13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习 （含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 616.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-01 14:33:47 | ||
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文档简介
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13.4 课题学习 最短路径问题
1.如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水.现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)，则铺设的管道最短的是( )
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于 BP+EP的最小值的是( )
A. BC B. CE C. AD D. AC
3.如图,E是正方形ABCD 的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P是AC上一动点,则当PB+PE 为最小值时,点P为 ( )
A. AC的三等分点 B. AC的中点
C.连接DE与AC的交点 D.以上都不对
4.如图，加油站A 和商店 B 在马路 MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7 米，一个行人P在马路MN上行走，则当P到A 的距离与 P到B的距离之差最大时，这个差等于 米.
5.如图，有A，B两点和互相平行的两条直线l和m.
(1)在直线l上找一点C，使点C到点A的距离最短；
(2)在直线 m 上找一点 D,使点 D 到点 C 和点 B 的距离之和最短.
6.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(尺规作图，保留作图痕迹)
(1)若要使水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪儿建厂
(2)若要使水厂到A，B村所用的水管最短，应建在什么地方
7.如图，等腰三角形ABC 的底边BC为4，面积为24，腰AC 的垂直平分线 EF 分别交边AC,AB于点E,F,若D为BC边的中点,M 为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ( )
A.8 B.10 C. 12 D. 14
8.如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,BC⊥DC,点M,N分别是BC,AB边上的动点,∠B=56°.当△DMN的周长最小时,∠MDN的度数是 ( )
A.56° B.60° C.68° D. 124°
9.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 .
10. 如图,∠MON=15°,四边形 ABCD 的顶点 A 在∠MON的内部,B,C两点在 OM上(C 在B,O之间),且BC=1,点D在ON上,若当CD⊥OM时,四边形 ABCD 的周长最小，则此时 AD 的长度是 .
11.如图，有一条小河和一片草地，一天，某牧民的计划是从A处的牧场到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B点，你能为他设计一条最短的路线吗 (在ON上任意一点即可牧马，在OM 上任意一点即可饮马，保留作图痕迹，需要证明)
12.如图，一条直的河流l的同侧有A，B两个村庄，要把A处的产品运往B处.按计划这批产品在河岸M处装上船，沿水路行a 千米后在N处上岸，要使总路程最短，M，N两点应选在河岸l的什么位置
13. 如图，某大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l ∥l 表示小河甲，l ∥l 表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸.图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河的垂直距离为40米，B到乙河的垂直距离为20米，两河距离为100米，A，B两点水平距离(与小河平行方向)为120米，为使A，B两点间来往路程最短，那么，此时两条小河的桥址应该选在哪里
14.(1)问题背景:
如图①，点A，B在直线l同侧，在直线上找一点P,使AP+BP的值最小.
作法如下：作点B关于直线l的对称点 B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB'的长度即为AP+BP 的最小值.
(2)实践应用：
如图②,等边△ABC中,E 是AB的中点,P为高AD上一点,AD=3,连接BP,求 BP+PE 的最小值.
(3)拓展延伸：
如图③,∠AOB=30°,P是四边形 OACB内一定点,Q,R分别是OA,OB上的动点,当△PQR 周长的最小值为5时，求OP的长.
1. D 2. B 3. C 4.7
5.(1)(2)如图所示,过点A作AC⊥l于点C,连接CB交直线m于点D，则C，D即为所要求作的点.
6.(1)如图，作出AB 的垂直平分线与EF交于点M，交点M即为水厂所在位置
(2)如图,作A 点关于直线EF 的对称点 A',再连接 A'B 交 EF于点N，点N即为所求.
7. D 解析:如图,连接AD,MA.∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC边的中点，∴ 解得AD=12.∵ EF是线段AC的垂直平分线，∴点 A 关于直线 EF 的对称点为点C,MA = MC,∴ MC+DM = MA +DM ≥AD,∴AD 的长为 CM+MD 的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+
8. C 解析:如图,延长DA到E,使DA=AE,延长DC到F,使CF=DC,连接 EF 交 AB 于点 N',交 BC 于点 M', 此时,△DMN的周长最小.∵ AB⊥AD,BC ⊥ DC, ∴∠DAB =∠DCB = 90°, DM′ = FM′,DN'= EN', ∴ ∠E=∠ADN',∠F=∠CDM'.∵ ∠B=56°, ∴∠ADC=124°, 设∠M'DN'=α,∴∠ADN'+∠CDM' = 124°-α,∴∠DN'M'+∠DM'N' =2(124°- 解得α=68°,故选 C.
9.(0,3) 解析:如图,作B点关于y轴的对称点 B',连接AB'交y轴于点 C',此时△ABC的周长最小.过点A 作AE⊥x轴于点E,∵ 点A,B 的坐标分别为(1,4)和(3,0),∴OB'=OB=3,OE=1,AE=4,∴B'E=OB'+OE=4=AE,∴ △AB'E为等腰直角三角形,∴∠C'B'O=45°.∴∠B'C'O=45°,∴C'O=B'O=3,∴点C'的坐标是(0,3).
10.2 解析:如图①,分别作点A关于直线OM,ON的对称点A ,A ,连接BA ,DA ,过点A 作A A ⊥CD,交DC的延长线于A ,
由图可知AQ=A Q=A C,AB>AQ,当A,B,A 共线时,AB最短,此时 ∵四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=A C+CD+ ∴如图②,当A ,C,D,A 共线时,四边形ABCD的周长最短,作 AH⊥CD 于 H.∵ ∠MON=15°,CD⊥OM,∴ ∠ODC=90°-15°=75°,∴ ∠FDA =∠ODC=∠ADF=
11.如图①,分别作点A,B关于ON,OM的对称点E,F,连接EF,分别交ON,OM于点C,D,则最短路线为AC→CD→DB.
证明如下：如图②，在ON上任意取一点除C外的点T，在OM上任意取一点除D外的点R,连接FR,BR,RT,ET,AT,∵A,E关于ON对称,∴AC=EC,AT=ET,同理BD=FD,FR=BR,∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+RF∵ET+TR+RF=ET+TF>EF,∴AC+CD+DB12.如图所示.作法:①过点A作AE∥l,在AE上截取AA'=a;②作点B关于直线l的对称点 B'，连接A'B'交直线 l于点 N；③过点 A作AM∥A'B',交直线l于点M,则点M,N即为所求.
13.如图,作AA'⊥l ,且AA'=8米,作BB'⊥l ,且. 米，连接A'B'交l ,l 于点D,E,过点 D作DC⊥l ,垂足为点 C;过点 E作EF⊥l ,垂足为点 F,连接AC,BF. CD和EF即为桥址所在.
14.(2)∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高, B,C关于AD对称,∠ABC=60°,∴ PB=PC。P. EC就是 BP+PE的最小值.∵ 在等边△ABC中,E是AB的中点,∴CE⊥AB,.. CE=AD=3,∴BP+PE的最小值为 3.
(3)如图,分别作点 P 关于 OA,OB的对称点E,D,连接ED,分别交OA,OB 于点 Q,R,连接OE,OD.∵点P 关于 OA 的对称点为E,关于 OB 的对称点为 D,∴PQ= EQ,OP = OE,∠EOA =∠POA.∵ 点P关于OB的对称点为D,∴PR=DR,OP=OD,∠DOB=∠POB,∴OE=OD=OP,∠EOD=∠EOA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,.△EOD是等边三角形,.. ED=OE=OD.∴OP=ED. △PQR周长的最小值为PQ+QR+PR=EQ+QR+RD=ED,∴OP=△PQR周长的最小值=5.
13.4 课题学习 最短路径问题
1.如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水.现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)，则铺设的管道最短的是( )
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于 BP+EP的最小值的是( )
A. BC B. CE C. AD D. AC
3.如图,E是正方形ABCD 的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P是AC上一动点,则当PB+PE 为最小值时,点P为 ( )
A. AC的三等分点 B. AC的中点
C.连接DE与AC的交点 D.以上都不对
4.如图，加油站A 和商店 B 在马路 MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7 米，一个行人P在马路MN上行走，则当P到A 的距离与 P到B的距离之差最大时，这个差等于 米.
5.如图，有A，B两点和互相平行的两条直线l和m.
(1)在直线l上找一点C，使点C到点A的距离最短；
(2)在直线 m 上找一点 D,使点 D 到点 C 和点 B 的距离之和最短.
6.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(尺规作图，保留作图痕迹)
(1)若要使水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪儿建厂
(2)若要使水厂到A，B村所用的水管最短，应建在什么地方
7.如图，等腰三角形ABC 的底边BC为4，面积为24，腰AC 的垂直平分线 EF 分别交边AC,AB于点E,F,若D为BC边的中点,M 为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ( )
A.8 B.10 C. 12 D. 14
8.如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,BC⊥DC,点M,N分别是BC,AB边上的动点,∠B=56°.当△DMN的周长最小时,∠MDN的度数是 ( )
A.56° B.60° C.68° D. 124°
9.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 .
10. 如图,∠MON=15°,四边形 ABCD 的顶点 A 在∠MON的内部,B,C两点在 OM上(C 在B,O之间),且BC=1,点D在ON上,若当CD⊥OM时,四边形 ABCD 的周长最小，则此时 AD 的长度是 .
11.如图，有一条小河和一片草地，一天，某牧民的计划是从A处的牧场到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B点，你能为他设计一条最短的路线吗 (在ON上任意一点即可牧马，在OM 上任意一点即可饮马，保留作图痕迹，需要证明)
12.如图，一条直的河流l的同侧有A，B两个村庄，要把A处的产品运往B处.按计划这批产品在河岸M处装上船，沿水路行a 千米后在N处上岸，要使总路程最短，M，N两点应选在河岸l的什么位置
13. 如图，某大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l ∥l 表示小河甲，l ∥l 表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸.图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河的垂直距离为40米，B到乙河的垂直距离为20米，两河距离为100米，A，B两点水平距离(与小河平行方向)为120米，为使A，B两点间来往路程最短，那么，此时两条小河的桥址应该选在哪里
14.(1)问题背景:
如图①，点A，B在直线l同侧，在直线上找一点P,使AP+BP的值最小.
作法如下：作点B关于直线l的对称点 B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB'的长度即为AP+BP 的最小值.
(2)实践应用：
如图②,等边△ABC中,E 是AB的中点,P为高AD上一点,AD=3,连接BP,求 BP+PE 的最小值.
(3)拓展延伸：
如图③,∠AOB=30°,P是四边形 OACB内一定点,Q,R分别是OA,OB上的动点,当△PQR 周长的最小值为5时，求OP的长.
1. D 2. B 3. C 4.7
5.(1)(2)如图所示,过点A作AC⊥l于点C,连接CB交直线m于点D，则C，D即为所要求作的点.
6.(1)如图，作出AB 的垂直平分线与EF交于点M，交点M即为水厂所在位置
(2)如图,作A 点关于直线EF 的对称点 A',再连接 A'B 交 EF于点N，点N即为所求.
7. D 解析:如图,连接AD,MA.∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC边的中点，∴ 解得AD=12.∵ EF是线段AC的垂直平分线，∴点 A 关于直线 EF 的对称点为点C,MA = MC,∴ MC+DM = MA +DM ≥AD,∴AD 的长为 CM+MD 的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+
8. C 解析:如图,延长DA到E,使DA=AE,延长DC到F,使CF=DC,连接 EF 交 AB 于点 N',交 BC 于点 M', 此时,△DMN的周长最小.∵ AB⊥AD,BC ⊥ DC, ∴∠DAB =∠DCB = 90°, DM′ = FM′,DN'= EN', ∴ ∠E=∠ADN',∠F=∠CDM'.∵ ∠B=56°, ∴∠ADC=124°, 设∠M'DN'=α,∴∠ADN'+∠CDM' = 124°-α,∴∠DN'M'+∠DM'N' =2(124°- 解得α=68°,故选 C.
9.(0,3) 解析:如图,作B点关于y轴的对称点 B',连接AB'交y轴于点 C',此时△ABC的周长最小.过点A 作AE⊥x轴于点E,∵ 点A,B 的坐标分别为(1,4)和(3,0),∴OB'=OB=3,OE=1,AE=4,∴B'E=OB'+OE=4=AE,∴ △AB'E为等腰直角三角形,∴∠C'B'O=45°.∴∠B'C'O=45°,∴C'O=B'O=3,∴点C'的坐标是(0,3).
10.2 解析:如图①,分别作点A关于直线OM,ON的对称点A ,A ,连接BA ,DA ,过点A 作A A ⊥CD,交DC的延长线于A ,
由图可知AQ=A Q=A C,AB>AQ,当A,B,A 共线时,AB最短,此时 ∵四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=A C+CD+ ∴如图②,当A ,C,D,A 共线时,四边形ABCD的周长最短,作 AH⊥CD 于 H.∵ ∠MON=15°,CD⊥OM,∴ ∠ODC=90°-15°=75°,∴ ∠FDA =∠ODC=∠ADF=
11.如图①,分别作点A,B关于ON,OM的对称点E,F,连接EF,分别交ON,OM于点C,D,则最短路线为AC→CD→DB.
证明如下：如图②，在ON上任意取一点除C外的点T，在OM上任意取一点除D外的点R,连接FR,BR,RT,ET,AT,∵A,E关于ON对称,∴AC=EC,AT=ET,同理BD=FD,FR=BR,∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+RF∵ET+TR+RF=ET+TF>EF,∴AC+CD+DB
13.如图,作AA'⊥l ,且AA'=8米,作BB'⊥l ,且. 米，连接A'B'交l ,l 于点D,E,过点 D作DC⊥l ,垂足为点 C;过点 E作EF⊥l ,垂足为点 F,连接AC,BF. CD和EF即为桥址所在.
14.(2)∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高, B,C关于AD对称,∠ABC=60°,∴ PB=PC。P. EC就是 BP+PE的最小值.∵ 在等边△ABC中,E是AB的中点,∴CE⊥AB,.. CE=AD=3,∴BP+PE的最小值为 3.
(3)如图,分别作点 P 关于 OA,OB的对称点E,D,连接ED,分别交OA,OB 于点 Q,R,连接OE,OD.∵点P 关于 OA 的对称点为E,关于 OB 的对称点为 D,∴PQ= EQ,OP = OE,∠EOA =∠POA.∵ 点P关于OB的对称点为D,∴PR=DR,OP=OD,∠DOB=∠POB,∴OE=OD=OP,∠EOD=∠EOA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,.△EOD是等边三角形,.. ED=OE=OD.∴OP=ED. △PQR周长的最小值为PQ+QR+PR=EQ+QR+RD=ED,∴OP=△PQR周长的最小值=5.