*5 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1(2023·天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则( )
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
2下列一元二次方程中,两实数根之和为2的是( )
A.x2+2x+1=0 B.x2-2=0
C.-x2+2x-3=0 D.x2-x-=0
3若x1,x2是一元二次方程x2-2x-2 022=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2= .
4设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2.
(2).
知识点2 已知方程一根求另一根
5(2022·益阳中考)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,则此方程的另一个根是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
6如果x=4是关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0的一个根,则另一个根是( )
A.x=2 B.x=3
C.x=1 D.与p有关,不能确定
7(2023·营口中考)若关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3,则此方程的另一个根是 .
8已知关于x的方程x2+2x+3m-4=0的一个根是2,求另一个根和m的值.
练易错
易错点1 求两根之和时漏掉负号
9已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2+x1x2= .
易错点2 运用根与系数的关系求系数时,忽略方程有实数根的前提条件
10(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m= .
11关于x的一元二次方程x2+(a2-3a)x+a=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 .
12(2023·菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1,x2,则+的值为( )
A. B.-3 C.3 D.-
13(2023·达州中考)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值为 .
14已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0,若此方程的一个根是1,则方程的另一个根是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
15已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3= .
16(2023·襄阳中考)关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
17已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求证:k取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若Rt△ABC斜边长为a=3,另两边长为b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
18新趋势·模型观念、运算能力 如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知a,b是方程x2+15x+5=0的两根,则+= .
(2)已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
(3)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知 和是关于x,y的方程组的两个不相等的实数解.问:是否存在实数k,使得y1y2--=2 若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.*5 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1(2023·天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则(A)
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
2下列一元二次方程中,两实数根之和为2的是(D)
A.x2+2x+1=0 B.x2-2=0
C.-x2+2x-3=0 D.x2-x-=0
3若x1,x2是一元二次方程x2-2x-2 022=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2= -2 020 .
4设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2.
(2).
解:根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1·x2=-.
(1)(x1-x2)2=+-2x1x2=++2x1x2-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×=10.
(2)=x1x2+1+1+=+2+ =-.
知识点2 已知方程一根求另一根
5(2022·益阳中考)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,则此方程的另一个根是(B)
A.-1 B.0 C.1 D.2
6如果x=4是关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0的一个根,则另一个根是(C)
A.x=2 B.x=3
C.x=1 D.与p有关,不能确定
7(2023·营口中考)若关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3,则此方程的另一个根是 -4 .
8已知关于x的方程x2+2x+3m-4=0的一个根是2,求另一个根和m的值.
解:把x=2代入方程得4+4+3m-4=0,解得m=-,方程化为x2+2x-8=0,
设方程的另一根为x2,
则2+x2=-2,解得x2=-4,
即方程的另一个根为-4,m的值为-.
练易错
易错点1 求两根之和时漏掉负号
9已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2+x1x2= - .
易错点2 运用根与系数的关系求系数时,忽略方程有实数根的前提条件
10(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m= 3 .
11关于x的一元二次方程x2+(a2-3a)x+a=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 0 .
12(2023·菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1,x2,则+的值为(C)
A. B.-3 C.3 D.-
13(2023·达州中考)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值为 7 .
14已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0,若此方程的一个根是1,则方程的另一个根是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
15已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3= -2 .
16(2023·襄阳中考)关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
解:(1)Δ=22-4×1×(3-k)=-8+4k,
∵有两个不相等的实数根,∴-8+4k>0,解得:k>2;
(2)若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值.
解: (2)∵方程的两个根为α,β,∴αβ=3-k,
∴k2=3-k+3k,解得:k1=3,k2=-1(舍去).
17已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求证:k取任何实数值,方程总有实数根;
解:(1)Δ=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0,
则k取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若Rt△ABC斜边长为a=3,另两边长为b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
解: (2)∵Rt△ABC斜边长为a=3,另两边长为b,c恰好是这个方程的两个根,
∴a2=b2+c2,
则9=(b+c)2-2bc,9=(k+2)2-2×2k,
解得:k=±,
∵b+c=2+k=2+(负数舍去),
∴△ABC的周长为5+.
18新趋势·模型观念、运算能力 如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知a,b是方程x2+15x+5=0的两根,则+= .
解:(1)∵a,b是方程x2+15x+5=0的两根,
∴a+b=-15,ab=5,
∴+====43;
答案:43
(2)已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
解: (2)∵a+b+c=0,abc=16,∴a+b=-c,ab=,
∴a,b是方程x2+cx+=0的解,
∴c2-4·≥0,c2-≥0,
∵c是正数,∴c3-43≥0,c3≥43,c≥4,
∴正数c的最小值是4;
(3)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知 和是关于x,y的方程组的两个不相等的实数解.问:是否存在实数k,使得y1y2--=2 若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
解: (3)存在,理由如下:由x2-y+k=0变形得:y=x2+k,
由x-y=1变形得:y=x-1,把y=x-1代入y=x2+k,并整理得:x2-x+k+1=0,
由题意可知,x1,x2是方程x2-x+k+1=0的两个不相等的实数根,
故有,即,解得:k=-2.
