第2课时 用一元二次方程解决面积问题
知识点 公式法解一元二次方程在实际问题中的应用
1如图,要把长为5 m,宽为3 m的矩形花坛四周扩展相同的宽度x m,得到面积为48 m2的新矩形花坛,则根据题意可列方程为(D)
A.5x·3x=48 B.(5+x)(3+x)=48
C.(5+2x)(3+x)=48 D.(5+2x)(3+2x)=48
2(2023·鸡西中考)如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则小路的宽是(A)
A.5 m B.70 m
C.5 m或70 m D.10 m
3如图,用长为20 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为11 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在BC上用其他材料做了宽为1 m的两扇小门.若花圃的面积刚好为40 m2,则此时花圃AB段的长为 4 m.
4在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=3厘米,点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,如果点P,Q分别从A,B两点同时出发,点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运动,则经过 秒钟后,P,Q两点间距离为4厘米.
5如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段MN,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌40 m长的墙的材料.
(1)当AB长度是多少时,矩形花园的面积为150 m2
解:(1)设BC=x m,
则AB=CD=(40-x)m,x≤25,则(40-x)x=150,
解得x=10或30(舍去),
故x=10;∴AB=15(m).
答:当AB长度是15 m时,矩形花园的面积为150 m2.
(2)能否围成面积为210 m2的矩形花园,为什么
解: (2)由题意得(40-x)x=210,化简得x2-40x+420=0,Δ=1 600-4×420<0,
故不能围成面积为210 m2的矩形花园.
练易错 应用求根公式解一元二次方程的实际应用中忽略实际意义而致错
6小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于52 cm2,小林应该怎么剪
解:(1)设剪成的较短的这段为x cm,
则较长的这段为(40-x)cm,
由题意,得+=52;解得x1=16,x2=24,
当x=16时,较长的一段为40-16=24(cm),
当x=24时,较长的一段为40-24=16(cm)<24(cm)(舍去);
∴较短的这段为16 cm,较长的这段为24 cm.
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于44 cm2.”他的说法对吗 请说明理由.
解: (2)设剪成的较短的这段为m cm,
则较长的这段为(40-m)cm,
由题意得+=44,
变形为m2-40m+448=0,
∵Δ=-192<0,∴原方程无解,∴小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于44 cm2.
7如图,某农家乐老板计划在一块长130米,宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为5 750平方米,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为(B)
A.4.5米 B.5米 C.5.5米 D.6米
8(2023·襄阳中考)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是:长方形的面积是864平方步,宽比长少12步,问宽和长各是几步.设宽为x步,根据题意列方程正确的是(D)
A.2x+2(x+12)=864 B.x2+(x+12)2=864
C.x(x-12)=864 D.x(x+12)=864
9政府计划在长为30米,宽为20米的矩形场地上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),其余部分铺设草坪,草坪的总面积为560平方米,设道路的宽为x米,根据题意列出的方程为 (30-x)(20-x)=560 .
10新中考·数学文化 阅读下列材料,并解答问题:
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中.到了中世纪,阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法,并用几何法进行了证明.我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x-14=0(x>0),即x(x+5)=14(x>0)的方法.首先构造了如图1所示的图形,图中的大正方形面积是(x+x+5)2,其中四个全等的小矩形的面积分别为x(x+5)=14,中间的小正方形的面积为52,所以大正方形的面积又可表示为4×14+52=81,据此易得x=2.
(1)参照上述图解一元二次方程的方法,下面三个构图中能够用几何法求解方程x2-4x-12=0(x>0)的正确构图是 .(从序号①②③中选择)
解:(1)∵应构造面积是(x+x-4)2的大正方形,其中四个全等的小矩形面积分别为x(x-4)=12,中间的小正方形面积为42,
∴大正方形的面积又可表示为4×12+42=64,
∴大正方形的边长为8,所以x+x-4=8,∴x=6,故正确的构图是②;
答案:②
(2)请你结合上述问题的学习,在图2的网格中设计用几何法求解方程x2+2x-15=0(x>0)的构图(类比图1标明相关数据,不需写出解答过程).
解: (2)如图所示的图形,
图中的大正方形面积是(x+x+2)2,其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+2)=15,中间的小正方形面积为22,
所以大正方形的面积又可表示为4×15+22=64,
进一步可知大正方形的边长为8,
所以x+x+2=8,得x=3.第2课时 用一元二次方程解决面积问题
知识点 公式法解一元二次方程在实际问题中的应用
1如图,要把长为5 m,宽为3 m的矩形花坛四周扩展相同的宽度x m,得到面积为48 m2的新矩形花坛,则根据题意可列方程为( )
A.5x·3x=48 B.(5+x)(3+x)=48
C.(5+2x)(3+x)=48 D.(5+2x)(3+2x)=48
2(2023·鸡西中考)如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则小路的宽是( )
A.5 m B.70 m
C.5 m或70 m D.10 m
3如图,用长为20 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为11 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在BC上用其他材料做了宽为1 m的两扇小门.若花圃的面积刚好为40 m2,则此时花圃AB段的长为 m.
4在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=3厘米,点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,如果点P,Q分别从A,B两点同时出发,点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运动,则经过 秒钟后,P,Q两点间距离为4厘米.
5如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段MN,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌40 m长的墙的材料.
(1)当AB长度是多少时,矩形花园的面积为150 m2
(2)能否围成面积为210 m2的矩形花园,为什么
练易错 应用求根公式解一元二次方程的实际应用中忽略实际意义而致错
6小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于52 cm2,小林应该怎么剪
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于44 cm2.”他的说法对吗 请说明理由.
7如图,某农家乐老板计划在一块长130米,宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为5 750平方米,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为( )
A.4.5米 B.5米 C.5.5米 D.6米
8(2023·襄阳中考)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是:长方形的面积是864平方步,宽比长少12步,问宽和长各是几步.设宽为x步,根据题意列方程正确的是( )
A.2x+2(x+12)=864 B.x2+(x+12)2=864
C.x(x-12)=864 D.x(x+12)=864
9政府计划在长为30米,宽为20米的矩形场地上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),其余部分铺设草坪,草坪的总面积为560平方米,设道路的宽为x米,根据题意列出的方程为 .
10 阅读下列材料,并解答问题:
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中.到了中世纪,阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法,并用几何法进行了证明.我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x-14=0(x>0),即x(x+5)=14(x>0)的方法.首先构造了如图1所示的图形,图中的大正方形面积是(x+x+5)2,其中四个全等的小矩形的面积分别为x(x+5)=14,中间的小正方形的面积为52,所以大正方形的面积又可表示为4×14+52=81,据此易得x=2.
(1)参照上述图解一元二次方程的方法,下面三个构图中能够用几何法求解方程x2-4x-12=0(x>0)的正确构图是 .(从序号①②③中选择)
(2)请你结合上述问题的学习,在图2的网格中设计用几何法求解方程x2+2x-15=0(x>0)的构图(类比图1标明相关数据,不需写出解答过程).
