第三章 概率的进一步认识
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法正确的有 ( )
A.在一次抛掷硬币的试验中,甲同学说:“我只做了20次试验就得到了正面朝上的概率为30%.”
B.某同学在抛掷两枚硬币的试验中做了400次,得到“一正一反”的频率为26.7%,如果再做400次,得到的频率仍然是26.7%
C.在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中,李明得到“1点朝上”的概率为,那么他再做300次试验,一定有50次“1点朝上”
D.在抛掷一枚硬币的试验中,王刚为了节约时间,同时抛掷5枚硬币,这样得到的结果不会受到影响
2.一个箱子中放有红、黄、黑三种只有颜色不同的小球,三个人先后去摸球,一人摸一次,一次摸出一个小球,摸出后放回,摸出黑色小球为赢,这个游戏是( )
A.公平的 B.不公平的 C.先摸者赢的可能性大 D.后摸者赢的可能性大
3.将一枚质地均匀的普通硬币重复掷两次,落地后两次都是正面朝上的概率是( D )
A.1 B. C. D.
4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚小针,则针尖落在黑色区域内的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.在一个不透明的口袋中,红色、黑色、白色的小球共有50个,除颜色外其他完全相同,乐乐通过多次摸球试验后发现,摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和,则口袋中白色球的个数可能为 ( )
A.20 B.15 C.10 D.5
6.现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选三条,能组成三角形的概率是( B )
A. B. C. D.
7.为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据,统计结果如表:
身高x/cm x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果,随机抽取该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于
170 cm的概率是 ( )
A.0.32 B.0.55 C.0.68 D.0.87
8.两个不透明的袋子中分别装有标号1,3,5和标号2,4的五个小球,五个小球除标号外其余均相同,随机从两个袋子中各抽取一个小球,则其标号数字组成的两位数能被4整除的概率是 ( )
A. B. C. D.
9.无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂,广泛应用于检验溶液酸碱性,通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色,遇中性溶液也不变色,遇碱溶液变红色.现有5瓶缺失标签的无色液体:蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液,将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.下面试验中,试验结果概率最小的是 ( )
A.如图(1),在一次试验中,老师共做了400次掷图钉游戏,并记录了游戏的结果绘制了折线统计图,估计出的钉尖朝上的概率
B.如图(2),是一个可以自由转动的转盘,任意转动转盘,当转盘停止时,指针落在蓝色区域的概率
C.如图(3),有一个小球在地板上自由滚动,地板上的每个格都是边长为1的正方形,小球在地板上最终停留在阴影区域的概率
D.有7张卡片,分别标有数字1,2,3,4,6,8,9;将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽出一张,抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.足球是一项非常古老的运动,最早起源于中国,是全球体育界最具影响力的单项体育运动,现从一批足球中随机抽检部分足球的质量,统计结果如表:
抽取的足球数n(个) 100 200 400 600 1 000 1 500 2 000
优等品的频数m(个) 93 192 380 561 938 1 413 1 878
优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939
据此推测,从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率是 (结果精确到0.01).
12.甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起,每人从中随机抽取一本(不放回),三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是 .
13.(2023·南充中考)不透明袋中有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6,若袋中有4个白球,则袋中红球有 个.
14.从谢家集到田家庵有3路,121路,26路三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从谢家集到田家庵的用时时间,在每条线路上随机选取了450个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据,统计如下:
40≤t≤45 453路 260 167 23 450
121路 160 166 124 450
26路 50 122 278 450
早高峰期间,乘坐 (填“3路”“121路”或“26路”)线路上的公交车,从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的可能性最大.
15.有6张正面分别标有数字-2,0,2,4,6,8的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同,先将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数字记为a,则使关于x的不等式组有实数解的概率为 .
16.如图,△ABC的面积为10 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP,垂足为P,连接CP,若三角形内有一点M,则点M落在△BPC内(包括边界)的概率为 .
三、解答题(共46分)
17.(8分)某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表.
抽查件数 50 100 200 300 400 500
次品件数 0 4 16 19 24 30
(1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少
(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换
18.(8分)一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分别标有数字1,-3,-5,7,这些卡片除数字外都相同.小芳从口袋中随机抽取一张卡片,小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张,请用画树状图或列表的方法,求两人抽到的数字符号相同的概率.
19.(8分)(2024·温州质检)已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球,其中1个白球,3个红球.
(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.
(2)从袋中随机摸出一个球,记录颜色后放回,摇匀,再随机摸出一个球,请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率.
(3)若在原袋子中再放入m个白球和m个红球,搅拌均匀后,使得随机从袋中摸出1个球,颜色是白色的概率为,求m的值.
20. (10分)宜昌景色宜人,其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收.某民营单位为兼顾生产和业余生活,决定在下设的A,B,C三部门利用转盘游戏确定参观的景点.两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图.
(1)若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大,试判断这个部门是哪个部门,并说明理由;
(2)设选中C部门游三峡大坝的概率为P1,选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为P2,请判断P1,P2的大小关系,并说明理由.
21.(12分)(2023·烟台中考)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的杰出人才.已知A,B,C,D,E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地,并开设了暑期夏令营活动,参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况,随机抽取部分学生进行调查,并将统计数据整理后,绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1)请将条形统计图补充完整;
(2)在扇形统计图中,D所在的扇形的圆心角的度数为;若该市有1 000名中学生参加本次活动,则选择A大学的大约有人;
(3)甲、乙两位同学计划从A,B,C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动,请利用画树状图或列表的方法求两人恰好选择同一所大学的概率.
【附加题】(10分)
下列四种说法:
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②将2 020减去它的,再减去剩下的,再减去余下的,再减去余下的,…依次减下去,一直到减去余下的,结果是1;
③试验的次数越多,频率越靠近理论概率;
④对于任何实数x,y,多项式x2+y2-4x-2y+7的值不小于2.其中正确的个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4第三章 概率的进一步认识
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法正确的有 ( D )
A.在一次抛掷硬币的试验中,甲同学说:“我只做了20次试验就得到了正面朝上的概率为30%.”
B.某同学在抛掷两枚硬币的试验中做了400次,得到“一正一反”的频率为26.7%,如果再做400次,得到的频率仍然是26.7%
C.在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中,李明得到“1点朝上”的概率为,那么他再做300次试验,一定有50次“1点朝上”
D.在抛掷一枚硬币的试验中,王刚为了节约时间,同时抛掷5枚硬币,这样得到的结果不会受到影响
2.一个箱子中放有红、黄、黑三种只有颜色不同的小球,三个人先后去摸球,一人摸一次,一次摸出一个小球,摸出后放回,摸出黑色小球为赢,这个游戏是( A )
A.公平的 B.不公平的 C.先摸者赢的可能性大 D.后摸者赢的可能性大
3.将一枚质地均匀的普通硬币重复掷两次,落地后两次都是正面朝上的概率是( D )
A.1 B. C. D.
4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚小针,则针尖落在黑色区域内的概率为 ( C )
A. B. C. D.
5.在一个不透明的口袋中,红色、黑色、白色的小球共有50个,除颜色外其他完全相同,乐乐通过多次摸球试验后发现,摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和,则口袋中白色球的个数可能为 ( B )
A.20 B.15 C.10 D.5
6.现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选三条,能组成三角形的概率是( B )
A. B. C. D.
7.为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据,统计结果如表:
身高x/cm x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果,随机抽取该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于
170 cm的概率是 ( C )
A.0.32 B.0.55 C.0.68 D.0.87
8.两个不透明的袋子中分别装有标号1,3,5和标号2,4的五个小球,五个小球除标号外其余均相同,随机从两个袋子中各抽取一个小球,则其标号数字组成的两位数能被4整除的概率是 ( B )
A. B. C. D.
9.无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂,广泛应用于检验溶液酸碱性,通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色,遇中性溶液也不变色,遇碱溶液变红色.现有5瓶缺失标签的无色液体:蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液,将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是 ( B )
A. B. C. D.
10.下面试验中,试验结果概率最小的是 ( C )
A.如图(1),在一次试验中,老师共做了400次掷图钉游戏,并记录了游戏的结果绘制了折线统计图,估计出的钉尖朝上的概率
B.如图(2),是一个可以自由转动的转盘,任意转动转盘,当转盘停止时,指针落在蓝色区域的概率
C.如图(3),有一个小球在地板上自由滚动,地板上的每个格都是边长为1的正方形,小球在地板上最终停留在阴影区域的概率
D.有7张卡片,分别标有数字1,2,3,4,6,8,9;将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽出一张,抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.足球是一项非常古老的运动,最早起源于中国,是全球体育界最具影响力的单项体育运动,现从一批足球中随机抽检部分足球的质量,统计结果如表:
抽取的足球数n(个) 100 200 400 600 1 000 1 500 2 000
优等品的频数m(个) 93 192 380 561 938 1 413 1 878
优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939
据此推测,从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率是 0.94 (结果精确到0.01).
12.甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起,每人从中随机抽取一本(不放回),三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是 .
13.(2023·南充中考)不透明袋中有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6,若袋中有4个白球,则袋中红球有 6 个.
14.从谢家集到田家庵有3路,121路,26路三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从谢家集到田家庵的用时时间,在每条线路上随机选取了450个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据,统计如下:
40≤t≤45 453路 260 167 23 450
121路 160 166 124 450
26路 50 122 278 450
早高峰期间,乘坐 3路 (填“3路”“121路”或“26路”)线路上的公交车,从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的可能性最大.
15.有6张正面分别标有数字-2,0,2,4,6,8的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同,先将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数字记为a,则使关于x的不等式组有实数解的概率为 .
16.如图,△ABC的面积为10 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP,垂足为P,连接CP,若三角形内有一点M,则点M落在△BPC内(包括边界)的概率为 .
三、解答题(共46分)
17.(8分)某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表.
抽查件数 50 100 200 300 400 500
次品件数 0 4 16 19 24 30
(1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少
解:(1)抽查总件数m=50+100+200+300+400+500=1 550,
次品件数n=0+4+16+19+24+30=93,P(抽到次品)==0.06.
(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换
解: (2)根据(1)的结论:P(抽到次品)=0.06,
则600×0.06=36(件).
答:至少准备36件正品衬衣供顾客调换.
18.(8分)一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分别标有数字1,-3,-5,7,这些卡片除数字外都相同.小芳从口袋中随机抽取一张卡片,小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张,请用画树状图或列表的方法,求两人抽到的数字符号相同的概率.
解:画树状图为:
∵共有12种等可能的结果数,其中两人抽到的数字符号相同的结果数为4,
∴两人抽到的数字符号相同的概率是=.
19.(8分)(2024·温州质检)已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球,其中1个白球,3个红球.
(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.
解:(1)∵袋中共有4个小球,其中红球有3个,
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为;
(2)从袋中随机摸出一个球,记录颜色后放回,摇匀,再随机摸出一个球,请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率.
解: (2)列表如下:
白 红 红 红
白 (白,白) (红,白) (红,白) (红,白)
红 (白,红) (红,红) (红,红) (红,红)
红 (白,红) (红,红) (红,红) (红,红)
红 (白,红) (红,红) (红,红) (红,红)
由表知共有16种等可能结果,其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果,
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为=;
(3)若在原袋子中再放入m个白球和m个红球,搅拌均匀后,使得随机从袋中摸出1个球,颜色是白色的概率为,求m的值.
解: (3)根据题意,得=,解得m=3;∴m的值为3.
20. (10分)宜昌景色宜人,其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收.某民营单位为兼顾生产和业余生活,决定在下设的A,B,C三部门利用转盘游戏确定参观的景点.两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图.
(1)若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大,试判断这个部门是哪个部门,并说明理由;
解:(1)C部门,理由:∵PA==,PB==,PC==,∴选择C部门的可能性大.
(2)设选中C部门游三峡大坝的概率为P1,选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为P2,请判断P1,P2的大小关系,并说明理由.
解: (2)P1=P2;用列表法表示所有可能出现的结果如表:
A B C1 C2
三峡大坝(D) AD BD C1D C2D
清江画廊(E) AE BE C1E C2E
三峡人家(F) AF BF C1F C2F
共有12种可能出现的结果,其中“C部门游三峡大坝”的有2种,“B部门游清江画廊或者三峡人家”的也有2种,∴P1==,P2==,因此,P1=P2.
21.(12分)(2023·烟台中考)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的杰出人才.已知A,B,C,D,E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地,并开设了暑期夏令营活动,参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况,随机抽取部分学生进行调查,并将统计数据整理后,绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1)请将条形统计图补充完整;
解:(1)本次抽取的学生有14÷28%=50(人),
其中选择B的学生有50-10-14-2-8=16(人),
补全的条形统计图如图所示:
(2)在扇形统计图中,D所在的扇形的圆心角的度数为14.4°;若该市有1 000名中学生参加本次活动,则选择A大学的大约有200人;
解: (2)在扇形统计图中,D所在的扇形的圆心角的度数为360°×=14.4°,该市有
1 000名中学生参加本次活动,则选择A大学的大约有1 000×=200(人);
(3)甲、乙两位同学计划从A,B,C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动,请利用画树状图或列表的方法求两人恰好选择同一所大学的概率.
解: (3)画树状图为:
由树状图可得,一共有9种等可能性,其中两人恰好选择同一所大学的可能性有3种,∴两人恰好选择同一所大学的概率为=.
【附加题】(10分)
下列四种说法:
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②将2 020减去它的,再减去剩下的,再减去余下的,再减去余下的,…依次减下去,一直到减去余下的,结果是1;
③试验的次数越多,频率越靠近理论概率;
④对于任何实数x,y,多项式x2+y2-4x-2y+7的值不小于2.其中正确的个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
