4 用因式分解法求解一元二次方程
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1方程(x-2)(x+3)=0的解是(D)
A.x=2 B.x=-3
C.x1=2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
2(x-2)2=x-2的根是(D)
A.x=2 B.x=1或x=3
C.x=3 D.x=2或x=3
3当x= -1或-2 时,代数式(x+1)·(x-5)与(3x-1)(x+1)的值相等.
4用因式分解法解下列方程:
(1)4x2-121=0;
解:(1)4x2-121=0,
∴(2x)2-112=0,
∴(2x+11)(2x-11)=0,
∴2x-11=0或2x+11=0,
∴x1=5.5,x2=-5.5.
(2)2(x-3)2=x(x-3);
解: (2)移项,得2(x-3)2-x(x-3)=0,
整理,得(x-3)(2x-6-x)=0,
即(x-3)(x-6)=0,
∴x-3=0或x-6=0,
解得x1=3,x2=6.
(3)x2+16=8x.
解: (3)移项,得x2-8x+16=0,将方程的左边分解因式,得(x-4)2=0,
∴x1=x2=4.
知识点2 因式分解法解一元二次方程的应用
5已知三角形两边长分别为4和8,第三边的长是一元二次方程x2-14x+40=0的根,则这个三角形的周长为(B)
A.16 B.22 C.24 D.16或22
6定义:如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等,我们称这两个方程为“相似方程”,例如,(x-3)(x-6)=0的实数根是3或6,x2-3x+2=0的实数根是1或2,3∶6=1∶2,则一元二次方程(x-3)(x-6)=0与x2-3x+2=0为相似方程.下列各组方程不是相似方程的是(C)
A.x2-16=0与x2=25
B.(x-6)2=0与x2+4x+4=0
C.x2-7x=0与x2+x-6=0
D.(x+2)(x+8)=0与x2-5x+4=0
7当x= -4或2 时,代数式x2-x-6与3x-2的值互为相反数.
8已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-11x+30=0的一个根,求三角形的面积.
解析:解方程x2-11x+30=0得x1=5,x2=6,
当腰长为5时,三角形三边长度为5,5,8,此时底边上的高为3,所以等腰三角形的面积为×8×3=12;
当腰长为6时,三角形三边长度为6,6,8,此时底边上的高为2,所以等腰三角形的面积为×8×2=8.
综上,三角形的面积为12或8.
练易错
易错点1 用因式分解法解一元二次方程时忽略等号右边应为0而致错
9解方程(x-1)(x-3)=8.
解:∵(x-1)(x-3)=8,
∴x2-4x-5=0,∴(x-5)(x+1)=0,
即x-5=0或x+1=0,
解得x1=5,x2=-1.
易错点2 应用因式分解法解一元二次方程出现丢根现象
10方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 x1=1,x2= .
11(2024·天津期中)一元二次方程x(x-3)=3-x的根是(C)
A.-1 B.1和3
C.-1和3 D.3
12若菱形两条对角线的长度是方程x2-6x+8=0的两根,则该菱形的边长为(A)
A. B.4 C.2 D.5
13已知x为实数,且满足(x2+x+1)2+2(x2+x+1)-3=0,那么x2+x+1的值为(A)
A.1 B.-3
C.-3或1 D.-1或3
14一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根,则该三角形的周长为 13 .
15用适当的方法解方程:
(1)3x(x+5)=5(x+5);
解:(1)原方程可变形为3x(x+5)-5(x+5)=0,即(x+5)(3x-5)=0,
∴x+5=0或3x-5=0,∴x1=-5,x2=;
(2)3x2=4x+1;
解: (2)将方程化为一般形式,得3x2-4x-1=0.
这里a=3,b=-4,c=-1,
∴b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0,
∴x===,
∴x1=,x2=;
(3)5(x-4)2=25;
解: (3)5(x-4)2=25.∴(x-4)2=5,∴x-4=或x-4=-,∴x1=4+,x2=4-.
(4)2(x-3)2=x2-9.
解: (4)方程变形,得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,
分解因式,得(x-3)(2x-6-x-3)=0,
解得x1=3,x2=9.
16新中考·阅读理解 如果一元二次方程的两根相差1,那么该方程称为“差1方程”.例如x2+x=0是“差1方程”.
(1)判断方程x2-7x+12=0是否为“差1方程”;
解:(1)x2-7x+12=0,
解得 x1=3,x2=4,
∵4-3=1,
∴x2-7x+12=0 是“差1方程”;
(2)已知关于x的方程x2+(2-m)x-2m=0(m是常数)是“差1方程”,求m的值;
解: (2)x2+(2-m)x-2m=0,
(x-m)(x+2)=0,
x1=m,x2=-2,
∵方程x2+(2-m)x-2m=0(m是常数)是“差1方程”,
∴m=-2+1或m=-2-1,
∴m=-1或m=-3;
(3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差1方程”,设t=12a-b2,求t的最大值.
解: (3)由题可得:Δ=b2-4ac=b2-4a×1=b2-4a>0,
∴解方程得 x=,
∵关于x的方程 ax2+bx+1=0 (a,b是常数,a>0)是“差1方程”,
∴-=1,
∴b2=a2+4a,
∵t=12a-b2,∴t=12a-(a2+4a)=8a-a2=-(a-4)2+16,
∴a=4时,t的最大值为16.4 用因式分解法求解一元二次方程
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1方程(x-2)(x+3)=0的解是( )
A.x=2 B.x=-3
C.x1=2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
2(x-2)2=x-2的根是( )
A.x=2 B.x=1或x=3
C.x=3 D.x=2或x=3
3当x= 时,代数式(x+1)·(x-5)与(3x-1)(x+1)的值相等.
4用因式分解法解下列方程:
(1)4x2-121=0;
(2)2(x-3)2=x(x-3);
(3)x2+16=8x.
知识点2 因式分解法解一元二次方程的应用
5已知三角形两边长分别为4和8,第三边的长是一元二次方程x2-14x+40=0的根,则这个三角形的周长为( )
A.16 B.22 C.24 D.16或22
6定义:如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等,我们称这两个方程为“相似方程”,例如,(x-3)(x-6)=0的实数根是3或6,x2-3x+2=0的实数根是1或2,3∶6=1∶2,则一元二次方程(x-3)(x-6)=0与x2-3x+2=0为相似方程.下列各组方程不是相似方程的是( )
A.x2-16=0与x2=25
B.(x-6)2=0与x2+4x+4=0
C.x2-7x=0与x2+x-6=0
D.(x+2)(x+8)=0与x2-5x+4=0
7当x= 时,代数式x2-x-6与3x-2的值互为相反数.
8已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-11x+30=0的一个根,求三角形的面积.
练易错
易错点1 用因式分解法解一元二次方程时忽略等号右边应为0而致错
9解方程(x-1)(x-3)=8.
易错点2 应用因式分解法解一元二次方程出现丢根现象
10方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 .
11(2024·天津期中)一元二次方程x(x-3)=3-x的根是( )
A.-1 B.1和3
C.-1和3 D.3
12若菱形两条对角线的长度是方程x2-6x+8=0的两根,则该菱形的边长为( )
A. B.4 C.2 D.5
13已知x为实数,且满足(x2+x+1)2+2(x2+x+1)-3=0,那么x2+x+1的值为( )
A.1 B.-3
C.-3或1 D.-1或3
14一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根,则该三角形的周长为 .
15用适当的方法解方程:
(1)3x(x+5)=5(x+5);
(2)3x2=4x+1;
(3)5(x-4)2=25;
(4)2(x-3)2=x2-9.
16 如果一元二次方程的两根相差1,那么该方程称为“差1方程”.例如x2+x=0是“差1方程”.
(1)判断方程x2-7x+12=0是否为“差1方程”;
(2)已知关于x的方程x2+(2-m)x-2m=0(m是常数)是“差1方程”,求m的值;
(3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差1方程”,设t=12a-b2,求t的最大值.
