第一章 特殊平行四边形
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024·佛山质检)满洲窗,作为岭南建筑的一个独特符号,彰显着岭南文化的兼收并蓄.工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时,分三个步骤进行:
(1)如图1,先截出两对符合规格的木条,使AB=CD,EF=GH;
(2)摆成如图2所示的四边形;
(3) ,矩形窗框制作完成.
下列方法中不能作为制作工序的第(3)个步骤的是 ( )
A.将直角尺紧靠窗框一个角,调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
2.如图,将长方形和直角三角形的直角顶点重合,若∠AOE=128°,则∠COD的度数为 ( )
A.28° B.38° C.52° D.62°
3.下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;
③它是一个矩形.下列推理过程正确的是 ( )
A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出②
4.如图,广场中心的菱形花坛ABCD的周长是40米,∠A=60°,则点A到DC的距离为 ( )
A.4米 B.4米 C.5米 D.5米
5.如图,在矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.7
6.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,∠BED的平分线交BC于F.若AB=6,BC=16,则FC的长度为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
7.如图,边长为10的菱形ABCD,E是AD的中点,O是对角线的交点,矩形OEFG的一边在AB上,且EF=4,则BG的长为 ( )
A.3 B.2 C. D.1
8.如图,把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为 ( )
A. B. C. D.
9.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为 ( )
A.(-2,-2)或(2,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(-2,-2)或(2,2)
10.如图,在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°,点O,B在y轴上,OA=1,现在把菱形向右无滑动翻转,每次翻转60°,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,连续翻转2 017次,则B2 017的坐标为( )
A.(1 345,0) B. (1 345,) C.(1 345.5,0) D. (1 345.5,)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.四边形具有不稳定性.如图,矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D',当变形后图形面积是原图形面积的一半时,则∠A'= .
12.如图,在菱形ABCD中,点E为对角线AC上一点,且AE=AD,连接DE,若AB=10,AC=16,则DE的长为 .
13.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .
14.如图,在△ABC中,分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,将△ABC分割后拼接成矩形PBCQ.若DE=5,AF=4,则矩形PBCQ的面积是 .
15.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为 .
16.菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,点P,Q分别是BC,BD上的动点,CQ+PQ的最小值为 .
17.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=40°,则∠E= °.
18.如图是一张矩形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上的一点,AE=5,点P在长方形ABCD的一边上,要使△AEP是等腰三角形,则△AEP的底边长为 .
三、解答题(共46分)
19. (8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.
求证:∠BAE=∠DAF.
20. (8分)如图,在矩形ABCD中,AD=10,AB=6,DF平分∠ADC,AF⊥EF,求EF的长.
21. (10分)(2023·沈阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,点E在DA的延长线上,连接BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F,连接BF,CE.求证:四边形BECF是菱形.
22. (10分)如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与矩形的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN.
(1)求证:四边形ANCM为平行四边形;
(2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,求DM的长.
23. (10分)(2023·十堰中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
【附加题】(10分)
【感知】如图①,四边形ABCD,CEFG均为正方形.可知BE=DG.
【拓展】如图②,四边形ABCD,CEFG均为菱形,且∠A=∠F.求证:BE=DG.
【应用】如图③,四边形ABCD,CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD的延长线上.若AE=2ED,∠A=∠F,△EBC的面积为8,求菱形CEFG的面积.第一章 特殊平行四边形
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024·佛山质检)满洲窗,作为岭南建筑的一个独特符号,彰显着岭南文化的兼收并蓄.工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时,分三个步骤进行:
(1)如图1,先截出两对符合规格的木条,使AB=CD,EF=GH;
(2)摆成如图2所示的四边形;
(3) ,矩形窗框制作完成.
下列方法中不能作为制作工序的第(3)个步骤的是 (C)
A.将直角尺紧靠窗框一个角,调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
2.如图,将长方形和直角三角形的直角顶点重合,若∠AOE=128°,则∠COD的度数为 (C)
A.28° B.38° C.52° D.62°
3.下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;
③它是一个矩形.下列推理过程正确的是 (A)
A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出②
4.如图,广场中心的菱形花坛ABCD的周长是40米,∠A=60°,则点A到DC的距离为 (D)
A.4米 B.4米 C.5米 D.5米
5.如图,在矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是(A)
A.3 B.4 C.5 D.7
6.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,∠BED的平分线交BC于F.若AB=6,BC=16,则FC的长度为 (C)
A.4 B.5 C.6 D.8
7.如图,边长为10的菱形ABCD,E是AD的中点,O是对角线的交点,矩形OEFG的一边在AB上,且EF=4,则BG的长为 (B)
A.3 B.2 C. D.1
8.如图,把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为 (A)
A. B. C. D.
9.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为 (D)
A.(-2,-2)或(2,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(-2,-2)或(2,2)
10.如图,在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°,点O,B在y轴上,OA=1,现在把菱形向右无滑动翻转,每次翻转60°,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,连续翻转2 017次,则B2 017的坐标为(D)
A.(1 345,0) B. (1 345,) C.(1 345.5,0) D. (1 345.5,)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.四边形具有不稳定性.如图,矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D',当变形后图形面积是原图形面积的一半时,则∠A'= 30° .
12.如图,在菱形ABCD中,点E为对角线AC上一点,且AE=AD,连接DE,若AB=10,AC=16,则DE的长为 2 .
13.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 3 .
14.如图,在△ABC中,分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,将△ABC分割后拼接成矩形PBCQ.若DE=5,AF=4,则矩形PBCQ的面积是 40 .
15.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为 3 .
16.菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,点P,Q分别是BC,BD上的动点,CQ+PQ的最小值为 .
17.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=40°,则∠E= 20 °.
18.如图是一张矩形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上的一点,AE=5,点P在长方形ABCD的一边上,要使△AEP是等腰三角形,则△AEP的底边长为 5或5或4 .
三、解答题(共46分)
19. (8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.
求证:∠BAE=∠DAF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=AD,
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF.
20. (8分)如图,在矩形ABCD中,AD=10,AB=6,DF平分∠ADC,AF⊥EF,求EF的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠ADC=90°,AB=DC=6,BC=AD=10,
∴∠BAF+∠AFB=90°,
∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=∠CDF=45°,
∴△DCF是等腰直角三角形,∴FC=DC=6,∴AB=FC,
∵AF⊥EF,∴∠AFE=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠BAF=∠EFC,∴△ABF≌△FCE,∴EF=AF,
∵BF=BC-FC=10-6=4,
在Rt△ABF中,AF===2,则EF=AF=2.
21. (10分)(2023·沈阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,点E在DA的延长线上,连接BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F,连接BF,CE.求证:四边形BECF是菱形.
证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD垂直平分BC,
∴EB=EC,FB=FC.
∵CF∥BE,∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD,
∵DB=DC,∴△EBD≌△FCD(AAS),
∴BE=FC,∴EB=BF=FC=EC,
∴四边形EBFC是菱形.
22. (10分)如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与矩形的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN.
(1)求证:四边形ANCM为平行四边形;
解:(1)∵在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,
∴AD∥BC,AO=CO,∴∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC,
在△AOM和△CON中,∴△AOM≌△CON(AAS),∴AM=CN,
∵AM∥CN,∴四边形ANCM为平行四边形.
(2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,求DM的长.
解: (2)∵在矩形ABCD中,AD=BC,由(1)知:AM=CN,∴DM=BN,
∵四边形ANCM为平行四边形,MN⊥AC,∴平行四边形ANCM为菱形,∴AM=AN=NC=AD-DM,
∴在Rt△ABN中,根据勾股定理,得AN2=AB2+BN2,
∴(4-DM)2=22+DM2,解得DM=.
23. (10分)(2023·十堰中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
解:(1)四边形BPCO为平行四边形.
理由:∵四边形ABCD为平行四边形,∴OC=OA=AC,OB=OD=BD.
∵分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,
∴OB=CP,BP=OC,∴四边形BPCO为平行四边形.
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
解: (2)当AC⊥BD且AC=BD时,四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
∵AC=BD,OB=BD,OC=AC,∴OB=OC.
∵四边形BPCO为平行四边形,∴四边形BPCO为正方形.
【附加题】(10分)
【感知】如图①,四边形ABCD,CEFG均为正方形.可知BE=DG.
【拓展】如图②,四边形ABCD,CEFG均为菱形,且∠A=∠F.求证:BE=DG.
【应用】如图③,四边形ABCD,CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD的延长线上.若AE=2ED,∠A=∠F,△EBC的面积为8,求菱形CEFG的面积.
解:【拓展】∵四边形ABCD,四边形CEFG均为菱形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠A,∠ECG=∠F.
∵∠A=∠F,∴∠BCD=∠ECG.
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD,即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,∴△BCE≌△DCG(SAS),∴BE=DG.
【应用】∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,∵BE=DG,
∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8,∵AE=2ED,∴S△CDE=×8=,
∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=,∴S菱形CEFG=2S△ECG=.
