13.3 等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定 同步练习（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

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第2课时 等腰三角形的判定
1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A. a=3,b=3,c=4
B. a:b:c=2:3:4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
2.若一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是 ( )
A. 锐角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.如图,△ABC中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点D,过D点的直线EF∥BC且交AB于点E,交AC于点F,已知AB=7,AC=5,BC=6,则△AEF的周长为( )
A.9 B.11 C.12 D. 13
4.如图，D是AB 边上的中点，将△ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，若∠B=50°，则∠BDF的大小为 。
5.一条船从海岛A 出发,以 15 海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛 B 到灯塔C的距离是 海里.
6.如图,已知点D 为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A = ∠ABD,若 AC = 6,BC = 4,则 BD 的长为 .
7.如图所示，已知线段a，h，求作以2a为底，底边上的中线为h的等腰三角形.
8.如图,AB=AC,点E在AB上,DE⊥BC于点D,交CA的延长线于点 F.求证：△AEF是等腰三角形.
9.已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( )
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36°,BD 是∠ABC的平分线,交AC于点 D,E是AB的中点,连接ED并延长，交 BC的延长线于点 F，连接AF.下列结论:①EF⊥AB;②△ADB 为等腰三角形;③DB=DF;④△ACF为等腰三角形.其中错误的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
在平面直角坐标系中,已知两点A(1,2),B(-1,-1),若△ABC是以线段AB 为一腰，对称轴平行于y轴的等腰三角形，则C点的坐标是 .
12.如图，A，B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点,连接AB,BC,AC,当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 .
13.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图①中画1条线段，使图中有两个等腰三角形，并直接写出这两个等腰三角形的顶角度数分别是 °和 °；
(2)在图②中画2 条线段，使图中有 4 个等腰三角形；
(3)继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形.
14.如图,E 在△ABC 的AC边的延长线上,D 点在AB边上,DE 交 BC 于点 F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
15.如图,△ABC 中,AC=DC=3,BD 垂直于∠BAC的平分线于 D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ( )
A.1.5 B.3 C.4.5 D.9
16.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考：
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗 说明理由；
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变，求∠DAC的度数.
第2 课时 等腰三角形的判定
1. B 2. B 3. C 4.80° 5.30 6.1
7.如图所示：
①作线段AD=a,在AD的延长线上取一点B,使DB=a.
②过点 D 作AB 的垂线MN.
③在射线DM上取一点C,使CD=h.
④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
8.∵ AB=AC,∴∠B=∠C.∵ DE⊥BC,∴ ∠BDE=∠CDF =90°.∴∠C+∠F=90°,∠B+∠BED=90°.∴ ∠BED=∠F.又∠AEF=∠BED,∴∠F=∠AEF,∴AF=AE,∴△AEF是等腰三角形.
9. B 解析:如图所示,当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时,都能得到符合题意的等腰三角形，故选 B.
10. A 解析:∵ AB=AC,∠BAC=36°,∴ ∠ABC=72°.又∵ BD 是∠ABC的平分线,. ∠ABD=36°,∴∠BAD=∠ABD,∴AD=BD,即△ADB是等腰三角形,故②正确;又∵E是AB的中点,.. DE⊥AB,即FE⊥AB,故①正确;∴ FE⊥AB,AE=BE,∴ FE垂直平分 AB,∵ AF = BF,∴ ∠BAF = ∠ABF.又∵ ∠ABD = ∠BAD,∴∠FAD=∠FBD=36°又. ∠ACB =72°,∴ ∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°,∴∠CAF=∠AFC=36°,.. AC=CF,即△ACF为等腰三角形，故④正确.
11.(3,-1)或(-3,2) 解析:分两种情况:①当A为顶角顶点时,根据题意，得等腰三角形的对称轴为直线x=1· 点 B的坐标为(-1,-1),∴点C的坐标为(3,-1);②当B为顶角顶点时,根据题意，得等腰三角形的对称轴为直线x=-1，∴点A的坐标为(1,2),∴点C的坐标为(-3,2).综上所述,点C的坐标为(3,-1)或(-3,2).
12.3 15 解析：格点C的不同位置分别是C，C'，C"，如图所示. 网格中的每个小正方形的边长为 1，
13.(1)画图如图①所示,答案不唯一. 108 36解析:如图①所示,。AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,..当AE=BE时,∠A=∠ABE=36°,. ∠AEB=108°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°,. 这两个等腰三角形的顶角度数分别是 108°和36°.
(2)答案不唯一，如图②所示.
(3)2n n 解析：如图③所示，当画1条线段时，可得到2个等腰三角形；当画2条线段时，可得到4个等腰三角形；当画3条线段时，可得到6个等腰三角形 ∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形.
14.过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G,如图所示.. . DG∥AC,∴∠GDF= ∠E、∠DGB = ∠ACB. 在 △GDF 和 △CEF 中,
∴△GDF≌△CEF(ASA),∴GD=CE.∵ BD=
CE,∴BD=GD,∴∠B=∠DGB=∠ACB,∴AB=AC,.、△ABC是等腰三角形.
15. C 解析:如图,延长BD交AC的延长线于点 H.设AD 交BE 于点 O.∵ AD⊥BH, ∴∠ADB = ∠ADH = 90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,∠H+∠HAD=90°.∵ ∠BAD = ∠HAD,∴∠ABD =∠H,.. AB =AH.∵AD⊥BH,∴ BD=DH.∵ DC = CA,∴∠CDA = ∠CAD.∵ ∠CAD+∠H= 90°,∠CDA+∠CDH = 90°,∴∠CDH = ∠H,∴CD=CH = AC. ∵ AE = EC, ∴S△ABE= 1/4 S△ABH, S△COH = ∴当DC⊥AC时,△ACD的面积最大，最大面积为
16.(1)∠DAC的度数不会改变.理由:∵EA=EC,∴∠AED=2∠C ①. ①②得,∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°.
(2)设∠B=m°,则 :