3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 公式法
知识点1 一元二次方程的求根公式
1(2024·漳州期中)用公式法解方程2x2+5x-1=0,所得解正确的是(A)
A.x= B.x=
C.x= D.x=
2x=是下列哪个一元二次方程的根(C)
A.2x2+x-3=0 B.x2-2x-3=0
C.2x2-x-3=0 D.x2+2x-3=0
3用公式法解方程2x2-1=0,其中b2-4ac= 8 .
4用公式法解下列方程:
(1)x2-6x-4=0.
解:(1)这里a=1,b=-6,c=-4,∵Δ=36+16=52,∴x==3±.
(2)4x2-3x-5=x-2.
解:(2)方程整理,得4x2-4x-3=0,
这里a=4,b=-4,c=-3,
∵Δ=16+48=64,
∴x=,解得x1=,x2=-.
知识点2 一元二次方程的根的判别式
5(2023·滨州中考)一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能判定
6(2023·锦州中考)若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根,则k的取值范围是(D)
A.k< B.k≤
C.k<且k≠0 D.k≤且k≠0
7(2023·临夏州中考)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c= 0(答案不唯一) (写出一个满足条件的值).
8已知关于x的一元二次方程(a-c)x2-2bx+(a+c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)若x=1是方程的根,求证:△ABC是等腰三角形;
解:(1)∵x=1是一元二次方程(a-c)x2-2bx+(a+c)=0的根,
∴(a-c)-2b+(a+c)=0,a≠c,∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解: (2)△ABC是直角三角形,理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(-2b)2-4(a-c)(a+c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,∴b2+c2=a2,
∴△ABC是直角三角形.
练易错
易错点1 用求根公式解一元二次方程时,没有把其化为一般形式而致错
9用求根公式解方程2x2-3=x时,a,b,c的值是(B)
A.a=2,b=1,c=-3
B.a=2,b=-1,c=-3
C.a=2,b=-1,c=3
D.a=2,b=1,c=3
易错点2 求解含参方程参数取值范围时,忽略a≠0而致错
10(2023·聊城中考)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,则m的取值范围是 m≤1且m≠0 .
11(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是(C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
12已知a是一元二次方程2x2-2x-1=0较大的实数根,那么a的值应在(C)
A.3和4之间 B.2和3之间
C.1和2之间 D.0和1之间
13若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是k≤且k≠1.
14(2023·广安中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的个数为 2 .
15用公式法解下列方程:
(1)(x-2)(x+2)=2x.
解:(1)原方程整理可得x2-2x-4=0,
∵a=1,b=-2,c=-4,∴Δ=(-2)2-4×1×(-4)=24>0,则x==±,∴x1=+,x2=-.
(2)y2=4y+1.
解: (2)原方程整理得3y2-8y-2=0,
∵a=3,b=-8,c=-2,∴Δ=(-8)2-4×3×(-2)=88>0,
则y==,
∴y1=,y2=.
16已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).
(1)求证:方程一定有实数根;
解:(1)∵m≠0,
Δ=(m-2)2-4m×(-2)
=m2-4m+4+8m
=m2+4m+4
=(m+2)2≥0,
∴方程一定有实数根;
(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.
解: (2)x=,
∴x1=1,x2=-,
当整数m取±1,±2时,x2为整数,
∵方程有两个不相等的整数根,
∴整数m为-1,1,2.
17新中考·阅读理解 请阅读下列材料:
我们规定一种运算:=ad-bc,例如:
=2×5-3×4=10-12=-2.按照这种运算的规定,请解答下列问题:
(1)直接写出的计算结果;
解:(1)∵=ad-bc,∴=-1×0.5-(-2)×2=-0.5+4=3.5;
(2)当x取何值时,=0
(2)=2x2-1×(0.5-x)=0,整理,得4x2+2x-1=0,
解得x=.
∴当x=或x=时,=0;
(3)若==-7,直接写出x和y的值.
(3)∵=ad-bc,
∴=3(0.5x-1)-8y,=-x+0.5y,
∴,解得.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 公式法
知识点1 一元二次方程的求根公式
1(2024·漳州期中)用公式法解方程2x2+5x-1=0,所得解正确的是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
2x=是下列哪个一元二次方程的根( )
A.2x2+x-3=0 B.x2-2x-3=0
C.2x2-x-3=0 D.x2+2x-3=0
3用公式法解方程2x2-1=0,其中b2-4ac= .
4用公式法解下列方程:
(1)x2-6x-4=0.
(2)4x2-3x-5=x-2.
知识点2 一元二次方程的根的判别式
5(2023·滨州中考)一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能判定
6(2023·锦州中考)若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k< B.k≤
C.k<且k≠0 D.k≤且k≠0
7(2023·临夏州中考)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c= (写出一个满足条件的值).
8已知关于x的一元二次方程(a-c)x2-2bx+(a+c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)若x=1是方程的根,求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
练易错
易错点1 用求根公式解一元二次方程时,没有把其化为一般形式而致错
9用求根公式解方程2x2-3=x时,a,b,c的值是( )
A.a=2,b=1,c=-3
B.a=2,b=-1,c=-3
C.a=2,b=-1,c=3
D.a=2,b=1,c=3
易错点2 求解含参方程参数取值范围时,忽略a≠0而致错
10(2023·聊城中考)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,则m的取值范围是 .
11(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
12已知a是一元二次方程2x2-2x-1=0较大的实数根,那么a的值应在( )
A.3和4之间 B.2和3之间
C.1和2之间 D.0和1之间
13若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是.
14(2023·广安中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的个数为 .
15用公式法解下列方程:
(1)(x-2)(x+2)=2x.
16已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).
(1)求证:方程一定有实数根;
(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.
17请阅读下列材料:
我们规定一种运算:=ad-bc,例如:
=2×5-3×4=10-12=-2.按照这种运算的规定,请解答下列问题:
(1)直接写出的计算结果;
(2)当x取何值时,=0
(3)若==-7,直接写出x和y的值.
