C. x=2 D. x=-2
2.用换元法解方程 时，设 则原方程可化为 ( )
3.解下列分式方程：
4.当x为何值时，式子 的值等于2
类型 二 利用分式方程的根求值或范围
这类问题常考查以下几种情况：(1)已知分式方程的根求原方程中的未知字母；(2)已知分式方程的根的取值范围确定原方程中未知字母的取值范围；(3)由分式方程有增根或无解确定原方程中未知字母的取值范围.这些问题在求解时都应注意原分式方程的最简公分母不能为0的条件.
5.已知 x=1 是分式方程 的解，则a的值为 ( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
6.关于x的分式方程 有增根，则m的值为( )
A.1 B.3
C.4 D.5
7.关于x的分式方程 下列说法正确的是 ( )
A. m<-5时，方程的解为负数
B.方程的解是x=m+5
C. m>-5时，方程的解是正数
D.以上都不对
8.若关于 x 的一元一次不等式组 的解集为x≤a；且关于y的分式方程 有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是 ( )
A.7 B.-14
C.28 D.-56
9. 关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是 .
10.当m满足 时，方程 的解为正数.
11.已知关于x的方程
(1)若方程有增根，求a的值；
(2)若方程无解，求a的值；
(3)若方程的解为正数，求a的取值范围；
(4)若方程的解为整数，求整数a的值.
12.(1)当m为何值时,方程 有增根
(2)当m为何值时，方程 的根是-1
(3)任意写出三个 m的值，使对应的方程 的三个根中两个根之和等于第三个根.
(4)你发现满足(3)条件的 m ,m ,m 的关系是 .
1. A 2. A
3.(1)方程两边同乘(x+1)(x-1),得x(x+1)-2(x-1)=(x+1)(x-1),即 解得x=3.经检验，x=3是原分式方程的根.
(2)原方程可变形为 即 去分母,得6-x=x-2.解得x=4.经检验，，x=4是原分式方程的根.
(3)原方程可变形为 方程两边通分，得 ,即8x=-36,解得 经检验， 是原分式方程的根.
(4)由原方程得 即 9)(8x-6)=(8x-10)(8x-7),解得x=1.经检验,x=1是原分式方程的根.
(5)原方程可变形为 约分，得
方程两边同乘(y+2)(y-2),得( 整理，得2y=16,解得y=8,经检验,y=8是原分式方程的根.
(6)原方程可变形为 即2x+2=1,解得 经检验 是原分式方程的根.
4.由题意得 即 解得 经检验， 是原分式方程的根.∴当 时，式子 的值等于2.
5. D 6. C
7. A 解析:去分母得m=x-5,解得x=m+5,检验:当,m+5-5=0,即m=0时，x=5是增根，原方程无解.当方程的解为负数时，m+5<0，解这个不等式得m<-5;当方程的解是正数时,m+5>0,且m+5≠5,解这个不等式得m>-5且m≠0.
8. A 解析：不等式组整理，得 由解集为x≤a，得a≤7.分式方程去分母，得y-a+3y-4=y-2,即3y=a+2,解得 又关于y的分式方程 有正整数解，且γ≠2,∴a=1或7,∴所有满足条件的整数a的值之积为7，故选 A.
9. m<2且m≠0 解析:去分母,得 分式方程的解是正数,∴2-m>0,∴m<2.又∵2x-1≠0,∴m≠0,∴字母m的取值范围是m<2且m≠0.
10. m<-1 且m≠-9 解析:解方程,得 由题意，得 得m<-1且m≠-9,故当m<-1且m≠-9时,方程 的解为正数.
11.(1)方程两边同时乘(x+1)(x-1),去分母并整理得(9-a)x=-3,·原分式方程有增根,∴(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=1,当x=-1时,a=6;当x=1时,a=12.∴a=6或a=12.
(2)当9-a=0时,该方程无解,此时a=9;当9-a≠0时,要使原方程无解,由(1)得a=6或a=12.
综上，a的值为9或6或12.
(3)∵方程的解为正数， 且a≠12.
(4)∵方程的解为整数,∴a-9=±3或a-9=±1,.. a=12,a=6,a=10,a=8.∵当a=12或a=6时,原方程无解,∴当方程的解为整数时,a=10或a=8.
12.(1)方程两边同时乘x-3,得3x+5(x-3)=-m,∵原方程有增根,∴最简公分母x-3=0,即x=3.当x=3时,m=-9,故m的值是-9.
(2)方程两边同时乘x-3,得3x+5(x-3)=-m,∵原方程的根为x=-1,∴m=23.
(3)由(1)(2)得 设方程的三个对应根为a，b，c，且a+b=c，则可得对应的m的值分别为 15-8c.故三个m的值可以是17,23,25.(答案不唯一)
专题提优 12 与分式方程有关的解题技巧
类型一解分式方程的方法与技巧
分式方程是通过转化为整式方程来求解的，转化的常用方法是去分母、换元等，在解具体的分式方程时，可根据方程的特点，巧妙采用合并、化简、分组通分、裂项等方法，可使求解简便.要注意的是解分式方程可能产生增根，所以必须要进行检验，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去.
1.分式方程 的解为 ( )
A. x=-1 B. x=1
C. x=2 D. x=-2
2.用换元法解方程 时，设 则原方程可化为 ( )
3.解下列分式方程：
4.当x为何值时，式子 的值等于2
类型 二 利用分式方程的根求值或范围
这类问题常考查以下几种情况：(1)已知分式方程的根求原方程中的未知字母；(2)已知分式方程的根的取值范围确定原方程中未知字母的取值范围；(3)由分式方程有增根或无解确定原方程中未知字母的取值范围.这些问题在求解时都应注意原分式方程的最简公分母不能为0的条件.
5.已知 x=1 是分式方程 的解，则a的值为 ( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
6.关于x的分式方程 有增根，则m的值为( )
A.1 B.3
C.4 D.5
7.关于x的分式方程 下列说法正确的是 ( )
A. m<-5时，方程的解为负数
B.方程的解是x=m+5
C. m>-5时，方程的解是正数
D.以上都不对
8.若关于 x 的一元一次不等式组 的解集为x≤a；且关于y的分式方程 有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是 ( )
A.7 B.-14
C.28 D.-56
9. 关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是 .
10.当m满足 时，方程 的解为正数.
11.已知关于x的方程
(1)若方程有增根，求a的值；
(2)若方程无解，求a的值；
(3)若方程的解为正数，求a的取值范围；
(4)若方程的解为整数，求整数a的值.
12.(1)当m为何值时,方程 有增根
(2)当m为何值时，方程 的根是-1
(3)任意写出三个 m的值，使对应的方程 的三个根中两个根之和等于第三个根.
(4)你发现满足(3)条件的 m ,m ,m 的关系是 .
1. A 2. A
3.(1)方程两边同乘(x+1)(x-1),得x(x+1)-2(x-1)=(x+1)(x-1),即 解得x=3.经检验，x=3是原分式方程的根.
(2)原方程可变形为 即 去分母,得6-x=x-2.解得x=4.经检验，，x=4是原分式方程的根.
(3)原方程可变形为 方程两边通分，得 ,即8x=-36,解得 经检验， 是原分式方程的根.
(4)由原方程得 即 9)(8x-6)=(8x-10)(8x-7),解得x=1.经检验,x=1是原分式方程的根.
(5)原方程可变形为 约分，得
方程两边同乘(y+2)(y-2),得( 整理，得2y=16,解得y=8,经检验,y=8是原分式方程的根.
(6)原方程可变形为 即2x+2=1,解得 经检验 是原分式方程的根.
4.由题意得 即 解得 经检验， 是原分式方程的根.∴当 时，式子 的值等于2.
5. D 6. C
7. A 解析:去分母得m=x-5,解得x=m+5,检验:当,m+5-5=0,即m=0时，x=5是增根，原方程无解.当方程的解为负数时，m+5<0，解这个不等式得m<-5;当方程的解是正数时,m+5>0,且m+5≠5,解这个不等式得m>-5且m≠0.
8. A 解析：不等式组整理，得 由解集为x≤a，得a≤7.分式方程去分母，得y-a+3y-4=y-2,即3y=a+2,解得 又关于y的分式方程 有正整数解，且γ≠2,∴a=1或7,∴所有满足条件的整数a的值之积为7，故选 A.
9. m<2且m≠0 解析:去分母,得 分式方程的解是正数,∴2-m>0,∴m<2.又∵2x-1≠0,∴m≠0,∴字母m的取值范围是m<2且m≠0.
10. m<-1 且m≠-9 解析:解方程,得 由题意，得 得m<-1且m≠-9,故当m<-1且m≠-9时,方程 的解为正数.
11.(1)方程两边同时乘(x+1)(x-1),去分母并整理得(9-a)x=-3,·原分式方程有增根,∴(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=1,当x=-1时,a=6;当x=1时,a=12.∴a=6或a=12.
(2)当9-a=0时,该方程无解,此时a=9;当9-a≠0时,要使原方程无解,由(1)得a=6或a=12.
综上，a的值为9或6或12.
(3)∵方程的解为正数， 且a≠12.
(4)∵方程的解为整数,∴a-9=±3或a-9=±1,.. a=12,a=6,a=10,a=8.∵当a=12或a=6时,原方程无解,∴当方程的解为整数时,a=10或a=8.
12.(1)方程两边同时乘x-3,得3x+5(x-3)=-m,∵原方程有增根,∴最简公分母x-3=0,即x=3.当x=3时,m=-9,故m的值是-9.
(2)方程两边同时乘x-3,得3x+5(x-3)=-m,∵原方程的根为x=-1,∴m=23.
(3)由(1)(2)得 设方程的三个对应根为a，b，c，且a+b=c，则可得对应的m的值分别为 15-8c.故三个m的值可以是17,23,25.(答案不唯一)