第二章 一元二次方程
一、选择题
1已知方程(a-1)x2+(b+3)x+c=0是关于x的一元二次方程,则(B)
A.a≠0
B.a≠1
C.a≠1且b≠-3
D.a≠1且b≠-3且c≠0
2方程x2+4x+3=0的两个根为(D)
A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3
C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3
3一元二次方程x2+4x-8=0的解是(D)
A.x1=2+2,x2=2-2
B.x1=2+2,x2=2-2
C.x1=-2+2,x2=-2-2
D.x1=-2+2,x2=-2-2
4(2023·广元中考)关于x的一元二次方程2x2-3x+=0根的情况,下列说法中正确的是(C)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
5已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是(D)
A.m<2 B.m≤2
C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1
6李师傅家的超市今年1月的盈利为3 000元,3月的盈利为3 630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是(B)
A.10.5% B.10% C.20% D.21%
二、填空题
7已知关于x的一元二次方程(a-3)x2-2x+a2-9=0的常数项是0,则a= -3 .
8(2024·珠海质检)如果关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0的一个解是x=1,则
2 024- (a+b) = 2 023 .
9已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为 1 .
三、解答题
10解方程:(1)(2023·齐齐哈尔中考)x2-3x+2=0;
解:(1)∵x2-3x+2=0,
∴(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0或x-2=0,
∴x1=1,x2=2.
(2)(2023·无锡中考)2x2+x-2=0.
解: (2)2x2+x-2=0,∵a=2,b=1,c=-2,
∴b2-4ac=12-4×2×(-2)=17,
∴x==,
∴x1=,x2=.
11定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,那么我们称这个方程为“完美方程”.
(1)下面方程是“完美方程”的是 .(填序号)
①x2+3x-4=0;
②2x2-x-3=0;
③3x2+x-2=0.
解:(1)①x2+3x-4=0,3≠1+(-4),不是“完美方程”;
②2x2-x-3=0,-1=2+(-3),是“完美方程”;
③3x2+x-2=0,1=3+(-2),是“完美方程”.
答案:②③
(2)已知3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”,若n是此“完美方程”的一个根,求n的值.
解: (2)∵3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”,∴m=3+n,
∵n是此“完美方程”的一个根,
∴3n2+(3+n)n+n=0,
即4n2+4n=0,解得n=0或-1.
12(2024·深圳期末)已知: ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+2m=0的两个实数根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形
解:(1)当AB=AD时, ABCD是菱形,
即AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+2m=0的两个相等的实数根,
∴Δ=(-m)2-4×2m=0,
解得m1=0,m2=8,
∵AB+AD=m>0,AB·AD=2m>0,
∴m的值为8;
(2)若AB的长为3,求 ABCD的周长.
解: (2)∵AB=3,∴3+AD=m,3AD=2m,
∴3+AD=AD,
解得AD=6,∴ ABCD的周长=2×(3+6)=18.
13三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一,昭示了长江流域与黄河流域一样,同属中华文明的母体,被誉为“长江文明之源”.为更好地传承和宣传三星堆文化,三星堆文创馆一次次打破了自身限定,让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A,B两个系列,A系列产品比B系列产品的售价低5元,100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现:B系列产品按定价销售,每天可以卖50件,若B系列产品每降1元,则每天可以多卖10件.
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少
解:(1)设A系列产品的售价是x元/件(x>0),
则B系列产品的售价是(x+5)元/件,
根据题意得=,解得x=10,
经检验,x=10是所列方程的解,且符合题意,
∴x+5=10+5=15(元).
答:A系列产品的售价是10元/件,B系列产品的售价是15元/件.
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元,而且尽可能让顾客得到实惠,B系列产品的实际售价应定为每件多少元
解: (2)设B系列产品的实际售价应定为y元/件,
则每天可以卖50+10(15-y)=(200-10y)件,
根据题意得y(200-10y)=960,
整理得y2-20y+96=0,
解得y1=8,y2=12,
又∵要尽可能让顾客得到实惠,∴y=8.
答:B系列产品的实际售价应定为8元/件.第二章 一元二次方程
一、选择题
1已知方程(a-1)x2+(b+3)x+c=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.a≠0
B.a≠1
C.a≠1且b≠-3
D.a≠1且b≠-3且c≠0
2方程x2+4x+3=0的两个根为( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3
C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3
3一元二次方程x2+4x-8=0的解是( )
A.x1=2+2,x2=2-2
B.x1=2+2,x2=2-2
C.x1=-2+2,x2=-2-2
D.x1=-2+2,x2=-2-2
4(2023·广元中考)关于x的一元二次方程2x2-3x+=0根的情况,下列说法中正确的是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
5已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m<2 B.m≤2
C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1
6李师傅家的超市今年1月的盈利为3 000元,3月的盈利为3 630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是( )
A.10.5% B.10% C.20% D.21%
二、填空题
7已知关于x的一元二次方程(a-3)x2-2x+a2-9=0的常数项是0,则a= .
8(2024·珠海质检)如果关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0的一个解是x=1,则
2 024- (a+b) = .
9已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为 .
三、解答题
10解方程:(1)(2023·齐齐哈尔中考)x2-3x+2=0;
(2)(2023·无锡中考)2x2+x-2=0.
11定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,那么我们称这个方程为“完美方程”.
(1)下面方程是“完美方程”的是 .(填序号)
①x2+3x-4=0;
②2x2-x-3=0;
③3x2+x-2=0.
(2)已知3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”,若n是此“完美方程”的一个根,求n的值.
12(2024·深圳期末)已知: ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+2m=0的两个实数根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形
(2)若AB的长为3,求 ABCD的周长.
13三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一,昭示了长江流域与黄河流域一样,同属中华文明的母体,被誉为“长江文明之源”.为更好地传承和宣传三星堆文化,三星堆文创馆一次次打破了自身限定,让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A,B两个系列,A系列产品比B系列产品的售价低5元,100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现:B系列产品按定价销售,每天可以卖50件,若B系列产品每降1元,则每天可以多卖10件.
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元,而且尽可能让顾客得到实惠,B系列产品的实际售价应定为每件多少元
