13.3 等腰三角形第4课时 含30°角的直角三角形的性质同步练习（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第4课时 含30°角的直角三角形的性质
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则边AB与BC的关系是 ( )
A. AB=BC B. AB=2BC
D. AB2.如图,在△ABC中,∠B=15°,∠C=90°,DE 垂直平分 AB,交 BC 于点 E,若 BE=6cm,则AC的长是 ( )
A.6cm B. 5cm C.4 cm D. 3cm
3.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达 B处，在B 处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向 D处时，则轮船航程AD的距离是( )
A.20海里 B.40海里 C.60海里 D.80海里
4.如图,铁路 AC 与铁路 AD 相交于车站A,B 区在∠CAD的平分线上,且距车站A 为20 km,∠DAC=60°,则B区距铁路AC的距离为 km.
5.如图,在等边△ABC中,点D为BC的中点,DE⊥AB,若AB=8cm,则BD= cm,BE= cm.
6.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB = 14 cm，则阴影部分的面积为 .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,DC=3,求BD的长.
8.如图,在 Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点 M作 MN∥BC交AC 于点 N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为 ( )
A.4 B.6 C. D.8
9.如图,△ABC 是等边三角形,D为AB的中点,DE⊥AC 于点E,EF∥AB交BC于点F,已知AE=5,则△EFC的周长为 ( )
A.60 B.45 C.30 D.15
10.如图，已知△ABC是边长为3c m的等边三角形，动点P，Q 同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 1 cm/s，当点P 到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点 P 的运动时间为t(s),则当t= s时,△PBQ是直角三角形.
如图,△ABC 中,AB=BC,∠ABC=120°,E 是线段AC 上一点,连接 BE 并延长至 D,连接 CD,若∠BCD= 120°,AB = 2CD,AE =7,则线段 CE 的长为 .
12等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点 D,且 则等腰△ABC 底角的度数为 .
13.如图,等边△ABC的边长为12,D 为AB边上一动点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD=6,求AF的长;
(2)当AD取何值时,DE=EF
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3，D是BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点 D作DE⊥BC,交AB 边于点 E,将∠B 沿直线 DE 翻折，点 B落在射线BC上的点 F 处.当△AEF 为直角三角形时，求BD 的长.
15.如图,在△ABC中,∠C=60°,以AB 为边作等边△ABD,过点 D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E,若BE=2,BC=10,则AC的长为 。
16如图，在平面直角坐标系中,A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点,点C,D在x轴正半轴上.
(1)如图①,若∠BAO=60°,∠BCO=40°,BD,CE是△ABC的两条角平分线,且 BD,CE交于点 F,则CF的长是 .
(2)如图②，△ABD是等边三角形，以线段 BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 请求出此时点C 的坐标.
(3)如图③,以AB为边在AB的下方作等边△ABP,点B在γ轴上运动时，求OP 的最小值.
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第4课时 含30°角的直角三角形的性质
1. B 2. D 3. C 4.10 5.4 2 6.24.5 cm
7.∵在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,∴∠B=∠C=30°,∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵AB AD,∴∠BAD=90°,∴∠DAC=120°-90°=30°,∴∠DAC=∠C=30°,∴ CD=AD=3.在 Rt△ABD 中,∵∠BAD=90°,∠B=30°,∴BD=2AD=6.
8. B 解析:∵ CM 平分∠ACB,MN∥BC,且 MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴ ∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.
9. B 解析:∵ △ABC 是等边三角形,∴∠A=60°.∵ DE⊥AC,∴∠ADE=30°,∴ AD = 2AE = 10.∵ D 为 AB 的中点,∴ AB =2AD=20,∴AC=AB=20,∴EC=AC-AE=15.∵EF∥AB,∴∠EFC=∠B=60°,∠FEC=∠A=60°,∴△EFC是等边三角形,∴△EFC的周长=3EC=45.
10.1或2 解析:根据题意得AP= tcm,BQ= tcm,BP=(3-t) cm,若△PBQ是直角三角形,则∠BQP = 90°或∠BPQ = 90°.①当∠BQP=90°时,∠BPQ=30°,BQ BP,即 解得t=1;②当∠BPQ=90°时,∠BQP=30°,. 即 解得t=2.综上,当t=1s或t=2s时,△PBQ是直角三角形.
11.7/3解析：如图，作BM⊥AC，垂足为M,∵ AB=BC,∠ABC=120°,∴∠A=∠ACB=30°,AM=CM,∴BM= AB∵AB = 2CD, ∴BM= CD.∵ ∠DCB =120°,∴∠DCE=∠DCB-∠ACB=90°,∴∠BMC=∠DCE=90°.利用“AAS"证得△MEB≌△CED,∴ME=CE.设CE=x,则ME=x,AM=AE-ME=7-x.∴7-x=2x,∴x , 线段CE的长
12. 15°或45°或75° 解析:如图①,当点 B 是顶角顶点时,∠A=∠C=45°;
如图②,当点 B是底角顶点,且 BD 在△ABC 外部时,∠ABC=∠BAC=15°;
如图③,当点 B 是底角顶点,且 BD 在△ABC 内部时,∠ABC=∠BAC=75°.
13.(1)∵AB=12,AD=6,∴BD=AB-AD=6.在Rt△BDE中,∠BDE=90°-∠B=30°,∴BE BD=3,∴CE=BC-BE=9.在Rt△CFE 中
( 2 ) 假 设 DE = EF, 在 △BDE 和 △CEF 中,(LBEGCCFE~SO,∴△BB≌△GEP(AAS),∴EBCCF,
BD=4,∴AD=4时,DE=EF.
14. 由题意,得BD=DF BF,∠EFB=∠B=30°,∴∠AEF=∠B
如图①,当∠AFE=90°时,∠FAB=90°-∠AEF=30°.∴∠FAB=∠B,∴AF=BF.∵∠B=30°,∴∠BAC=60°.∴∠FAC=∠BAC-∠BAF=30°.在 Rt△FAC 中, ∴BF=BC-FC=2,∴BD BF=1
如图②,当∠EAF=90°时,∠FAC=90°-∠BAC=∠B =30°.∴在Rt△FAC中, 在Rt△BAF中,
综上所述，BD的长为1或2
15.7 解析:如图,延长CB到点H,使得BH=AC,连接HD交CA的延长线于点 G.
∵△ABD是等边三角形,∴AB=BD,∠ABD=∠C=60°.∵∠ABH=∠C+∠CAB =∠ABD+∠DBH.∴ ∠CAB =∠DBH,在△CAB 和△HBD 中,(COABD,∴△OB≌△HBD,∴△OB≌△HBD,∴△O≌△HBD,∴△O≌△H60°,BC=DH=10,AC=BH.∵ DE⊥BH,∴∠DEH=90°,∠EDH=30°,∴EH DH=5,∴BH=BE+EH=7,∴AC=7
16.(1)6 解析:如图①,作∠DCH=10°,CH交BD 的延长线于点 H,∵ ∠BAO = 60°,∴∠ABO=30°,∴AB=2OA=6.∵ ∠BAO=60°,∠BCO=40°,∴∠ABC=180°-60°-40°=80°.∵ BD 是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD= 40°,∴ ∠CBD = ∠DCB,∠OBD =40°-30°=10°,∴DB=DC.在△OBD 和△HCD
中， ∴ △OBD ≌ △HCD
(ASA),∴OB=HC,∠BOD=∠CHD,∴∠AOB=∠FHC.在△AOB和△FHC中 .△AOB≌△FHC(ASA),∴CF=AB=6.
(2)∵ △ABD 和△BCQ 是等边三角形,∴ ∠ABD=∠CBQ=60°,∴∠ABC=∠DBQ.在△CBA和△QBD中, ∴△CBA≌△QBD(SAS),∴ ∠BDQ=∠BAC=60°,∴ ∠PDO =60°,∴ PD=2DO=6.∵ PD DC,∴DC=9,∴OC=OD+CD=12,∴点C坐标为(12,0).
(3) 如图②，以OA 为对称轴作等边△ADE,连接EP,并延长EP交x轴于点F.由(2)得,△AEP≌△ADB,∴ ∠AEP =∠ADB=120°,∴∠OEF=60°,∴OF=OA=3,∴点 P 在直线 EF上运动,当 OP⊥EF时,OP最小,∴ 则OP的最小值