13.1 轴对称第2课时 线段的垂直平分线的性质同步练习（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 13.1 轴对称第2课时 线段的垂直平分线的性质同步练习（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 548.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-31 21:21:09 | ||
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文档简介
第2课时 线段的垂直平分线的性质
1.如图，直线l是AB的垂直平分线，直线l交AB于点O，M是l上的一点，D，E是AB上不同的两个点，则下列结论不一定正确的是( )
A. MA=MB B. OA=OB
C. MD=ME D.∠MOA=90°
2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三个顶点A，B，C的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
3.下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M，N不在AB上)的垂直平分线的是 ( )
A. MA=MB,NA=NB B. MA=MB,MN⊥AB
C. MA=NA,MB=NB D. MA=MB,MN平分AB
4.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心，大 AC 的长为半径画弧，两弧交于点M,N,作直线 MN交BC于点 D,连接AD,则∠BAD 的度数为 .
5.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点 D,E,若△ABC 的周长为30,BE=5,则△ABD的周长为 .
6.按要求作图(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)：
(1)如图①,已知△ABC,求作BC边上的高AD和AC边的垂直平分线l，AD与l交于点E；
(2)画出图②所示图形的对称轴.
7.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:BF=DF.
8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的方格纸中，找出格点 C，使AC=BC，则满足条件的格点C有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
9. 如图，根据长方形ABCD中尺规作图的痕迹，计算∠α=( )
A.56° B.68° C.28° D.34°
10.如图，点 P是∠AOB外的一点，分别作点P关于边 OA,OB 的对称点 Q,R.直线 QR 分别与OA,OB交于点M,N.
(1)若PM=3c m,PN=4 cm,MN=4.5 cm,则线段 QR 的长为
(2)若∠QMO=40°,∠RNO=70°,则∠QPR的度数是 .
11. (1)在△ABC中,AB=AC,OB=OC,且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3,则AO的长为 .
(2)在△ABC 中,BC=10,AB 的垂直 名师指导平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E,且DE=4,则AD+AE为 .
12.某地计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内(如图所示).医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等.请你通过尺规作图确定P点的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
13.辨析题:在△ABC中,已知AB>AC,求证:AB=AC.
证明：如图，作∠BAC的平分线与边BC的垂直平分
线OM交于点O,则OB=OC,再作OE垂直AB于点
E,OF垂直AC于点F,则OE=OF,
∴Rt△BOE≌Rt△COF,∴BE=CF. ①
在 Rt△AOE和Rt△AOF中,OE=OF,AO=AO,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,.. AE=AF.②
由①②得AB=AC.
上述画图与证明过程中，哪里出错了呢
这说明我们今后在解题时又要注意什么呢
在△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线与边 BC的垂直平分线相交于点O，OE垂直AB于点 E，那么三
条线段AB，AC，BE之间有何等量关系 请你写出来并加以证明.
14. 数学活动课中，老师给出以下问题：
(1)如图①,在△ABC中,D是边BC的中点,若AB=5,AC=9，则中线AD长度的取值范围是 .
(2)如图②,在△ABC中,∠A为锐角,D 是边BC的中点,过 D 点的射线 DE 交边 AB 于 E,再作DF⊥DE交边AC于点 F,连接EF,请探索由三条线段 BE，EF，CF构成的三角形的形状，并说明理由.
(3)已知:如图③,AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°且DC=DE,F是线段BE的中点.求证:AF⊥FD.
第2 课时 线段的垂直平分线的性质
1. C 2. D 3. C 4.70° 5.20
6.(1)如图所示.
(2)如图所示.
7.在△AOB 与△COD 中, . △AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD,∴点O在线段BD的垂直平分线上.∵ BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上,∴OE 垂直平分 BD,∴BF=DF.
8. A
9. A 解析：由题图可知，∠α是AC的垂直平分线和∠DAC的平分线相交构成的锐角,∵ ∠ACB=68°,∴∠DAC=68°,∴∠α=90°-68°÷2=56°.
10.(1)5.5cm 解析:∵点P,Q关于直线OA对称,点P,R关于直线OB对称,∴直线OA,OB 分别是PQ,PR 的垂直平分线,∴QM=PM=3cm,RN=PN=4 cm.∵ MN=4.5 cm,∴ QN=MN-MQ=1.5( cm),∴QR=RN+NQ=5.5( cm).
(2)30° 解析:由题意得MP=MQ,NP=NR,根据轴对称和全等可得∠PMO=∠RMO =40°,∠RNO =∠ONP=70°,∴∠PMQ=80°,∠MPQ =∠MQP =50°,∠NPR =∠NRP =20°,∴ ∠MPR =180°-∠R-∠RMP=80°,∴∠QPR=∠MPR-∠MPQ=30°.
11.(1)5或11 解析:如图①,当O在△ABC内时,∵AB=AC,OB=OC,∴AM为BC的垂直平分线,∴AM⊥BC,∴AO=AM-OM=5;如图②,当O在△ABC外时,AO=AM+OM=11.
(2)6或14 解析:∵ AB,AC的垂直平分线分别交BC 于点 D,E,∴AD=BD,AE=CE,∴AD+AE=BD+CE.∵ BC=10,DE=4,∴如图①,AD+AE=BD+CE=BC-DE=6;如图②,AD+AE=BD+CE=BC+DE=14.
12.如图所示：
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13.图形出现错误，解题时应注意画图的准确性.正确的图形如图所示.三条线段 AB,AC,BE 的等量关系为 AB =AC+2BE,证明如下:∵ AO 为∠BAC的平分线,OE⊥AB,OF⊥AC,.. OE=OF.在Rt△AOE和 Rt△AOF中. . Rt△AOE≌ Rt △AOF (HL),∴ AE=AF.又OM为BC的垂直平分线,∴OB=OC.在Rt△OEB和Rt△OFC中 . Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),∴BE=CF,则AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE.
14.(1)2(2)BE，EF，CF构成的三角形为钝角三角形.理由：如图②，延长FD到点G,使DG=FD,连接GE,GB,∵D是CB的中点,∴CD=BD.在△CDF和△BDG中,FD=GD,∠CDF=∠GDB,CD=BD,∴△DCF≌△DBG(SAS),∴CF=BG,∠DCF=∠DBG,∴AC∥BG.∵ FD⊥DE,FD=DG,∴ED是GF的垂直平分线,∴FE=GE,∴BE,EF,CF构成的三角形转化为△BEG.∵ ∠EBG=180°-∠A,∠A为锐角,∴∠EBG为钝角,△BEG为钝角三角形,.. BE,EF,CF构成的三角形为钝角三角形.
(3)延长AF到 G 使 FG=AF,连接GE,GD.∵ F 是 BE 的中点,∴BF=EF∴ 在△AFB与△EFG中,AF=FG,∠AFB=∠EFG,BF=EF,…△ABF≌△GEF,.. AB=EG,∠B=∠FEG.∵AB=AC,.. AC=GE∴ ∠BAC=∠CDE=90°,..根据四边形内角和得∠B+∠DEF+∠CAD+∠CDA=180°∵∠CAD+∠C+∠CDA=180°,∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED.在△ACD与△GED中,∴ AC=GE,∠C =∠GED,CD=ED,∴ △ACD≌△GED,∴AD = GD.又∵AF=GF,.. FD为AG的垂直平分线,AF⊥FD.
1.如图，直线l是AB的垂直平分线，直线l交AB于点O，M是l上的一点，D，E是AB上不同的两个点，则下列结论不一定正确的是( )
A. MA=MB B. OA=OB
C. MD=ME D.∠MOA=90°
2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三个顶点A，B，C的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
3.下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M，N不在AB上)的垂直平分线的是 ( )
A. MA=MB,NA=NB B. MA=MB,MN⊥AB
C. MA=NA,MB=NB D. MA=MB,MN平分AB
4.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心，大 AC 的长为半径画弧，两弧交于点M,N,作直线 MN交BC于点 D,连接AD,则∠BAD 的度数为 .
5.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点 D,E,若△ABC 的周长为30,BE=5,则△ABD的周长为 .
6.按要求作图(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)：
(1)如图①,已知△ABC,求作BC边上的高AD和AC边的垂直平分线l，AD与l交于点E；
(2)画出图②所示图形的对称轴.
7.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:BF=DF.
8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的方格纸中，找出格点 C，使AC=BC，则满足条件的格点C有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
9. 如图，根据长方形ABCD中尺规作图的痕迹，计算∠α=( )
A.56° B.68° C.28° D.34°
10.如图，点 P是∠AOB外的一点，分别作点P关于边 OA,OB 的对称点 Q,R.直线 QR 分别与OA,OB交于点M,N.
(1)若PM=3c m,PN=4 cm,MN=4.5 cm,则线段 QR 的长为
(2)若∠QMO=40°,∠RNO=70°,则∠QPR的度数是 .
11. (1)在△ABC中,AB=AC,OB=OC,且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3,则AO的长为 .
(2)在△ABC 中,BC=10,AB 的垂直 名师指导平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E,且DE=4,则AD+AE为 .
12.某地计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内(如图所示).医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等.请你通过尺规作图确定P点的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
13.辨析题:在△ABC中,已知AB>AC,求证:AB=AC.
证明：如图，作∠BAC的平分线与边BC的垂直平分
线OM交于点O,则OB=OC,再作OE垂直AB于点
E,OF垂直AC于点F,则OE=OF,
∴Rt△BOE≌Rt△COF,∴BE=CF. ①
在 Rt△AOE和Rt△AOF中,OE=OF,AO=AO,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,.. AE=AF.②
由①②得AB=AC.
上述画图与证明过程中，哪里出错了呢
这说明我们今后在解题时又要注意什么呢
在△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线与边 BC的垂直平分线相交于点O，OE垂直AB于点 E，那么三
条线段AB，AC，BE之间有何等量关系 请你写出来并加以证明.
14. 数学活动课中，老师给出以下问题：
(1)如图①,在△ABC中,D是边BC的中点,若AB=5,AC=9，则中线AD长度的取值范围是 .
(2)如图②,在△ABC中,∠A为锐角,D 是边BC的中点,过 D 点的射线 DE 交边 AB 于 E,再作DF⊥DE交边AC于点 F,连接EF,请探索由三条线段 BE，EF，CF构成的三角形的形状，并说明理由.
(3)已知:如图③,AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°且DC=DE,F是线段BE的中点.求证:AF⊥FD.
第2 课时 线段的垂直平分线的性质
1. C 2. D 3. C 4.70° 5.20
6.(1)如图所示.
(2)如图所示.
7.在△AOB 与△COD 中, . △AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD,∴点O在线段BD的垂直平分线上.∵ BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上,∴OE 垂直平分 BD,∴BF=DF.
8. A
9. A 解析：由题图可知，∠α是AC的垂直平分线和∠DAC的平分线相交构成的锐角,∵ ∠ACB=68°,∴∠DAC=68°,∴∠α=90°-68°÷2=56°.
10.(1)5.5cm 解析:∵点P,Q关于直线OA对称,点P,R关于直线OB对称,∴直线OA,OB 分别是PQ,PR 的垂直平分线,∴QM=PM=3cm,RN=PN=4 cm.∵ MN=4.5 cm,∴ QN=MN-MQ=1.5( cm),∴QR=RN+NQ=5.5( cm).
(2)30° 解析:由题意得MP=MQ,NP=NR,根据轴对称和全等可得∠PMO=∠RMO =40°,∠RNO =∠ONP=70°,∴∠PMQ=80°,∠MPQ =∠MQP =50°,∠NPR =∠NRP =20°,∴ ∠MPR =180°-∠R-∠RMP=80°,∴∠QPR=∠MPR-∠MPQ=30°.
11.(1)5或11 解析:如图①,当O在△ABC内时,∵AB=AC,OB=OC,∴AM为BC的垂直平分线,∴AM⊥BC,∴AO=AM-OM=5;如图②,当O在△ABC外时,AO=AM+OM=11.
(2)6或14 解析:∵ AB,AC的垂直平分线分别交BC 于点 D,E,∴AD=BD,AE=CE,∴AD+AE=BD+CE.∵ BC=10,DE=4,∴如图①,AD+AE=BD+CE=BC-DE=6;如图②,AD+AE=BD+CE=BC+DE=14.
12.如图所示：
中小学教育资源及组卷应用平台
13.图形出现错误，解题时应注意画图的准确性.正确的图形如图所示.三条线段 AB,AC,BE 的等量关系为 AB =AC+2BE,证明如下:∵ AO 为∠BAC的平分线,OE⊥AB,OF⊥AC,.. OE=OF.在Rt△AOE和 Rt△AOF中. . Rt△AOE≌ Rt △AOF (HL),∴ AE=AF.又OM为BC的垂直平分线,∴OB=OC.在Rt△OEB和Rt△OFC中 . Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),∴BE=CF,则AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE.
14.(1)2
(3)延长AF到 G 使 FG=AF,连接GE,GD.∵ F 是 BE 的中点,∴BF=EF∴ 在△AFB与△EFG中,AF=FG,∠AFB=∠EFG,BF=EF,…△ABF≌△GEF,.. AB=EG,∠B=∠FEG.∵AB=AC,.. AC=GE∴ ∠BAC=∠CDE=90°,..根据四边形内角和得∠B+∠DEF+∠CAD+∠CDA=180°∵∠CAD+∠C+∠CDA=180°,∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED.在△ACD与△GED中,∴ AC=GE,∠C =∠GED,CD=ED,∴ △ACD≌△GED,∴AD = GD.又∵AF=GF,.. FD为AG的垂直平分线,AF⊥FD.