第二章 一元二次方程
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程中,一元二次方程共有 个. (A)
①x2-2x-1=0;②ax2+bx+c=0;③+3x-5=0;④(x-1)(x-3)=x2;⑤(x-1)2+y2=2.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2023·赤峰中考)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是 (C)
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
3.(2024·成都期末)若关于x的方程x2+mx-10=0有一个根为2,则m的值为 (D)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 (C)
A.-9 B.- C. D.9
5.已知M=a2-a,N=a-1(a为任意实数),则M,N的大小关系为 (B)
A.M>N B.M≥N C.M6.某学生写了一份垃圾分类倡议书在微信朋友圈传播,规则为:将倡议书发表在自己的朋友圈,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有931人参与了传播活动,则方程列为 (C)
A.(1+n)2=931 B.n(n-1)=931 C.1+n+n2=931 D.n+n2=931
7.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两根x1,x2,满足x1+x2-x1x2<-1,则k的取值范围是 (C)
A.k>-2 B.k>2 C.-28.已知(a2+b2+2)(a2+b2)=8,那么a2+b2的值是 (A)
A.2 B.-4 C.2或-4 D.不确定
9.居民为了减少外出时间,更愿意使用APP在线上购物,某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%,三月份用户比二月份增加了21%,则二、三两个月用户的平均每月增长率是 (C)
A.28% B.30% C.32% D.32.5%
10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的有 (B)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是 x2-5x+5=0 .
12.写一个有一个根为-1的一元二次方程: x2-1=0(答案不唯一) .
13.两个实数的和为4,积为-7,则这两个实数分别为 2+,2- .
14.已知三角形的两边长是方程x2-5x+6=0的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是 615.关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根,则k应满足的条件是 k≤且k≠0 .
16.(2023·宜昌中考)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为 1 .
17.方程x2-5x+2=0与方程x2+2x+6=0的所有实数根的和为 5 .
18.流感期间,学校利用一段已有的围墙(可利用的围墙长度仅有5米)搭建一个矩形临时隔离点ABCD,如图所示,它的另外三边所围的总长度是10米,矩形隔离点的面积为12平方米,则AB的长度是 3 米.
三、解答题(共46分)
19.(8分)用合适的方法解方程:(1)x2-2x-48=0.
解:(1)移项,得x2-2x=48,
方程两边同时加1,得x2-2x+1=49,
即(x-1)2=49.
∴x-1=±7,∴x1=8,x2=-6.
(2)(x-2)2=-2x(x-2).
解: (2)(x-2)2=-2x(x-2),
(x-2)2+2x(x-2)=0,
(x-2+2x)(x-2)=0,
x-2+2x=0或x-2=0,解得:x1=,x2=2.
20.(8分)阅读材料:对于任何实数,我们规定符号的意义是=ad-bc.例如:=1×4-2×3=-2,=(-2)×5-4×3=-22.
(1)按照这个规定请你计算的值.
解:(1)=5×8-6×7=-2.
(2)按照这个规定请你计算:当x2-4x+4=0时,的值.
解: (2)由x2-4x+4=0得(x-2)2=0,∴x1=x2=2,
∴==3×1-4×1=-1.
21.(10分)(2023·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
解:(1)∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m
=16m2-8m+1=(4m-1)2≥0,
∴无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值.
解: (2)由题意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m,
∵+==-2=-,
∴-2=-,
整理得5m2-7m+2=0,
解得m=1或m=.
22.(10分)学校为了美化校园环境,计划在一块长40 m、宽20 m的矩形空地上新建一个长9 m、宽7 m的矩形花圃.
(1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃,使它的面积比学校计划的面积多1 m2,请给出你认为合适的三种不同的设计方案.
解:(1)学校计划新建的花圃的面积是9×7=63(m2),比它多1 m2的矩形面积是
64 m2,因此可设计以下方案:
方案一:长和宽都是8 m;
方案二:长为10 m,宽为6.4 m;
方案三:长为20 m,宽为3.2 m.
答案不唯一,但要注意矩形空地的实际大小.
(2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下,矩形花圃的面积能否增加2 m2 如果能,请求出矩形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.
解: (2)不能.理由如下:
假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下,矩形花圃的面积能增加
2 m2.
计划新建的矩形花圃的周长是2×(9+7)=32(m),
设面积增加后的矩形的长为x m,则宽是(16-x)m,
根据题意,得x(16-x)=9×7+2.
整理,得x2-16x+65=0.
因为Δ=(-16)2-4×1×65=-4<0,所以此方程没有实数根.
所以在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下,矩形花圃的面积不能增加
2 m2.
23.(10分)(2024·佛山质检)杭州亚运会于2023年9月23日开幕,某商店以2元/件的价格批发了一批具有纪念意义的书签进行销售.经调查发现,若每件定价3元,每天可以卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定,纪念品售价不能超过批发价的3倍.
(1)当每张书签定价为5元时,商店每天能卖出300件;
解:(1)利用日销售量=500-10×
=500-10×
=500-200
=300(件),
∴当每张书签定价为5元时,商店每天能卖出300件.
(2)如果商店要实现每天675元的销售利润,该如何定价
解: (2)设售价应定为x元/件,则每件的销售利润为(x-2)元,
每天可卖出500-10×=(800-100x)件,
根据题意得:(x-2)(800-100x)=675,
整理得:x2-10x+22.75=0,
解得:x1=3.5,x2=6.5,
又∵纪念品售价不能超过批发价的3倍,
∴x=3.5.
答:售价应定为3.5元/件.
【附加题】(10分)
某租赁公司拥有汽车100辆.据统计,每辆车的月租金为4 000元时,可全部租出,每辆车的月租金每增加100元,未租出的车将增加1辆,租出的车每辆每月的维护费为500元,未租出的车辆每月只需维护费100元.
(1)当每辆车的月租金为4 800元时,能租出多少辆 并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)是多少万元
解:(1)100-=92(辆),
(4 800-500)×92-100×(100-92)=394 800(元),
394 800元=39.48万元.
答:当每辆车的月租金为4 800元时,能租出92辆,此时租赁公司的月收益是39.48万元.
(2)规定每辆车月租金不能超过7 200元,当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到40.4万元
解: (2)40.4万元=404 000元,
设上涨x个100元,由题意得:
(4 000+100x-500)(100-x)-100x=404 000,
整理得x2-64x+540=0,
解得x1=54,x2=10,
∵规定每辆车月租金不能超过7 200元,
∴取x=10,则4 000+10×100=5 000(元).
答:每辆车的月租金定为5 000元时,租赁公司的月收益可达到40.4万元.第二章 一元二次方程
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程中,一元二次方程共有 个. ( )
①x2-2x-1=0;②ax2+bx+c=0;③+3x-5=0;④(x-1)(x-3)=x2;⑤(x-1)2+y2=2.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2023·赤峰中考)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是 ( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
3.(2024·成都期末)若关于x的方程x2+mx-10=0有一个根为2,则m的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 ( )
A.-9 B.- C. D.9
5.已知M=a2-a,N=a-1(a为任意实数),则M,N的大小关系为 ( )
A.M>N B.M≥N C.M6.某学生写了一份垃圾分类倡议书在微信朋友圈传播,规则为:将倡议书发表在自己的朋友圈,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有931人参与了传播活动,则方程列为 ( )
A.(1+n)2=931 B.n(n-1)=931 C.1+n+n2=931 D.n+n2=931
7.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两根x1,x2,满足x1+x2-x1x2<-1,则k的取值范围是 ( )
A.k>-2 B.k>2 C.-28.已知(a2+b2+2)(a2+b2)=8,那么a2+b2的值是 ( )
A.2 B.-4 C.2或-4 D.不确定
9.居民为了减少外出时间,更愿意使用APP在线上购物,某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%,三月份用户比二月份增加了21%,则二、三两个月用户的平均每月增长率是 ( )
A.28% B.30% C.32% D.32.5%
10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的有 ( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是 .
12.写一个有一个根为-1的一元二次方程: .
13.两个实数的和为4,积为-7,则这两个实数分别为 .
14.已知三角形的两边长是方程x2-5x+6=0的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是 .
15.关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根,则k应满足的条件是 .
16.(2023·宜昌中考)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为 .
17.方程x2-5x+2=0与方程x2+2x+6=0的所有实数根的和为 .
18.流感期间,学校利用一段已有的围墙(可利用的围墙长度仅有5米)搭建一个矩形临时隔离点ABCD,如图所示,它的另外三边所围的总长度是10米,矩形隔离点的面积为12平方米,则AB的长度是 米.
三、解答题(共46分)
19.(8分)用合适的方法解方程:(1)x2-2x-48=0.
(2)(x-2)2=-2x(x-2).
20.(8分)阅读材料:对于任何实数,我们规定符号的意义是=ad-bc.例如:=1×4-2×3=-2,=(-2)×5-4×3=-22.
(1)按照这个规定请你计算的值.
(2)按照这个规定请你计算:当x2-4x+4=0时,的值.
21.(10分)(2023·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值.
22.(10分)学校为了美化校园环境,计划在一块长40 m、宽20 m的矩形空地上新建一个长9 m、宽7 m的矩形花圃.
(1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃,使它的面积比学校计划的面积多1 m2,请给出你认为合适的三种不同的设计方案.
(2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下,矩形花圃的面积能否增加2 m2 如果能,请求出矩形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.
23.(10分)(2024·佛山质检)杭州亚运会于2023年9月23日开幕,某商店以2元/件的价格批发了一批具有纪念意义的书签进行销售.经调查发现,若每件定价3元,每天可以卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定,纪念品售价不能超过批发价的3倍.
(1)当每张书签定价为5元时,商店每天能卖出件;
(2)如果商店要实现每天675元的销售利润,该如何定价
【附加题】(10分)
某租赁公司拥有汽车100辆.据统计,每辆车的月租金为4 000元时,可全部租出,每辆车的月租金每增加100元,未租出的车将增加1辆,租出的车每辆每月的维护费为500元,未租出的车辆每月只需维护费100元.
(1)当每辆车的月租金为4 800元时,能租出多少辆 并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)是多少万元
(2)规定每辆车月租金不能超过7 200元,当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到40.4万元
