四川省泸州市纳溪区2024年中考数学适应性考试试题
1．（2024·纳溪模拟）3的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·纳溪模拟） “山河明月·醉酒城”被称为纳溪的“不夜城”，据初步统计2024年春节假期期间累计接待游客约1410000人次，请将1410000用科学记数法表示
A． B． C． D．
3．（2024·纳溪模拟） 如图，，．若，则的度数为 （ ）
A．35° B．45° C．70° D．50°
4．（2024·纳溪模拟）下列几何体中，主视图是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·纳溪模拟）下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·纳溪模拟）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2024·纳溪模拟） 如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·纳溪模拟）如图，在□ABCD中，DF平分，交BC于点E，交AB的延长线于点F．，，则BF的长是 （ ）
A．2 B． C．3 D．
9．（2024·纳溪模拟） 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的值是 （ ）
A．-3 B．-4 C．4 D．5
10．（2024·纳溪模拟）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点B是AC的中点，线段，则点C表示的数是 （ ）
A．2 B． C． D．
11．（2024·纳溪模拟） 如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为，连接交BD于点E，连接．OE为半径，与CD相切，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
12．（2024·纳溪模拟）抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．或
C． D．或
13．（2024·纳溪模拟）因式分解： .
14．（2024·纳溪模拟）请写出一个正整数 的值，使得是整数．
15．（2024·纳溪模拟）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ．
16．（2024·纳溪模拟）如图，已知AB是的直径，PB是的切线，PA交于点C，AB=4，PB=3．则△ABC的面积为 ．
17．（2024·纳溪模拟）计算：
18．（2024·纳溪模拟） 如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．
19．（2024·纳溪模拟）化简：
20．（2024·纳溪模拟）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．为了解学生午休情况，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天午休的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
记各组午休时间为t分钟
A组：0＜t≤15
B组：15＜t≤30
C组：30＜t≤45
D组：45＜t≤60
E组：t＞60
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ▲ ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该学校有1800名学生，请你估计该中学一周平均每天午休时间不超过45分钟的有多少人？
21．（2024·纳溪模拟）“五四”青年节将至，商店计划购买A型、B型两种纪念章进行销售，若用1200元购买A型纪念章的数量比用1500元购买B型纪念章的数量多20个，且一个B型纪念章的进价是一个A型纪念章进价的1.5倍．
（1）求A型、B型纪念章的进价分别是多少？
（2）若A型纪念章的售价为12元/个，B型纪念章的售价为20元/个，商店购进A，B型纪念章共75个，要使总利润不低于300元，则A型纪念章最多购进多少个？
22．（2024·纳溪模拟）某商店窗前计划安装可伸缩的遮阳棚，其截面图如图所示．在截面图中墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3m，即BC=3m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则），为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即CD=1m，求遮阳棚的宽度AB.（结果精确到0.1m．参考数据：）
23．（2024·纳溪模拟）如图，已知反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点，平行四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，点D（3，2）在平行四边形的对角线OB上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知平行四边形OABC的面积是，求点B的坐标.
24．（2024·纳溪模拟）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，求常数的值．
25．（2024·纳溪模拟） 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D． 如图，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得3的倒数是，
故答案为：D
【分析】根据倒数的定义（两个数的乘积为1）结合题意即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将1410000用科学记数法表示，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）得到，进而结合题意等量代换得到，从而即可得到∠2的度数.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图是圆，A不符合题意；
B、主视图是三角形，B符合题意；
C、主视图是正方形，C不符合题意；
D、主视图是 两个长方形拼接在一起 ，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意分别判断其主视图，进而即可求解.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、合并同类项结合题意对选项逐一运算即可求解。
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴(x+5)÷2=6，
∴x=7，
∴该组数据为1、5、7、7，
∴平均数为=5.
故答案为：B.
【分析】根据有唯一众数，且中位数是6可得x的值，然后根据平均数的计算方法进行计算.
7．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形的边长为2，
∴，，
阴影部分的面积为，
故答案为：D.
【分析】先根据正多边形的性质得到，，进而根据扇形的面积公式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据等腰三角形的判定得到，进而根据BF=AF-AB即可求解.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∵，，
∴，
即，
解得（舍去），
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，从而代入解一元二次方程，再结合题意即可求解.
10．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点B是AC的中点，线段，
∴，
∵点A表示的数是，且点C在点A的右边，
∴，
即点C表示的数是，
故答案为：B
【分析】先根据中点结合题意得到，进而根据已知条件结合无理数在数轴上的表示即可求解.
11．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：点关于的对称点为，
，，
四边形是矩形，
，
，
；
设与切于点，连接，并延长交于点，如图所示，
，，
四边形是矩形，
，，，，
，，，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据对称得到，，进而根据矩形的性质得到，再根据平行线的判定与性质得到，设与切于点，连接，并延长交于点，进而得到，，根据矩形的性质得到，，，，从而得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意求出∠EAO的度数，再根据正切函数结合特殊角的三角函数值即可求解.
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴有交点，
∴，
解得或，
∴对称轴为直线，
当时，抛物线的对称轴在直线左侧，
∴在对称轴的右侧，抛物线图象如图1，
∴当时，，
解得，；
当时，抛物线的对称轴在直线右侧，
抛物线图象，如图2，
∴当时，，
解得，；
∴；
综上所述，或，
故答案为：B
【分析】先根据一元二次方程根的判别式结合题意解不等式得到得到或，进而即可得到对称轴为直线，再分类讨论：当时，抛物线的对称轴在直线左侧，当时，抛物线的对称轴在直线右侧，再画出二次函数的图象结合题意即可求解.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
14．【答案】3
【知识点】算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴，
故答案为：
【分析】根据算术平方根的定义结合题意进行运算即可求解.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：由，可得．
∵原不等式组的整数解仅有5个，
∴，
解得．
故答案为：
【分析】根据题意解得到，进而结合不等式组的整数解只有5个即可求解.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：是的直径，是的切线，
=，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据圆周角定理结合切线的性质得到∠PBA=90°，，进而运用勾股定理求出PA，从而根据三角形的面积即可求出BC，再运用勾股定理求出AC，从而根据三角形的面积即可求解.
17．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，有理数的绝对值进行运算，进而即可求解.
18．【答案】证明：∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD-∠BOD＝∠COB-∠BOD，
即∠AOB＝∠COD．
在△AOB 和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠AOB＝∠COD，利用“SAS”证出△AOB≌△COD，再利用全等三角形的性质可得AB=CD.
19．【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先通分对括号的式子进行运算，进而根据分式的乘除法结合题意化简即可求解.
20．【答案】（1）解：50，
B组人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：（人），
答：估计该中学一周平均每天午休时间不超过45分钟的学生有1008人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意知，样本容量为，
故答案为：50
（2）；
故答案为：
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出样本容量，进而根据求出B组的人数，再补全统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式结合题意进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意进行计算即可求解.
21．【答案】（1）解：设型纪念章的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型纪念章的单价为元/个
∴A型，B型纪念章的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）解：设购进A型纪念章个．
解得：
∴最多可购进A型纪念章25个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型纪念章的单价为元/件，根据“用1200元购买A型纪念章的数量比用1500元购买B型纪念章的数量多20个，且一个B型纪念章的进价是一个A型纪念章进价的1.5倍”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2） 购进A型纪念章个． 根据“型纪念章的售价为12元/个，B型纪念章的售价为20元/个，商店购进A，B型纪念章共75个，要使总利润不低于300元”结合题意即可列出不等式，进而求出m的取值即可求解。
22．【答案】解：过点作，垂足为，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，垂足为，根据垂直得到，进而根据矩形的判定与性质得到，，，从而根据平行线的性质得到，再根据正切函数的定义求出AF，进而根据AB=AF+BF即可求解.
23．【答案】（1）解：∵反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴，∴k＝6，
∴反比例函数，
（2）解：∵OB经过点O（0，0）、D（3，2）可设OB的解析式为
将D点坐标代入， 得：
∴OB的解析式为，
∵反比例函数经过点C，
∴设，且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为，
∵OB的解析式为，
∴B，
∴BC=
，
∴，
解得：a＝2，
∴B（，3），
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的动态几何问题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意将点D代入求出k即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线OB的函数解析式，进而根据反比例函数图象上的点的坐标特征设，且a＞0，从而根据平行四边形的性质得到BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，再结合题意即可得到点B的纵坐标为，代回直线OB的函数解析式即可表示出点B的坐标，从而表示出BC，再根据三角形的面积求出a即可求解。
24．【答案】（1）解：与相切，理由如下：
连接，
∵是的直径，直线与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△BAC∽△ADC，从而得到对应角 ∠ABO=∠DAC，又知∠ABO=∠BAO，∴∠ABO=∠BAO=∠DAC，从而可得∠OAD=∠OAC+∠DAC=∠OAC+∠BAO=90°，从而可以得出 EA与相切。
（2）因为BC=BE，所以S△BAC=S△BAE=S1，∵S2=mS1，∴，∴求m的值，也就是求△ACD和△BAC的面积之比，由（1）知△BAC∽△ADC，∴，又S△EAC=2S△BAE=2S1，∴S△EACS△BAE=2，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证得△EAB∽△ECA，∴ AC2AB2=2， 即 AB2AC2=12，根据比例性质可得：AC2BC2=23 ，∴ m=23.
25．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法将点A、点B和点C代入即可求解；
（2）过点P作轴，交于点Q，先运用待定系数法求出直线AC的函数解析式，进而设点P的坐标为，则点， 再表示出PQ，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入化简即可得到， 再根据二次函数的最值结合题意即可得到点P的坐标。
1 / 1四川省泸州市纳溪区2024年中考数学适应性考试试题
1．（2024·纳溪模拟）3的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得3的倒数是，
故答案为：D
【分析】根据倒数的定义（两个数的乘积为1）结合题意即可求解.
2．（2024·纳溪模拟） “山河明月·醉酒城”被称为纳溪的“不夜城”，据初步统计2024年春节假期期间累计接待游客约1410000人次，请将1410000用科学记数法表示
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将1410000用科学记数法表示，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2024·纳溪模拟） 如图，，．若，则的度数为 （ ）
A．35° B．45° C．70° D．50°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）得到，进而结合题意等量代换得到，从而即可得到∠2的度数.
4．（2024·纳溪模拟）下列几何体中，主视图是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图是圆，A不符合题意；
B、主视图是三角形，B符合题意；
C、主视图是正方形，C不符合题意；
D、主视图是 两个长方形拼接在一起 ，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意分别判断其主视图，进而即可求解.
5．（2024·纳溪模拟）下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、合并同类项结合题意对选项逐一运算即可求解。
6．（2024·纳溪模拟）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴(x+5)÷2=6，
∴x=7，
∴该组数据为1、5、7、7，
∴平均数为=5.
故答案为：B.
【分析】根据有唯一众数，且中位数是6可得x的值，然后根据平均数的计算方法进行计算.
7．（2024·纳溪模拟） 如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形的边长为2，
∴，，
阴影部分的面积为，
故答案为：D.
【分析】先根据正多边形的性质得到，，进而根据扇形的面积公式即可求解.
8．（2024·纳溪模拟）如图，在□ABCD中，DF平分，交BC于点E，交AB的延长线于点F．，，则BF的长是 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据等腰三角形的判定得到，进而根据BF=AF-AB即可求解.
9．（2024·纳溪模拟） 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的值是 （ ）
A．-3 B．-4 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∵，，
∴，
即，
解得（舍去），
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，从而代入解一元二次方程，再结合题意即可求解.
10．（2024·纳溪模拟）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点B是AC的中点，线段，则点C表示的数是 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点B是AC的中点，线段，
∴，
∵点A表示的数是，且点C在点A的右边，
∴，
即点C表示的数是，
故答案为：B
【分析】先根据中点结合题意得到，进而根据已知条件结合无理数在数轴上的表示即可求解.
11．（2024·纳溪模拟） 如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为，连接交BD于点E，连接．OE为半径，与CD相切，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：点关于的对称点为，
，，
四边形是矩形，
，
，
；
设与切于点，连接，并延长交于点，如图所示，
，，
四边形是矩形，
，，，，
，，，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据对称得到，，进而根据矩形的性质得到，再根据平行线的判定与性质得到，设与切于点，连接，并延长交于点，进而得到，，根据矩形的性质得到，，，，从而得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意求出∠EAO的度数，再根据正切函数结合特殊角的三角函数值即可求解.
12．（2024·纳溪模拟）抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴有交点，
∴，
解得或，
∴对称轴为直线，
当时，抛物线的对称轴在直线左侧，
∴在对称轴的右侧，抛物线图象如图1，
∴当时，，
解得，；
当时，抛物线的对称轴在直线右侧，
抛物线图象，如图2，
∴当时，，
解得，；
∴；
综上所述，或，
故答案为：B
【分析】先根据一元二次方程根的判别式结合题意解不等式得到得到或，进而即可得到对称轴为直线，再分类讨论：当时，抛物线的对称轴在直线左侧，当时，抛物线的对称轴在直线右侧，再画出二次函数的图象结合题意即可求解.
13．（2024·纳溪模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
14．（2024·纳溪模拟）请写出一个正整数 的值，使得是整数．
【答案】3
【知识点】算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴，
故答案为：
【分析】根据算术平方根的定义结合题意进行运算即可求解.
15．（2024·纳溪模拟）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：由，可得．
∵原不等式组的整数解仅有5个，
∴，
解得．
故答案为：
【分析】根据题意解得到，进而结合不等式组的整数解只有5个即可求解.
16．（2024·纳溪模拟）如图，已知AB是的直径，PB是的切线，PA交于点C，AB=4，PB=3．则△ABC的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：是的直径，是的切线，
=，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据圆周角定理结合切线的性质得到∠PBA=90°，，进而运用勾股定理求出PA，从而根据三角形的面积即可求出BC，再运用勾股定理求出AC，从而根据三角形的面积即可求解.
17．（2024·纳溪模拟）计算：
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，有理数的绝对值进行运算，进而即可求解.
18．（2024·纳溪模拟） 如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．
【答案】证明：∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD-∠BOD＝∠COB-∠BOD，
即∠AOB＝∠COD．
在△AOB 和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠AOB＝∠COD，利用“SAS”证出△AOB≌△COD，再利用全等三角形的性质可得AB=CD.
19．（2024·纳溪模拟）化简：
【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先通分对括号的式子进行运算，进而根据分式的乘除法结合题意化简即可求解.
20．（2024·纳溪模拟）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．为了解学生午休情况，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天午休的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
记各组午休时间为t分钟
A组：0＜t≤15
B组：15＜t≤30
C组：30＜t≤45
D组：45＜t≤60
E组：t＞60
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ▲ ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该学校有1800名学生，请你估计该中学一周平均每天午休时间不超过45分钟的有多少人？
【答案】（1）解：50，
B组人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：（人），
答：估计该中学一周平均每天午休时间不超过45分钟的学生有1008人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意知，样本容量为，
故答案为：50
（2）；
故答案为：
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出样本容量，进而根据求出B组的人数，再补全统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式结合题意进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意进行计算即可求解.
21．（2024·纳溪模拟）“五四”青年节将至，商店计划购买A型、B型两种纪念章进行销售，若用1200元购买A型纪念章的数量比用1500元购买B型纪念章的数量多20个，且一个B型纪念章的进价是一个A型纪念章进价的1.5倍．
（1）求A型、B型纪念章的进价分别是多少？
（2）若A型纪念章的售价为12元/个，B型纪念章的售价为20元/个，商店购进A，B型纪念章共75个，要使总利润不低于300元，则A型纪念章最多购进多少个？
【答案】（1）解：设型纪念章的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型纪念章的单价为元/个
∴A型，B型纪念章的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）解：设购进A型纪念章个．
解得：
∴最多可购进A型纪念章25个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型纪念章的单价为元/件，根据“用1200元购买A型纪念章的数量比用1500元购买B型纪念章的数量多20个，且一个B型纪念章的进价是一个A型纪念章进价的1.5倍”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2） 购进A型纪念章个． 根据“型纪念章的售价为12元/个，B型纪念章的售价为20元/个，商店购进A，B型纪念章共75个，要使总利润不低于300元”结合题意即可列出不等式，进而求出m的取值即可求解。
22．（2024·纳溪模拟）某商店窗前计划安装可伸缩的遮阳棚，其截面图如图所示．在截面图中墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3m，即BC=3m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则），为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即CD=1m，求遮阳棚的宽度AB.（结果精确到0.1m．参考数据：）
【答案】解：过点作，垂足为，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，垂足为，根据垂直得到，进而根据矩形的判定与性质得到，，，从而根据平行线的性质得到，再根据正切函数的定义求出AF，进而根据AB=AF+BF即可求解.
23．（2024·纳溪模拟）如图，已知反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点，平行四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，点D（3，2）在平行四边形的对角线OB上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知平行四边形OABC的面积是，求点B的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴，∴k＝6，
∴反比例函数，
（2）解：∵OB经过点O（0，0）、D（3，2）可设OB的解析式为
将D点坐标代入， 得：
∴OB的解析式为，
∵反比例函数经过点C，
∴设，且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为，
∵OB的解析式为，
∴B，
∴BC=
，
∴，
解得：a＝2，
∴B（，3），
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的动态几何问题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意将点D代入求出k即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线OB的函数解析式，进而根据反比例函数图象上的点的坐标特征设，且a＞0，从而根据平行四边形的性质得到BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，再结合题意即可得到点B的纵坐标为，代回直线OB的函数解析式即可表示出点B的坐标，从而表示出BC，再根据三角形的面积求出a即可求解。
24．（2024·纳溪模拟）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，求常数的值．
【答案】（1）解：与相切，理由如下：
连接，
∵是的直径，直线与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△BAC∽△ADC，从而得到对应角 ∠ABO=∠DAC，又知∠ABO=∠BAO，∴∠ABO=∠BAO=∠DAC，从而可得∠OAD=∠OAC+∠DAC=∠OAC+∠BAO=90°，从而可以得出 EA与相切。
（2）因为BC=BE，所以S△BAC=S△BAE=S1，∵S2=mS1，∴，∴求m的值，也就是求△ACD和△BAC的面积之比，由（1）知△BAC∽△ADC，∴，又S△EAC=2S△BAE=2S1，∴S△EACS△BAE=2，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证得△EAB∽△ECA，∴ AC2AB2=2， 即 AB2AC2=12，根据比例性质可得：AC2BC2=23 ，∴ m=23.
25．（2024·纳溪模拟） 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D． 如图，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值.
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法将点A、点B和点C代入即可求解；
（2）过点P作轴，交于点Q，先运用待定系数法求出直线AC的函数解析式，进而设点P的坐标为，则点， 再表示出PQ，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入化简即可得到， 再根据二次函数的最值结合题意即可得到点P的坐标。
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