12.3 角的平分线的性质第 1 课时 角的平分线的性质 同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学上册(含答案)
文档属性
| 名称 | 12.3 角的平分线的性质第 1 课时 角的平分线的性质 同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学上册(含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 439.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-31 12:44:40 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
12.3 角的平分线的性质
第 1 课时 角的平分线的性质
1.如图，用直尺和圆规作一个已知角的平分线，能得出∠MOC=∠NOC的依据是( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2.在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AD 平分∠BAC,交 BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=2，则DE的长为 ( )
A.3 B C.2 D.6
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB 于点 M,N,再分别以点 M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是( )
A.15 B.30 C.45 D.60
4.如图,点P是∠AOC的平分线上一点,PD⊥OA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 .
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC边于点 D,若AB=12,CD=4,则△ABD的面积为 .
6.如图,D是△ABC 中 BC 边上一点,∠C=∠DAC.
(1)尺规作图:作∠ADB的平分线,交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下,求证:DE∥AC.
7.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则 等于 ( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2:3:4 D.3:4:5
8.如图,AD 是△ABC的平分线,DF⊥AB于点F,DE=DG,AG=16,AE=8,若S△ADC=64,则△DEF的面积为 ( )
A.12 B. 16 C.20 D.24
9.如图,AB∥CD,BE 和CE 分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直，点P为线段 BC上一动点，连接PE.若AD=8,BC=10,则PE的最小值为 .
10.如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC的平分线 BP 交于点 P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .
11.如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点 E在 BD上,连接AE,CE,DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G,求证:DF=DG.
12.如图,在四边形ABCD 中,OA,OB,OC,OD分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,求证:AB+CD=AD+BC.
13.如图所示,I是△ABC三内角平分线的交点,IE⊥BC于E，AI的延长线交BC于 D，CI的延长线交AB于F，下列结论：
③BE (AB+BC-AC);④AC=AF+DC
其中正确的结论是 .(填序号)
14.已知AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN.
(1)求∠AEB的度数;
(2)如图②，过点 E的直线交射线AM于点 C，交射线 BN于点D,求证:AC+BD=AB;
(3)如图③，过点 E 的直线交射线 AM 的反向延长线于点 C,交射线 BN于点 D,AB=5,AC = 求△BDE 的面积.
第1课时 角的平分线的性质
1. A 2. C 3. B 4.3 5.24
6.(1)如图.
(2)∵ DE平分∠ADB,∴∠ADE=∠BDE∵∠ADB=∠C+∠DAC,且∠C=∠DAC,∴2∠BDE=2∠C,即∠BDE=∠C,∴DE∥AC.
7. C
8. B 解析:如图,过 D 点作 DH⊥ AC 于 8.∵ AD 是△ABC 的平分线,DF ⊥AB,DH⊥AC,∴ DF = DH= 8.由 得Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),∴EF=HG,同理可得AF=AH∴ EF=AF-AE=AH-AE=AG-HG-AE=16-EF-8,
9.4 解析:过 E 作 EP⊥BC于P,此时PE的值最小,AB∥CD,AD⊥AB,∴AD⊥CD∴BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,.. AE=PE,ED=PE,∴AE=ED=PE,∴ 即 PE的最小值是4.
10.50° 解析:如图,延长 BA,作 PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,垂足分别为N,F,M. 设 ∠PCD = x°, ∵ CP 平分∠ACD,∴ ∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN.· BP 平 分 ∠ABC, .. ∠ABP =∠PBC,PF=PN,∴ PF=PM.∠ABP= B∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°, ∴∠CAF = 100°.∵ {PF=PM,.. Rt△PFA ≌Rt△PMA ( HL),. ∠FAP=∠CAP=50°.
11. ∵ BD 平分∠ABC,.. ∠ABD =∠DBC.在△ABE 和△CBE 中,
(AABGB,∠GBD,∴ △ABB≌△CBE(SAS),∴ ∠ABB≌∠CBB,
∴∠AED=∠CED.又 DF⊥AE,DG⊥EC,∴ △DEF≌△DEG,∴DF=DG.
12.过O分别作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD,则∠AEO=∠AHO=90°.∵AO 平分∠BAD,..∠OAE =∠OAH.在△OAE 和△OAH中, .△OAE≌△OAH,∴AE=AH,同理
可得BE=BF,CF=CG,DG=DH,∴AB+CD=AD+BC.
13.①②③ 解析:①∵Ⅰ为△ABC三条角平分线的交点,IE⊥BC于E,∴∠ABI= ∠IBD.∵ ∠DIC = ∠DAC+∠ACI (∠BAC∠ACB),∠ABI ∠ABC,∴∠CID+∠ABI=90°.又∵ . ∠IBE=90°,∠ABI=∠IBE,∴∠BIE=∠CID,即①成立.②易知点I到△ABC 三边的距离相等，. 即②成立.③过点I作IH⊥AB于H,IG⊥AC于G,∴IE=IH=IG.∵{AI=HC,∴Rt△AHI≌Rt△AGI(HL),∴AH=AG,同理 BE=BH,CE=CG,∴BE+BH=AB+BC-AH- 即③成立.④由③得IH=IE.∵∠FHI=∠IED=90°,∴ △IHF与△DEI不一定全等,∴HF不一定等于DE,∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD,即④错误.故答案为①②③.
14.(1)∵AM∥BN,∴∠BAM+∠ABN=180°.∵AE平分∠BAM,BE平分 +
(2)如图①,在AB上截取AF=AC,连接EF,在△ACE 与△AFE中，ALEAEC,∠AE,∴△AEC,∵线AFE,∴ ∠AEC,∴∠AEE≌△AFFE,∴∠AECE≌△AFF,
∵ ∠AEB = 90°,∴ ∠AEF + ∠BEF = ∠AEC + ∠BED = 90°,
∴∠FEB= ∠DEB.在 △BFE 与△BDE 中,
∴△BFE≌△BDE,∴BF=BD.∵ AB=AF+BF,∴AC+BD=AB.
(3)如图②,延长AE交BD于点F,∵ ∠AEB=90°,∴BE⊥AF.又∵ BE平分∠ABN,∴∠ABE=∠FBE.在△ABE和△FBE 中. ∴△ABE≌△FBE,∴AB=BF=5,AE=EF∵AM∥BN,∴∠C=∠EDF.在 △ACE 与 △FDE 中, ∴ △ACE ≌ △FDE,∴DF=AC=3∴BF=5,∴设S△BEF=S△ABE=5x,S△DEF=S△ACE=3x.∵S△ABE-S△ACE=2,∴ 5x-3x=2,∴ x=1,∴ S△BDE =S△BEF +
12.3 角的平分线的性质
第 1 课时 角的平分线的性质
1.如图，用直尺和圆规作一个已知角的平分线，能得出∠MOC=∠NOC的依据是( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2.在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AD 平分∠BAC,交 BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=2，则DE的长为 ( )
A.3 B C.2 D.6
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB 于点 M,N,再分别以点 M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是( )
A.15 B.30 C.45 D.60
4.如图,点P是∠AOC的平分线上一点,PD⊥OA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 .
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC边于点 D,若AB=12,CD=4,则△ABD的面积为 .
6.如图,D是△ABC 中 BC 边上一点,∠C=∠DAC.
(1)尺规作图:作∠ADB的平分线,交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下,求证:DE∥AC.
7.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则 等于 ( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2:3:4 D.3:4:5
8.如图,AD 是△ABC的平分线,DF⊥AB于点F,DE=DG,AG=16,AE=8,若S△ADC=64,则△DEF的面积为 ( )
A.12 B. 16 C.20 D.24
9.如图,AB∥CD,BE 和CE 分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直，点P为线段 BC上一动点，连接PE.若AD=8,BC=10,则PE的最小值为 .
10.如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC的平分线 BP 交于点 P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .
11.如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点 E在 BD上,连接AE,CE,DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G,求证:DF=DG.
12.如图,在四边形ABCD 中,OA,OB,OC,OD分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,求证:AB+CD=AD+BC.
13.如图所示,I是△ABC三内角平分线的交点,IE⊥BC于E，AI的延长线交BC于 D，CI的延长线交AB于F，下列结论：
③BE (AB+BC-AC);④AC=AF+DC
其中正确的结论是 .(填序号)
14.已知AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN.
(1)求∠AEB的度数;
(2)如图②，过点 E的直线交射线AM于点 C，交射线 BN于点D,求证:AC+BD=AB;
(3)如图③，过点 E 的直线交射线 AM 的反向延长线于点 C,交射线 BN于点 D,AB=5,AC = 求△BDE 的面积.
第1课时 角的平分线的性质
1. A 2. C 3. B 4.3 5.24
6.(1)如图.
(2)∵ DE平分∠ADB,∴∠ADE=∠BDE∵∠ADB=∠C+∠DAC,且∠C=∠DAC,∴2∠BDE=2∠C,即∠BDE=∠C,∴DE∥AC.
7. C
8. B 解析:如图,过 D 点作 DH⊥ AC 于 8.∵ AD 是△ABC 的平分线,DF ⊥AB,DH⊥AC,∴ DF = DH= 8.由 得Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),∴EF=HG,同理可得AF=AH∴ EF=AF-AE=AH-AE=AG-HG-AE=16-EF-8,
9.4 解析:过 E 作 EP⊥BC于P,此时PE的值最小,AB∥CD,AD⊥AB,∴AD⊥CD∴BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,.. AE=PE,ED=PE,∴AE=ED=PE,∴ 即 PE的最小值是4.
10.50° 解析:如图,延长 BA,作 PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,垂足分别为N,F,M. 设 ∠PCD = x°, ∵ CP 平分∠ACD,∴ ∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN.· BP 平 分 ∠ABC, .. ∠ABP =∠PBC,PF=PN,∴ PF=PM.∠ABP= B∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°, ∴∠CAF = 100°.∵ {PF=PM,.. Rt△PFA ≌Rt△PMA ( HL),. ∠FAP=∠CAP=50°.
11. ∵ BD 平分∠ABC,.. ∠ABD =∠DBC.在△ABE 和△CBE 中,
(AABGB,∠GBD,∴ △ABB≌△CBE(SAS),∴ ∠ABB≌∠CBB,
∴∠AED=∠CED.又 DF⊥AE,DG⊥EC,∴ △DEF≌△DEG,∴DF=DG.
12.过O分别作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD,则∠AEO=∠AHO=90°.∵AO 平分∠BAD,..∠OAE =∠OAH.在△OAE 和△OAH中, .△OAE≌△OAH,∴AE=AH,同理
可得BE=BF,CF=CG,DG=DH,∴AB+CD=AD+BC.
13.①②③ 解析:①∵Ⅰ为△ABC三条角平分线的交点,IE⊥BC于E,∴∠ABI= ∠IBD.∵ ∠DIC = ∠DAC+∠ACI (∠BAC∠ACB),∠ABI ∠ABC,∴∠CID+∠ABI=90°.又∵ . ∠IBE=90°,∠ABI=∠IBE,∴∠BIE=∠CID,即①成立.②易知点I到△ABC 三边的距离相等，. 即②成立.③过点I作IH⊥AB于H,IG⊥AC于G,∴IE=IH=IG.∵{AI=HC,∴Rt△AHI≌Rt△AGI(HL),∴AH=AG,同理 BE=BH,CE=CG,∴BE+BH=AB+BC-AH- 即③成立.④由③得IH=IE.∵∠FHI=∠IED=90°,∴ △IHF与△DEI不一定全等,∴HF不一定等于DE,∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD,即④错误.故答案为①②③.
14.(1)∵AM∥BN,∴∠BAM+∠ABN=180°.∵AE平分∠BAM,BE平分 +
(2)如图①,在AB上截取AF=AC,连接EF,在△ACE 与△AFE中，ALEAEC,∠AE,∴△AEC,∵线AFE,∴ ∠AEC,∴∠AEE≌△AFFE,∴∠AECE≌△AFF,
∵ ∠AEB = 90°,∴ ∠AEF + ∠BEF = ∠AEC + ∠BED = 90°,
∴∠FEB= ∠DEB.在 △BFE 与△BDE 中,
∴△BFE≌△BDE,∴BF=BD.∵ AB=AF+BF,∴AC+BD=AB.
(3)如图②,延长AE交BD于点F,∵ ∠AEB=90°,∴BE⊥AF.又∵ BE平分∠ABN,∴∠ABE=∠FBE.在△ABE和△FBE 中. ∴△ABE≌△FBE,∴AB=BF=5,AE=EF∵AM∥BN,∴∠C=∠EDF.在 △ACE 与 △FDE 中, ∴ △ACE ≌ △FDE,∴DF=AC=3∴BF=5,∴设S△BEF=S△ABE=5x,S△DEF=S△ACE=3x.∵S△ABE-S△ACE=2,∴ 5x-3x=2,∴ x=1,∴ S△BDE =S△BEF +