13.3 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质 同步练习（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

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13.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,下列结论中不一定正确的是 ( )
A. D 是 BC 中点 B. AD平分∠BAC
C. AB=2BD D.∠B=∠C
2.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为 ( )
A.48° B.40° C.30° D.24°
3.下列说法正确的有 ( )
①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的高一定平分对边；③等腰三角形的角平分线就是它对边的中线；④等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是它的对称轴；⑤等腰三角形的底边上的垂直平分线是它的对称轴.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.(1)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为 .
(2)已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .
5.如图,以△ABC的顶点 B 为圆心,BA长为半径画弧,交 BC边于点 D,连接AD. 若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为 度.
6.如图,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B为 度.
7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点 F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF,
8.如图,在△ABC 中,AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE.连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD 的度数为 ( )
C
A.40° B.45° C.55° D.70°
9.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定,OC = CD = DE,点 D,E 可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是 ( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
10.如图,在△ABC中,AB=AC=6,点D在边AC上,AD的垂直平分线交 BC于点 E.若∠AED=∠B,CE=3BE,则CD等于 ( )
A B.2 C D.3
11.如图,正五边形 ABCDE 中,对角线AC与 BE相交于点 F,则∠AFE= .
12.)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是 .
13.(1)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上，连接 AD，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC的度数为 ;
(2)在△ABC中,∠B=30°,点 D 在 BC 边上,点 E在AC边上,AD=BD,DE=CE,若△ADE为等腰三角形，则∠C 的度数为 .
14.如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点 D,E分别在AB,BC上,且AD=BE,BD=AC,过E作EF⊥AB于 F.
(1)求证:∠FED=∠CED;
(2)若 直接写出CE 的长为 .
15.数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC 中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B 的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形 ABC 中,∠A=80°,求∠B 的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.
16.如图，钢架中焊上等长的13 根钢条来加 固钢架，若 则∠A 的度数是 .
一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值.
第1 课时 等腰三角形的性质
1. C 2. D 3. A
4.(1)36° (2)50°或80° 5.34 6.37
7.(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点,∴AD⊥BC,∴∠C+∠DAC=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD.
(2)∵ AF∥BC,∴ ∠FAE =∠AEB.∵ AB=AE,∴ ∠B=∠AEB,∴∠B=∠FAE.又∠AEF=∠BAC=90°,AB=AE,∴△ABC≌△EAF(ASA),∴AC=EF.
8. C
9. D 解析:∵ OC=CD=DE,∴ ∠O =∠ODC,∠DCE = ∠DEC.∴∠DCE=∠O+∠ODC =2∠ODC.∵ ∠O+∠OED =3∠ODC =∠BDE=75°,∴∠ODC=25∵∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.
10. B 解析:∵AB=AC=6,∴∠B=∠C.∵ ∠AED=∠B,∠BAE=180°-∠B-∠AEB,∠CED=180°-∠AED--∠AEB,∴∠BAE=∠CED.∵AD的垂直平分线交BC于点E,∴AE=DE,由AAS得△ABE≌△ECD,∴CE=AB=6,BE=CD.∵ CE =3BE,∴ CD=BE=2.
11.72° 解析:正五边形的内角为 108°,∵ BA =BC,∴ ∠BAC =∠BCA=36°,同理∠ABE=36°,∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=72°.
12.30°或150° 解析:如图①,顶角为30°;如图②,顶角为150°.
13.(1)130°或90° 解析:∵ 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°.∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形,∴当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°,∴∠ADC=130°;当∠ADB=90°时,则∠ADC=90°,故答案为130°或90°.
(2)20°或40° 解析:如图,∵ AD=BD,∠B=30°,∴∠ADC=60°.∵ DE=CE,∴ 可设∠C =∠EDC=α,则∠ADE=60°-α,∠AED=2α,根据三角形内角和定理可得,∠DAE=120°-α.分三种情况:①当AD=AE时,有( 解得α=20°;②当DA=DE时,有 解得α=40°;③当EA=ED时,有 60°-α,方程无解.综上所述,∠C的度数为20°或40°.
14.(1)如图,连接CD,∵ AC=BC,∠ACB=90°,∴ ∠A = ∠B = 45°. 在 △ADC 和△BED 中, ∴ △ADC ≌△BED(SAS),∴ DC = DE, ∠DCA =∠EDB,∴∠ECD = ∠CED, ∠DCA +∠ECD=∠EDB+∠FED=90°,.. ∠FED=∠ECD,∴∠FED=∠CED.
(2)5 解析:如图,过D作DH⊥EC于H,∵ DC=DE,DH⊥EC,∴EH= HC EC,∠EDH = ∠CDH.∴ DH∥AC,∴ ∠CDH =∠ACD,∴∠FDE=∠EDH.又 EF⊥AB,EH⊥DH,∴ EF=EH= EC.∵∠BFE=90°,∠B=45°,∴EF=BF ,. EC=5故答案为5.
15.(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°;若∠A为底角,∠B为顶角，则 ；若∠A为底角，∠B为底角,则∠B=80°.故∠B=50°或20°或80°.
(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A 只能为顶角,∴∠B的度数只有一个;②当016.12° 解析:∵ 设∠A= 则 ∠P P P =2x,..∠P P P =∠P P P =3x,…,∠P P P =∠P P P =7x,∴ ∠AP P =7x,∠AP P =7x.在△AP P 中, ,即x+7x+7x=180°,解得x=12°,即∠A=12°.
17.①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况：如图①，∠ABC=∠ACB=72°,∠A=36°,AD=BD=BC;
②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况：如图②，∠ABC=90°,∠A=36°,AD=BD=CD;
③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况：如图③，∠BAC=108°,∠B=36°,BD=AB,AD=DC;
④原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况：如图④，∠C=132°,∠ABC=36°,AD=BD,CD=BC;
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是 126°的情况：如图⑤，∠BAC=126°,∠C=36°,BD=AD=AC.
综上,原三角形的最大内角的所有可能值为 72°,90°,108°,132°或126°.