6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的应用(一)
知识点1 一元二次方程在解几何动点问题中的应用
1如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'等于(B)
A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm
2如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16 cm2时,运动时间为2 s.
3如图,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=8 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向B移动,一直到达B停止;点Q以2 cm/s的速度向D移动.当P,Q两点从出发开始到 2或 秒时,点P和点Q的距离是10 cm.
4如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点P从点A开始沿AB边向点B移动,速度为1 cm/s;点Q从点B开始沿BC边向点C移动,速度为2 cm/s,点P,Q分别从点A,B同时出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.
(1)几秒后,PQ的长度为5 cm
解:设t秒后,则AP=t cm,0≤t≤,
则BP=(5-t) cm,BQ=2t cm.
(1)PQ=5,则PQ2=25=BP2+BQ2,即25=(5-t)2+(2t)2,t=0(舍去)或2.
故2秒后,PQ的长度为5 cm;
(2)几秒后,△PBQ的面积为4 cm2
解: (2)S△PBQ=BP×BQ,即4=(5-t)2t,
解得:t=1或4(t=4秒不符合题意,舍去).
故1秒后,△PBQ的面积为4 cm2;
(3)△PBQ的面积能否为7 cm2 请说明理由.
解: (3)不能,理由如下:令S△PBQ=7,
即BP×BQ=7,(5-t)2t=7,整理得:t2-5t+7=0.
因为Δ=25-28=-3<0,则方程没有实数根.所以△PBQ的面积不能为7 cm2.
知识点2 列一元二次方程解决传播类(循环类)问题
5(2023·衢州中考)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可得到方程(C)
A.x+(1+x)=36
B.2(1+x)=36
C.1+x+x(1+x)=36
D.1+x+x2=36
6(2024·重庆质检)某校八年级举行班级篮球赛,每两个班只比赛一次.结束比赛后,发现共比赛了190场,则该年级共有 20 个班.
7一个小组有若干人,每个人在新年到来之际互送其他组员贺卡一张,已知全组共送贺卡42张,则这个小组共有 7 人.
练易错 对题目分析不彻底,出现丢解现象
8如图所示,在矩形ABCD中,AB=5 cm,AD=3 cm,G为边AB上一点,GB=1 cm,动点E,F同时从点D出发,点F沿射线DG-GB-BC运动到点C时停止,点E沿DC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1 cm/s,若E,F同时运动t s时,△DEF的面积为5 cm2,则t的值为 或7 .
9如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,AC=8 cm,点P从点A开始出发向点C以
2 cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1 cm/s的速度移动,若P,Q分别同时从A,B出发, 秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的.(A)
A.2 B.4.5 C.8 D.7
10如图所示,AC是一根垂直于地面的木杆,B是木杆上的一点,且AB=2 m,D是地面上一点,AD=3 m.在B处有甲、乙两只猴子,D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处,乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处,如果两猴所经过的距离相等,则木杆的长为(B)
A. m B.2 m C.3 m D.5 m
11(2024·揭阳期中)某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了28条航线,则这个航空公司共有飞机场 8 个.
12小明同学把自己的文章放到某平台上,并决定用转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将文章发表在平台上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,以此类推.已知经过两轮转发后,共有133个人参与了转发活动,则n的值为 11 .
13一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.
(1)如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米
解:(1)在Rt△AOB中,AB=10 m,AO=8 m,根据勾股定理得OB=6 m,
设梯子的底端滑动x米,根据题意列出方程(8-1)2+(6+x)2=102.
解得x1=-6,x2=--6(不符合题意,舍去).
答:梯子的底端滑动(-6)米.
(2)在这个问题中,梯子顶端下滑1米时,梯子底端滑动的距离大于1米,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢
解: (2)设梯子顶端下滑y米时,梯子底端滑动的距离和它相等.
(8-y)2+(6+y)2=102,
解得y1=2,y2=0(不符合题意,舍去).
答:梯子顶端下滑2米时,梯子底端滑动的距离和它相等.
14新趋势·推理能力、模型观念、运算能力
如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
解:(1)解方程x2-14x+48=0得x1=6,x2=8.
∵OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根,
∴OC=6,OA=8,∴C点坐标为(0,6);
(2)求直线MN的表达式;
解: (2)设直线MN的表达式是y=kx+b(k≠0).
由(1)知,OA=8,则A(8,0).
∵点A,C都在直线MN上,∴,解得,
∴直线MN的表达式为y=-x+6;
(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标.
解: (3)∵A(8,0),C(0,6),∴根据题意知B(8,6).
∵点P在直线MN:y=-x+6上,∴设P(a,-a+6),
当以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分类讨论:
①当PC=PB时,点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点,则P1(4,3);
②当PC=BC时,a2+(-a+6-6)2=64,解得a=±,则P2(-,),P3(,);
③当PB=BC时,(a-8)2+(-a+6-6)2=64,解得a=或0(舍去),则-a+6=-,
∴P4(,-).
综上所述,符合条件的点P有:P1(4,3),P2(-,),P3(,),P4(,-).第二章 6 第1课时 一元二次方程的应用(一)
知识点1 一元二次方程在解几何动点问题中的应用
1如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'等于( )
A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm
2如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16 cm2时,运动时间为 s.
3如图,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=8 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向B移动,一直到达B停止;点Q以2 cm/s的速度向D移动.当P,Q两点从出发开始到 秒时,点P和点Q的距离是10 cm.
4如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点P从点A开始沿AB边向点B移动,速度为1 cm/s;点Q从点B开始沿BC边向点C移动,速度为2 cm/s,点P,Q分别从点A,B同时出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.
(1)几秒后,PQ的长度为5 cm
(2)几秒后,△PBQ的面积为4 cm2
(3)△PBQ的面积能否为7 cm2 请说明理由.
知识点2 列一元二次方程解决传播类(循环类)问题
5(2023·衢州中考)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可得到方程( )
A.x+(1+x)=36
B.2(1+x)=36
C.1+x+x(1+x)=36
D.1+x+x2=36
6(2024·重庆质检)某校八年级举行班级篮球赛,每两个班只比赛一次.结束比赛后,发现共比赛了190场,则该年级共有 个班.
7一个小组有若干人,每个人在新年到来之际互送其他组员贺卡一张,已知全组共送贺卡42张,则这个小组共有 人.
练易错 对题目分析不彻底,出现丢解现象
8如图所示,在矩形ABCD中,AB=5 cm,AD=3 cm,G为边AB上一点,GB=1 cm,动点E,F同时从点D出发,点F沿射线DG-GB-BC运动到点C时停止,点E沿DC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1 cm/s,若E,F同时运动t s时,△DEF的面积为5 cm2,则t的值为 .
9如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,AC=8 cm,点P从点A开始出发向点C以
2 cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1 cm/s的速度移动,若P,Q分别同时从A,B出发, 秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的.( )
A.2 B.4.5 C.8 D.7
10如图所示,AC是一根垂直于地面的木杆,B是木杆上的一点,且AB=2 m,D是地面上一点,AD=3 m.在B处有甲、乙两只猴子,D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处,乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处,如果两猴所经过的距离相等,则木杆的长为( )
A. m B.2 m C.3 m D.5 m
11(2024·揭阳期中)某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了28条航线,则这个航空公司共有飞机场 个.
12小明同学把自己的文章放到某平台上,并决定用转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将文章发表在平台上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,以此类推.已知经过两轮转发后,共有133个人参与了转发活动,则n的值为 .
13一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.
(1)如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米
(2)在这个问题中,梯子顶端下滑1米时,梯子底端滑动的距离大于1米,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢
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如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
(2)求直线MN的表达式;
(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标.
