第四章 图形的相似
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知2a=3b(ab≠0),则下列各式正确的是( C )
A.= B.= C.= D.=
2.如图,已知AB∥CD∥EF,BC∶CE=3∶4,AF=21,则DF的长为( B )
A.9 B.12 C.15 D.18
3.若△ABC∽△DEF,AB∶DE=9∶4,则△ABC与△DEF的面积之比为( D )
A.3∶2 B.9∶4 C.4∶9 D.81∶16
4.(2024·成都模拟)如图,∠DAB=∠CAE,请你再添加一个条件,使得△ADE∽
△ABC. 则下列选项不成立的是( D )
A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.= D.=
5.如图,小康利用复印机将一张长为5 cm、宽为3 cm的矩形图片放大,其中放大后的长为10 cm,则放大后的矩形的宽为( D )
A. cm B.5 cm C.10 cm D.6 cm
6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,各顶点都在格点上,则位似中心的坐标是( A )
A.(4,2) B.(5,1) C.(-4,2) D.(0,0)
7.如图所示,长为8 cm,宽为6 cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下的矩形的面积是( B )
A.28 cm2 B.27 cm2 C.21 cm2 D.20 cm2
8.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m, CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于( B )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
9.在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m.参考数据:≈1.414, ≈ 1.732,≈2.236)( B )
A.0.73 m B.1.24 m C.1.37 m D.1.42 m
10.(2023·无锡中考)如图△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=x,∠BAC=α,O为AB中点,若点D为直线BC下方一点,且△BCD与△ABC相似,则下列结论:
①若α=45°,BC与OD相交于E,则点E不一定是△ABD的重心;
②若α=60°,则AD的最大值为2;
③若α=60°,△ABC∽△CBD,则OD的长为2;
④若△ABC∽△BCD,则当x=2时,AC+CD取得最大值.
其中正确的为( A )
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2023·临沂中考)如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是 14 .
12.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为 4.5 cm.
13.矩形的两边长分别为x和6(x<6),把它按如图方式分割成三个全等的小矩形,每一个小矩形与原矩形相似,则x= 2 .
14.(2024·成都质检)如图,在△ABC中,点D在边AB上,若∠ACD=∠B,AD=3,BD=4,则AC的长为 .
15.新中考·过程性学习小薛同学在学习了“比例线段”一课后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的数值 3 ,感受这种特殊化的学习过程.
16.如图,D,E分别是△ABC的边上AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,当S△DOE=1时,则S△AOC的值为 16 .
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+2的图象分别交x轴,y轴于A,B两点,过该函数图象上一点C(4,4)作CD⊥x轴于点D,点E是线段AB上一动点,连接BD,EO,若以B,E,O为顶点的三角形与△BCD相似,则点E的坐标为 (-,)或(-2,1) .
18.如图,以O为位似中心,将边长为256的正方形OABC依次作位似变换,经第一次变化后得正方形OA1B1C1,其边长OA1缩小为OA的,经第二次变化后得正方形OA2B2C2,其边长OA2缩小为OA1的,经第三次变化后得正方形OA3B3C3,其边长OA3缩小为OA2的,…,按照此规律,经第n次变化后,所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数,则n= 16 .
三、解答题(共46分)
19.(8分)(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
解:(1)∵AD是斜边BC上的高,
∴∠BDA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BDA=∠BAC,
又∵∠B为公共角,
∴△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
解: (2)由(1)知△ABD∽△CBA,
∴=,∴=,
∴BD=3.6.
20.(8分)如图,△ABC在边长为1的小正方形组成的网格图中,建立平面直角坐标系后,点O的坐标是(0,0).
(1)以O为位似中心,作△A'B'C'∽△ABC,相似比为1∶2,且保证△A'B'C'在第三象限;
解:(1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)点B'的坐标为( , );
解: (2)由图可知,点B'的坐标为(-2,-1).
答案:-2 -1
(3)△A'B'C'的面积是 .
解: (3)△A'B'C'的面积是3×2-×2×1×2-×3×1=2.5.
答案:2.5
21.(10分)阅读以下文字并解答问题:
在“测量物体的高度”活动中,某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4.08米(如图1).
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米.
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3),测得此台阶上影子的长为0.2米,第一级台阶的高为0.3米,落在地面上的影长为4.4米.
小明:测得丁树落在地面上的影长为2.4米,落在坡面上的影长为3.2米(如图4).身高是1.6米的小明站在坡面上,影子也都落在坡面上,小芳测得他的影长为2米.
(1)在横线上直接填写甲树的高度为 米.
解:(1)∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4.08米,
∴甲树的高度为4.08÷0.8=5.1(米).
答案:5.1
(2)画出测量乙树高度的示意图,并求出乙树的高度.
解: (2)如图1:
设AB为乙树的高度,BC=2.4,
∵四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD=1.2(米),
由题意得:==,
解得BE=3米,
∴AB=AE+BE=4.2(米),
故乙树的高度为4.2米.
(3)请选择丙树的高度为( )
A.6.5米 B.5.75米 C.6.05米 D.7.25米
解: (3)选C.如图2,
设AB为丙树的高度,EF=0.2米,
由题意得:=,∴DE=0.25(米),则CD=0.25+0.3=0.55(米),
∵四边形AGCD是平行四边形,∴AG=CD=0.55(米),
又由题意得:==,∴BG=5.5(米),∴AB=AG+BG=0.55+5.5=6.05(米).
(4)你能计算出丁树的高度吗 试试看.
解: (4)能.如图3:
设AB为丁树的高度,BC=2.4米,CD=3.2米,
∵四边形AECF是平行四边形,∴AE=CF,
由题意得:==,解得BE=3米,=,
解得CF=2.56米,故AE=CF=2.56米,
∴AB=AE+BE=BE+CF=5.56(米),
故丁树的高度为5.56米.
22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知OA=6 cm,OB=8 cm.点P从点B开始沿BA边向终点A以1 cm/s的速度移动;点Q从点A开始沿AO边向终点O以1 cm/s的速度移动.有一点到达终点,另一点也停止运动.若P,Q同时出发,运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示AP的长为 cm.
答案:(10-t)
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似
解: (2)∵∠BAO=∠PAQ,
∴△APQ与△AOB相似分两种情况讨论,
①当∠APQ是直角时,△APQ∽△AOB,
∴=,即=,
解得t=>6,舍去;
②当∠AQP是直角时,△AQP∽△AOB,
∴=,
即=,解得t=,
综上所述,当t=时,△APQ与△AOB相似.
23.(10分)(2023·菏泽中考)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠ADE=90°,
∴∠CDF+∠DFC=90°,
∵AE⊥DF,
∴∠DGE=90°,
∴∠CDF+∠AED=90°,
∴∠AED=∠DFC,
∴△ADE∽△DCF;
【问题解决】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.
解: (2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,AD∥BC,∠ADE=∠DCF=90°,
∵AE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL),
∴DE=CF,
∵CH=DE,
∴CF=CH,
∵点H在BC的延长线上,
∴∠DCH=∠DCF=90°,
又∵DC=DC,
∴△DCF≌△DCH(SAS),
∴∠DFC=∠H,
∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠DFC,
∴∠ADF=∠H;
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED= 60°,求CF的长.
解: (3)如图,延长BC至点G,使CG=DE=8,连接DG,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=DC,AD∥BC,
∴∠ADE=∠DCG,
∴△ADE≌△DCG(SAS),
∴∠DGC=∠AED=60°,AE=DG,
∵AE=DF,
∴DG=DF,
∴△DFG是等边三角形,
∴FG=DF=11,
∵CF+CG=FG,
∴CF=FG-CG=11-8=3,
即CF的长为3.
【附加题】(10分)
(2023·赤峰中考节选)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①,把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中,使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合,绕点C旋转三角尺时,45°角的两边CM,CN始终与正方形的边AD,AB所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得△CMN.
【探究一】如图②,把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH,同时得到点H在直线AB上.求证:∠CNM=∠CNH;
解:【探究一】
∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH,同时得到点H在直线AB上,
∴CM=CH,∠MCH=90°,
∴∠NCH=∠MCH-∠MCN=90°-45°=45°,
∴∠MCN=∠HCN,
在△CNM与△CNH中,
,
∴△CNM≌△CNH(SAS),
∴∠CNM=∠CNH;
【探究二】在图②中,连接BD,分别交CM,CN于点E,F.求证:△CEF∽△CNM.
解:【探究二】如图所示,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBA=45°,
又∵∠MCN=45°,
∴∠FBN=∠FCE=45°,
∵∠EFC=∠BFN,
∴∠CEF=∠FNB,
又∵∠CNM=∠CNH,
∴∠CEF=∠CNM,
又∵公共角∠ECF=∠NCM,
∴△CEF∽△CNM.第四章 图形的相似
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知2a=3b(ab≠0),则下列各式正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
2.如图,已知AB∥CD∥EF,BC∶CE=3∶4,AF=21,则DF的长为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
3.若△ABC∽△DEF,AB∶DE=9∶4,则△ABC与△DEF的面积之比为( )
A.3∶2 B.9∶4 C.4∶9 D.81∶16
4.(2024·成都模拟)如图,∠DAB=∠CAE,请你再添加一个条件,使得△ADE∽
△ABC. 则下列选项不成立的是( )
A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.= D.=
5.如图,小康利用复印机将一张长为5 cm、宽为3 cm的矩形图片放大,其中放大后的长为10 cm,则放大后的矩形的宽为( )
A. cm B.5 cm C.10 cm D.6 cm
6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,各顶点都在格点上,则位似中心的坐标是( )
A.(4,2) B.(5,1) C.(-4,2) D.(0,0)
7.如图所示,长为8 cm,宽为6 cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下的矩形的面积是 )
A.28 cm2 B.27 cm2 C.21 cm2 D.20 cm2
8.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m, CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
9.在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m.参考数据:≈1.414, ≈ 1.732,≈2.236)( )
A.0.73 m B.1.24 m C.1.37 m D.1.42 m
10.(2023·无锡中考)如图△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=x,∠BAC=α,O为AB中点,若点D为直线BC下方一点,且△BCD与△ABC相似,则下列结论:
①若α=45°,BC与OD相交于E,则点E不一定是△ABD的重心;
②若α=60°,则AD的最大值为2;
③若α=60°,△ABC∽△CBD,则OD的长为2;
④若△ABC∽△BCD,则当x=2时,AC+CD取得最大值.
其中正确的为( )
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2023·临沂中考)如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是 .
12.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为 cm.
13.矩形的两边长分别为x和6(x<6),把它按如图方式分割成三个全等的小矩形,每一个小矩形与原矩形相似,则x= .
14.(2024·成都质检)如图,在△ABC中,点D在边AB上,若∠ACD=∠B,AD=3,BD=4,则AC的长为 .
15.小薛同学在学习了“比例线段”一课后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的数值 ,感受这种特殊化的学习过程.
16.如图,D,E分别是△ABC的边上AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,当S△DOE=1时,则S△AOC的值为 .
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+2的图象分别交x轴,y轴于A,B两点,过该函数图象上一点C(4,4)作CD⊥x轴于点D,点E是线段AB上一动点,连接BD,EO,若以B,E,O为顶点的三角形与△BCD相似,则点E的坐标为 .
18.如图,以O为位似中心,将边长为256的正方形OABC依次作位似变换,经第一次变化后得正方形OA1B1C1,其边长OA1缩小为OA的,经第二次变化后得正方形OA2B2C2,其边长OA2缩小为OA1的,经第三次变化后得正方形OA3B3C3,其边长OA3缩小为OA2的,…,按照此规律,经第n次变化后,所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数,则n= .
三、解答题(共46分)
19.(8分)(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
20.(8分)如图,△ABC在边长为1的小正方形组成的网格图中,建立平面直角坐标系后,点O的坐标是(0,0).
(1)以O为位似中心,作△A'B'C'∽△ABC,相似比为1∶2,且保证△A'B'C'在第三象限;
(2)点B'的坐标为( , );
(3)△A'B'C'的面积是 .
21.(10分)阅读以下文字并解答问题:
在“测量物体的高度”活动中,某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4.08米(如图1).
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米.
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3),测得此台阶上影子的长为0.2米,第一级台阶的高为0.3米,落在地面上的影长为4.4米.
小明:测得丁树落在地面上的影长为2.4米,落在坡面上的影长为3.2米(如图4).身高是1.6米的小明站在坡面上,影子也都落在坡面上,小芳测得他的影长为2米.
(1)在横线上直接填写甲树的高度为 米.
(2)画出测量乙树高度的示意图,并求出乙树的高度.
(3)请选择丙树的高度为( )
A.6.5米 B.5.75米 C.6.05米 D.7.25米
(4)你能计算出丁树的高度吗 试试看.
22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知OA=6 cm,OB=8 cm.点P从点B开始沿BA边向终点A以1 cm/s的速度移动;点Q从点A开始沿AO边向终点O以1 cm/s的速度移动.有一点到达终点,另一点也停止运动.若P,Q同时出发,运动时间为t( ).
(1)用含t的代数式表示AP的长为 cm.
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似
23.(10分)(2023·菏泽中考)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.
【问题解决】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED= 60°,求CF的长.
【附加题】(10分)
(2023·赤峰中考节选)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①,把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中,使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合,绕点C旋转三角尺时,45°角的两边CM,CN始终与正方形的边AD,AB所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得△CMN.
【探究一】如图②,把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH,同时得到点H在直线AB上.求证:∠CNM=∠CNH;
【探究二】在图②中,连接BD,分别交CM,CN于点E,F.求证:△CEF∽△CNM.
