第六章 反比例函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.对于反比例函数y=,下列结论错误的是 ( )
A.函数图象分布在第一、三象限
B.函数图象经过点(-3,-2)
C.函数图象在每一象限内,y的值随x值的增大而减小
D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在函数图象上,且x1y2
2.(2023·天津中考)若点A(x1,-2),B(x2,1),C(x3,2)都在反比例函数y=-的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 ( )
A.x33.远视眼镜的镜片是凸透镜,镜片的度数y(度)(y>0)是关于镜片焦距x( )(x>0)的反比例函数,当y=200时,x=0.5.下列说法中,错误的是 ( )
A.y与x的函数关系式为y=(x>0)
B.y随x的增大而减小
C.当远视眼镜的镜片焦距是0.2 m时,该镜片是500度
D.若一副远视眼镜的度数不大于400度,则焦距不大于0.25 m
4.若反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,则关于x的方程kx2-3x+2=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.只有一个实数根
5.在同一直角坐标系中反比例函数y=与一次函数y=x+a(a≠0)的图象大致是 ( )
6.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD∥x轴,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为 ( )
A.16 B.20 C.32 D.40
7.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是 ( )
A.1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
8.如图,已知A(-2,0),B为反比例函数y=的图象上一点,以AB为直径的圆的圆心C在y轴上,☉C与y轴正半轴交于D(0,4),则k的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
9.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,BC∥x轴.AD与y轴交于点E,反比例函数y=(x>0,k>0)的图象经过顶点C,D,已知点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为 ( )
A. B. C.3 D.5
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=交于A,B两点,且点A的坐标为(4,a),将直线y=x向上平移m个单位长度,交双曲线y=(x>0)于点C,交y轴于点F,且△ABC的面积是.给出以下结论:①k=8;②点B的坐标是(-4,-2);③S△ABC=S△ABF;④m=.其中结论正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质:
甲:第一、三象限有它的图象;
乙:在每个象限内,y随x的增大而减小.
请你写一个满足上述性质的函数,例如 .
12.(2023·河北中考)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值: .
13.(2024·济南质检)已知函数y=(n2+n)是反比例函数,则n的值为 .
14.如图,是反比例函数y=和y=(k115.如图,曲线表示温度T(℃)与时间t( )之间的函数关系,它是一个反比例函数的图象的一支.当温度T≤2 ℃时,时间t的取值范围为 .
16.如图,反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点E,并与矩形的另一边BC交于点F.若S△BEF=1,则k= .
17.如图,在平面直角坐标系中,O(0,0),A(3,1),B(1,2).反比例函数y=(k≠0)的图象经过 OABC的顶点C,则k= .
18.如图,已知点A(1,2)是反比例函数y=的图象上的一点,连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是 .
三、解答题(共46分)
19.(8分)已知反比例函数y=(m为常数).
(1)若函数图象经过点A(-1,6),求m的值;
(2)若函数图象在第二、四象限,求m的取值范围;
(3)当x>0时,y随x的增大而减小,求m的取值范围.
20.(8分)阅读与思考:下面是小亮同学的一篇数学日记,请仔细阅读并完成相应的任务.
今天是2024年12月2日(星期一),在下午数学活动课上,我们“腾飞”小组的同学参加了探究活动. 如图,取一根长100 cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来,在中点O的左侧距离中点O25 cm处挂一个重9.8 N的物体,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,改变弹簧秤与中点O的距离L(单位:cm),看弹簧秤的示数F(单位:N)有什么变化. 第一步,实验测量.改变弹簧秤与中点O的距离L,观察弹簧秤的示数F的值,并记录(共记录了7组数据). 第二步,整理数据. 项目第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组L/cm5101420253540F/N4924.517.512.259.886.125
第三步,描点连线.以L的数值为横坐标,对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点. 在数据分析时,我发现一个数据有错误,重新测量计算后,证明了我的猜想正确,并修改了表中这个数据.实验结束后,大家都有很多收获,每人都撰写了日记.
任务:
(1)你认为表中第几组数据是错误的 请把这组数据改正过来;
(2)在平面直角坐标系中,画出F与L的函数图象:
(3)这条曲线是反比例函数的一支吗 为什么 并直接写出F关于L的函数表达式;
(4)点(50,4.9)在这条曲线上吗 说明理由.
21.(8分)驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾,某研究所经试验测得:成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式;
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时
22.(10分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(1,2),B(n,-1)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)直线AB交x轴于点C,点P是x轴上的点,若△ACP的面积是4,求点P的坐标.
23.(12分)如图,一次函数y=x+1与反比例函数y=的图象相交于A(m,2),B两点,分别连接OA,OB.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)在平面内是否存在一点P,使以点O,B,A,P为顶点的四边形为平行四边形 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第六章 反比例函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.对于反比例函数y=,下列结论错误的是 ( D )
A.函数图象分布在第一、三象限
B.函数图象经过点(-3,-2)
C.函数图象在每一象限内,y的值随x值的增大而减小
D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在函数图象上,且x1y2
2.(2023·天津中考)若点A(x1,-2),B(x2,1),C(x3,2)都在反比例函数y=-的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 ( D )
A.x33.远视眼镜的镜片是凸透镜,镜片的度数y(度)(y>0)是关于镜片焦距x(m)(x>0)的反比例函数,当y=200时,x=0.5.下列说法中,错误的是 ( D )
A.y与x的函数关系式为y=(x>0)
B.y随x的增大而减小
C.当远视眼镜的镜片焦距是0.2 m时,该镜片是500度
D.若一副远视眼镜的度数不大于400度,则焦距不大于0.25 m
4.若反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,则关于x的方程kx2-3x+2=0的根的情况是 ( A )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.只有一个实数根
5.在同一直角坐标系中反比例函数y=与一次函数y=x+a(a≠0)的图象大致是 ( C )
6.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD∥x轴,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为 ( B )
A.16 B.20 C.32 D.40
7.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是 ( C )
A.1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
8.如图,已知A(-2,0),B为反比例函数y=的图象上一点,以AB为直径的圆的圆心C在y轴上,☉C与y轴正半轴交于D(0,4),则k的值为 ( C )
A.4 B.5 C.6 D.8
9.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,BC∥x轴.AD与y轴交于点E,反比例函数y=(x>0,k>0)的图象经过顶点C,D,已知点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为 ( B )
A. B. C.3 D.5
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=交于A,B两点,且点A的坐标为(4,a),将直线y=x向上平移m个单位长度,交双曲线y=(x>0)于点C,交y轴于点F,且△ABC的面积是.给出以下结论:①k=8;②点B的坐标是(-4,-2);③S△ABC=S△ABF;④m=.其中结论正确的有 ( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质:
甲:第一、三象限有它的图象;
乙:在每个象限内,y随x的增大而减小.
请你写一个满足上述性质的函数,例如 y=(答案不唯一) .
12.(2023·河北中考)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值: k=4(答案不唯一) .
13.(2024·济南质检)已知函数y=(n2+n)是反比例函数,则n的值为 1 .
14.如图,是反比例函数y=和y=(k115.如图,曲线表示温度T(℃)与时间t(h)之间的函数关系,它是一个反比例函数的图象的一支.当温度T≤2 ℃时,时间t的取值范围为 t≥ .
16.如图,反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点E,并与矩形的另一边BC交于点F.若S△BEF=1,则k= -4 .
17.如图,在平面直角坐标系中,O(0,0),A(3,1),B(1,2).反比例函数y=(k≠0)的图象经过 OABC的顶点C,则k= -2 .
18.如图,已知点A(1,2)是反比例函数y=的图象上的一点,连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是 (-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0) .
三、解答题(共46分)
19.(8分)已知反比例函数y=(m为常数).
(1)若函数图象经过点A(-1,6),求m的值;
解:(1)∵函数图象经过点A(-1,6),∴m-8=xy=-1×6=-6,解得m=2.∴m的值是2.
(2)若函数图象在第二、四象限,求m的取值范围;
解: (2)∵函数图象在第二、四象限,∴m-8<0,解得m<8.∴m的取值范围是m<8.
(3)当x>0时,y随x的增大而减小,求m的取值范围.
解: (3)∵当x>0时,y随x的增大而减小,∴m-8>0,解得m>8.∴m的取值范围是m>8.
20.(8分)阅读与思考:下面是小亮同学的一篇数学日记,请仔细阅读并完成相应的任务.
今天是2024年12月2日(星期一),在下午数学活动课上,我们“腾飞”小组的同学参加了探究活动. 如图,取一根长100 cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来,在中点O的左侧距离中点O25 cm处挂一个重9.8 N的物体,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,改变弹簧秤与中点O的距离L(单位:cm),看弹簧秤的示数F(单位:N)有什么变化. 第一步,实验测量.改变弹簧秤与中点O的距离L,观察弹簧秤的示数F的值,并记录(共记录了7组数据). 第二步,整理数据. 项目第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组L/cm5101420253540F/N4924.517.512.259.886.125
第三步,描点连线.以L的数值为横坐标,对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点. 在数据分析时,我发现一个数据有错误,重新测量计算后,证明了我的猜想正确,并修改了表中这个数据.实验结束后,大家都有很多收获,每人都撰写了日记.
任务:
(1)你认为表中第几组数据是错误的 请把这组数据改正过来;
解:(1)由题意可得,
∵5×49=245,10×24.5=245,14×17.5=245,20×12.25=245,25×9.8=245,35×8≠245,40×6.125=245,
∴第六组数据错误,
当L=35时,F==7,
故修正后的数据为:
项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组
L/cm 5 10 14 20 25 35 40
F/N 49 24.5 17.5 12.25 9.8 7 6.125
(2)在平面直角坐标系中,画出F与L的函数图象:
解: (2)由(1)描点,连线如下,
(3)这条曲线是反比例函数的一支吗 为什么 并直接写出F关于L的函数表达式;
解: (3)这条曲线是反比例函数的一支,理由如下:
由题意可得,
∵FL=245(L>0),
∴这条曲线是反比例函数的一支,
∴F=(L>0);
(4)点(50,4.9)在这条曲线上吗 说明理由.
解: (4)点(50,4.9)在这条曲线上,理由如下:
当L=50时,
F==4.9,
∴点(50,4.9)在这条曲线上.
21.(8分)驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾,某研究所经试验测得:成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式;
解:(1)当0≤x<4时,设直线的表达式为y=kx,将(4,400)代入,得400=4k,解得k=100,故直线的表达式为y=100x.
当4≤x≤10时,设反比例函数的表达式为y=,将(4,400)代入,得400=,解得a=1 600,故反比例函数的表达式为y=.因此血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为y=100x(0≤x<4),
下降阶段的函数关系式为y=(4≤x≤10).
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时
解: (2)当y=200,则200=100x.
解得x=2.当y=200,则200=,解得x=8.
∵8-2=6(小时),
∴血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是6小时.
22.(10分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(1,2),B(n,-1)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
解:(1)将点A(1,2)代入y=,得:m=2,∴y=,
当y=-1时,x=-2,∴B(-2,-1),
将A(1,2),B(-2,-1)代入y=kx+b,得:,解得,∴y=x+1,
∴一次函数的表达式为y=x+1,反比例函数的表达式为y=.
(2)直线AB交x轴于点C,点P是x轴上的点,若△ACP的面积是4,求点P的坐标.
解:(2)在y=x+1中,当y=0时,x+1=0,
解得x=-1,∴C(-1,0),设P(m,0),则PC=|-1-m|,
∵S△ACP=·PC·yA=4,∴×|-1-m|×2=4,解得m=3或m=-5,
∴点P的坐标为(3,0)或(-5,0).
23.(12分)如图,一次函数y=x+1与反比例函数y=的图象相交于A(m,2),B两点,分别连接OA,OB.
(1)求这个反比例函数的表达式;
解:(1)∵一次函数y=x+1经过点A(m,2),
∴m+1=2,∴m=1,∴A(1,2),
∵反比例函数y=经过点(1,2),∴k=2,
∴反比例函数的表达式为y=;
(2)求△AOB的面积;
解:(2)由题意,得,
解得或,∴B(-2,-1),
∵C(0,1),∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=1.5;
(3)在平面内是否存在一点P,使以点O,B,A,P为顶点的四边形为平行四边形 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解: (3)有三种情形,如图所示,满足条件的点P的坐标为(-3,-3)或(-1,1)或(3,3).
