第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程
知识点1 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
1用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为( )
A. B. C.2 D.
2把一元二次方程2x2-x-1=0用配方法配成2(x-h)2+k=0的形式(h,k均为常数),则h和k的值分别为 .
3用配方法解方程:
(1)2x2+10x-9=0.
(2)2x2+3=7x.
(3)-x2+x=-6.
知识点2 配方法的应用
4用配方法将二次三项式x2-8x-9化为a(x-h)2+k的形式为( )
A.(x-4)2-25 B.(x+4)2-25
C.(x+4)2+7 D.(x-4)2+7
5已知三角形的三条边为a,b,c,且满足a2-10a+b2-16b+89=0,则这个三角形的最大边c的取值范围是( )
A.c>8 B.5C.36已知M=x2+x,N=3x-1,则M,N的大小关系是( )
A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M7已知a,b,c是等腰三角形ABC的三条边,其中a,b满足a2+b2-2a-8b+17=0,则△ABC的周长为 .
8推理能力有助于形成实事求是的科学态度与理性精神.我们知道任何实数的平方一定是一个非负数,即(a+b)2≥0,且-(a+b)2≤0.据此,我们可以得到下面的推理:
∵x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2,而(x+1)2≥0;
∴(x+1)2+2≥2,故x2+2x+3有最小值,最小值是2.
试根据以上方法判断代数式-3y2+6y+2是否存在最大值或最小值.若有,请求出它的最大值或最小值.
练易错 忽视配方的前提条件致错
9用配方法将方程2x2+x=2变形为(x+h)2=k的形式是 .
10(2024·福州期中)用配方法解方程2x2-4x-7=0,下列变形结果正确的是( )
A.(x-1)2= B.(x-1)2=
C.(x-2)2=3 D. (x-)2=7
11对于任意实数m,n,多项式m2+n2-6m-10n+36的值总是( )
A.非负数 B.0
C.大于2 D.不小于2
12将一元二次方程2x2+8x+3=0通过配方转换成(x+n)2=p的形式(n,p为常数),则np的值为( )
A.3 B.5 C.-5 D.-9
13若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+q=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是 .
14矩形的长和宽分别为x和y(x>y),周长为40,且满足x2-2xy+y2-6x+6y-16=0,则该矩形的面积为 .
15用配方法解方程:
(1)3x2-2x-5=0.
(2)(x-4)2-3(x-4)=0.
16
阅读材料,用配方法求最值.
已知a,b为非负实数,∵a+b-2=()2+()2-2·=(-)2≥0,∴a+b≥2,当且仅当“a=b”时,等号成立.示例:当x>0时,求y=x++1的最小值;
(1)探究:当x>0时,求y=的最小值;
(2)问题解决:随着人们生活水平的提高,汽车已成为越来越多家庭的交通工具,假设某种汽车的购车费用为10万元,每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元,n年的保养维修费用总和为万元,问:这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少,年平均费用=所有费用÷年数n) 最少年平均费用为多少万元 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程
知识点1 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
1用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为(B)
A. B. C.2 D.
2把一元二次方程2x2-x-1=0用配方法配成2(x-h)2+k=0的形式(h,k均为常数),则h和k的值分别为 ,- .
3用配方法解方程:
(1)2x2+10x-9=0.
解:(1)方程整理,得x2+5x=,
配方,得x2+5x+=+,
即=,开方得x+=±,
解得x1=,x2=.
(2)2x2+3=7x.
解: (2)2x2-7x=-3,x2-x=-,
x2-x+()2=-+()2,
(x-)2=,x-=±,
x=±,∴x1=3,x2=;
(3)-x2+x=-6.
解: (3)-x2+x=-6,整理,得x2-x-6=0,
x2-x=6,x2-x+()2=6+()2,
(x-)2=,x-=±,
x=±+,x1=3,x2=-2.
知识点2 配方法的应用
4用配方法将二次三项式x2-8x-9化为a(x-h)2+k的形式为(A)
A.(x-4)2-25 B.(x+4)2-25
C.(x+4)2+7 D.(x-4)2+7
5已知三角形的三条边为a,b,c,且满足a2-10a+b2-16b+89=0,则这个三角形的最大边c的取值范围是(C)
A.c>8 B.5C.36已知M=x2+x,N=3x-1,则M,N的大小关系是(A)
A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M7已知a,b,c是等腰三角形ABC的三条边,其中a,b满足a2+b2-2a-8b+17=0,则△ABC的周长为 9 .
8推理能力有助于形成实事求是的科学态度与理性精神.我们知道任何实数的平方一定是一个非负数,即(a+b)2≥0,且-(a+b)2≤0.据此,我们可以得到下面的推理:
∵x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2,而(x+1)2≥0;
∴(x+1)2+2≥2,故x2+2x+3有最小值,最小值是2.
试根据以上方法判断代数式-3y2+6y+2是否存在最大值或最小值.若有,请求出它的最大值或最小值.
解:原式=-3(y2-2y+1)+5
=-3(y-1)2+5,
∵-3(y-1)2≤0,∴-3(y-1)2+5≤5,
∴-3y2+6y+2有最大值,最大值为5.
练易错 忽视配方的前提条件致错
9用配方法将方程2x2+x=2变形为(x+h)2=k的形式是 = .
10(2024·福州期中)用配方法解方程2x2-4x-7=0,下列变形结果正确的是(B)
A.(x-1)2= B.(x-1)2=
C.(x-2)2=3 D. (x-)2=7
11对于任意实数m,n,多项式m2+n2-6m-10n+36的值总是(D)
A.非负数 B.0
C.大于2 D.不小于2
12将一元二次方程2x2+8x+3=0通过配方转换成(x+n)2=p的形式(n,p为常数),则np的值为(B)
A.3 B.5 C.-5 D.-9
13若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+q=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是 第二象限 .
14矩形的长和宽分别为x和y(x>y),周长为40,且满足x2-2xy+y2-6x+6y-16=0,则该矩形的面积为 84 .
15用配方法解方程:
(1)3x2-2x-5=0.
(2)(x-4)2-3(x-4)=0.
解:(1)两边都除以3,得x2-x-=0,
移项,得x2-x=.
两边都加上,得x2-x+=,
即=,两边开平方,得x-=±,
∴x1=,x2=-1.
解: (2)令t=x-4,原方程变为t2-3t=0,
配方得t2-3t+=,即=,
两边开平方,得t-=±,即t=0或t=3,
即x-4=0或x-4=3,即x1=4,x2=7.
16新课标·学段衔接
阅读材料,用配方法求最值.
已知a,b为非负实数,∵a+b-2=()2+()2-2·=(-)2≥0,∴a+b≥2,当且仅当“a=b”时,等号成立.示例:当x>0时,求y=x++1的最小值;
解:y=(x+)+1≥2·+1=5,当x=,即x=2时,y的最小值为5.
(1)探究:当x>0时,求y=的最小值;
解:(1)由y=得,y=x++3,
∵x>0,∴y=x++3≥2·+3=5,
当x=即x=1时,y=的最小值是5;
(2)问题解决:随着人们生活水平的提高,汽车已成为越来越多家庭的交通工具,假设某种汽车的购车费用为10万元,每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元,n年的保养维修费用总和为万元,问:这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少,年平均费用=所有费用÷年数n) 最少年平均费用为多少万元
解: (2)设年平均费用为w万元,
则w==++.
∵n是正整数,
∴w=++≥2·+=2.5,
当且仅当=,即n=10时,取“=”.
答:这种汽车使用10年报废最合算,最少年平均费用为2.5万元.
