*5 相似三角形判定定理的证明
知识点 相似三角形的判定定理
1在△ABC与△A'B'C'中,∠B=∠B'=90°,∠A=30°,则以下条件,不能说明△ABC与△A'B'C'相似的是 (B)
A.∠A'=30° B.∠C=60°
C.∠C'=60° D.∠A'=2∠C'
2如图,∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,以下结论成立的是 (C)
A.△OAB∽△OCA B.△OAB∽△ODA
C.△BAC∽△BDA D.以上结论都不对
3如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=2,BD=8,那么AB= 8 .
4如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,连接AE,过顶点D作DF⊥AE,垂足为F,求证:△ABE∽△DFA.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠DAE=∠AEB,
又∵∠B=∠DFA=90°,∴△ABE∽△DFA.
5如图,在正方形ABCD中,点E在AD上,EF⊥BE交CD于点F.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=90°,∴∠AEB+∠ABE=90°.
∵EF⊥BE,∴∠AEB+∠DEF=90°,
∴∠ABE=∠DEF.
在△ABE和△DEF中,∠ABE=∠DEF,∠A=∠D,∴△ABE∽△DEF;
(2)连接BF,若△ABE∽△EBF,试确定点E的位置并说明理由.
解: (2)∵△ABE∽△DEF,∴=.
∵△ABE∽△EBF,∴=,
∴=,∴DE=AE,∴点E为AD的中点.
练易错 三角形的对应关系不明确导致漏解
6在△ABC中,BC=10 cm,AC=6 cm,点P从点B出发,沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA方向以1 cm/s的速度向点A移动,若P,Q同时出发,设运动时间为t s,则△CPQ能否与△CBA相似 若能,求t的值;若不能,请说明理由.
解:设运动时间为t s,则BP=2t cm,CP=(10-2t)cm,CQ=t cm,
∵∠PCQ=∠ACB=90°,
∴当△CPQ和△CAB相似时,∠CPQ=∠B或∠CPQ=∠A,
当∠CPQ=∠B时,=,∴=,解得t=.
当∠CPQ=∠A时,=,∴=,解得t=.
综上所述,t的值为或.
7如图,在5×6的方格纸中,画有格点△EFG,下列选项中的格点,与E,G两点构成的三角形中和△EFG相似的是 (D)
A.点A B.点B C.点C D.点D
8如图,八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格,小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形,其中会相似的三角形是 (D)
A.①和② B.②和③
C.①和③ D.①和④
9如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=16,点D,E分别在BC,AC边上,且∠ADE=∠B,若△ADE是以DE为腰的等腰三角形,则BD的长为 4或7 .
10如图,B,C,D在同一直线上,△ABC和△DCE都是等边三角形,且在直线BD的同侧,BE交AD于F,BE交AC于M,AD交CE于N.
(1)求证:AD=BE;
证明:(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE,
即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中,,
∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD;
(2)求证:△ABF∽△ADB.
证明: (2)由(1)知:△BCE≌△ACD,
∴∠CBE=∠CAD,
又∵∠BMC=∠AMF,
∴∠AFB=∠ACB=60°=∠ABD,
又∵∠BAF=∠DAB,∴△ABF∽△ADB.
11新趋势·几何直观、推理能力如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:
(1)AE=AF;
证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵CF=BE,∴CE=BF,
在△ACE和△ABF中,,
∴△ACE≌△ABF(SAS),∴AE=AF;
(2)△CAF∽△BFQ.
证明: (2)∵AE2=AQ·AB,由(1)知AE=AF,
∴AF2=AQ·AB,∴=,
∵∠FAQ=∠BAF,∴△AFQ∽△ABF,
∴∠AQF=∠AFB,∴∠BQF=∠AFE,
∵∠B=∠C,∴△CAF∽△BFQ.*5 相似三角形判定定理的证明
知识点 相似三角形的判定定理
1在△ABC与△A'B'C'中,∠B=∠B'=90°,∠A=30°,则以下条件,不能说明△ABC与△A'B'C'相似的是 ( )
A.∠A'=30° B.∠C=60°
C.∠C'=60° D.∠A'=2∠C'
2如图,∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,以下结论成立的是 ( )
A.△OAB∽△OCA B.△OAB∽△ODA
C.△BAC∽△BDA D.以上结论都不对
3如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=2,BD=8,那么AB= .
4如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,连接AE,过顶点D作DF⊥AE,垂足为F,求证:△ABE∽△DFA.
5如图,在正方形ABCD中,点E在AD上,EF⊥BE交CD于点F.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)连接BF,若△ABE∽△EBF,试确定点E的位置并说明理由.
练易错 三角形的对应关系不明确导致漏解
6在△ABC中,BC=10 cm,AC=6 cm,点P从点B出发,沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA方向以1 cm/s的速度向点A移动,若P,Q同时出发,设运动时间为t s,则△CPQ能否与△CBA相似 若能,求t的值;若不能,请说明理由.
7如图,在5×6的方格纸中,画有格点△EFG,下列选项中的格点,与E,G两点构成的三角形中和△EFG相似的是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
8如图,八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格,小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形,其中会相似的三角形是 ( )
A.①和② B.②和③
C.①和③ D.①和④
9如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=16,点D,E分别在BC,AC边上,且∠ADE=∠B,若△ADE是以DE为腰的等腰三角形,则BD的长为 .
10如图,B,C,D在同一直线上,△ABC和△DCE都是等边三角形,且在直线BD的同侧,BE交AD于F,BE交AC于M,AD交CE于N.
(1)求证:AD=BE;
(2)求证:△ABF∽△ADB.
11新趋势·几何直观、推理能力如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:
(1)AE=AF;
(2)△CAF∽△BFQ.
