2 平行线分线段成比例
知识点1 平行线分线段成比例
1如图,AB∥CD∥EF,AD∶DF=3∶1,BE=12,那么CE的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2[教材再开发·P84习题4.3T1(2)变式]如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G.若AG=2,GD=1,DF=5,BC=4,则BE的长为( )
A. B. C.12 D.20
3(2024·上海质检)如图,AD∥BE∥CF,=,DE=5,则DF的长为 .
4(2024·太原质检)如图,a∥b∥c,直线m,n交于点O,且分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点D,E,F,已知OA=1,OB=2,BC=4,EF=5.
(1)直接写出OE的长度为;
(2)求DE的长度.
知识点2 平行线分线段成比例的推论
5(2022·哈尔滨中考)如图,AB∥CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为 ( )
A. B.4 C. D.6
6如图,在△ABC中,DE∥BC,G为BC上一点,连接AG交DE于F,
已知AD=3,AB=8,FG=4,则AG= .
7如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且DE∥BC.
(1)若AD=5,DB=6,EC=12,求AE的长;
(2)若AB=10,AD=4,AE=6,求EC的长.
练易错 图形的不唯一导致漏解
8在△ABC中,AB=6,AC=9,点P是直线AB上一点,且AP=2,过点P作BC边的平行线,交直线AC于点M,则MC的长为 .
9如图,点F是平行四边形ABCD的边CD上一点,射线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( )
A.= B.=
C.= D.=
10如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,EF∥CD交AB于点F,那么下列比例式中正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
11跨学科·音乐如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是 ( )
A. B.1 C. D.2
12如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为 .
13如图,在△ABC中,点D在AC边上,AD∶DC=1∶2,点E是BD的中点,连接AE并延长交BC于点F,BC=12,则BF= .
14如图,AD与BC相交于点E,点F在BD上,且AB∥EF∥CD,若EF=2,CD=3,则AB的长为多少
15新趋势·模型观念、推理能力
【问题原型】如图①,在矩形ABCD中,点E为边AB的中点,过E作EF∥AD交边DC于点F,点P,Q分别在矩形的边AD,BC上,连接PQ交EF于点M.求证:PM=QM.
【结论应用】如图②,在【问题原型】的基础上,点R在边BC上(不与点Q重合),连接PR交EF于点N.
(1)若MN=4,则线段QR的长为 ;
(2)当点Q与点B重合,点R与点C重合时,如图③,若BC=10,且△PMN周长的最小值为12,则边AB的长为 . 2 平行线分线段成比例
知识点1 平行线分线段成比例
1如图,AB∥CD∥EF,AD∶DF=3∶1,BE=12,那么CE的长为 (A)
A.3 B.4 C.5 D.6
2[教材再开发·P84习题4.3T1(2)变式]如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G.若AG=2,GD=1,DF=5,BC=4,则BE的长为(B)
A. B. C.12 D.20
3(2024·上海质检)如图,AD∥BE∥CF,=,DE=5,则DF的长为 15 .
4(2024·太原质检)如图,a∥b∥c,直线m,n交于点O,且分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点D,E,F,已知OA=1,OB=2,BC=4,EF=5.
(1)直接写出OE的长度为;
解:(1)∵b∥c,
∴=,即=,
解得OE=,即OE的长度为;
(2)求DE的长度.
解: (2)∵a∥b∥c,∴=,即=,
解得DE=,即DE的长度为.
知识点2 平行线分线段成比例的推论
5(2022·哈尔滨中考)如图,AB∥CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为 (C)
A. B.4 C. D.6
6如图,在△ABC中,DE∥BC,G为BC上一点,连接AG交DE于F,
已知AD=3,AB=8,FG=4,则AG= .
7如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且DE∥BC.
(1)若AD=5,DB=6,EC=12,求AE的长;
解:(1)∵DE∥BC,
∴=,即=,
解得AE=10;
(2)若AB=10,AD=4,AE=6,求EC的长.
解: (2)∵DE∥BC,∴=,即=,
解得AC=15,∴EC=AC-AE=9.
练易错 图形的不唯一导致漏解
8在△ABC中,AB=6,AC=9,点P是直线AB上一点,且AP=2,过点P作BC边的平行线,交直线AC于点M,则MC的长为 6或12 .
9如图,点F是平行四边形ABCD的边CD上一点,射线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是(D)
A.= B.=
C.= D.=
10如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,EF∥CD交AB于点F,那么下列比例式中正确的是 (C)
A.= B.=
C.= D.=
11跨学科·音乐如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是 (C)
A. B.1 C. D.2
12如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为 1 .
13如图,在△ABC中,点D在AC边上,AD∶DC=1∶2,点E是BD的中点,连接AE并延长交BC于点F,BC=12,则BF= 3 .
14如图,AD与BC相交于点E,点F在BD上,且AB∥EF∥CD,若EF=2,CD=3,则AB的长为多少
解:∵EF∥CD,∴=.
∵EF=2,CD=3,∴=.
∵AB∥EF,
∴==,∴AB=6.
15新趋势·模型观念、推理能力
【问题原型】如图①,在矩形ABCD中,点E为边AB的中点,过E作EF∥AD交边DC于点F,点P,Q分别在矩形的边AD,BC上,连接PQ交EF于点M.求证:PM=QM.
【结论应用】如图②,在【问题原型】的基础上,点R在边BC上(不与点Q重合),连接PR交EF于点N.
(1)若MN=4,则线段QR的长为 8 ;
解:【问题原型】∵点E为边AB的中点,
∴AE=BE,
在矩形ABCD中,AD∥BC,
∵EF∥AD,∴AD∥EF∥BC,
∴==1,∴PM=QM.
【结论应用】(1)根据题意可得AD∥EF∥BC,
∴==1,==1,
∴QR=2MN=8.
答案:8
(2)当点Q与点B重合,点R与点C重合时,如图③,若BC=10,且△PMN周长的最小值为12,则边AB的长为 2 .
解: (2)如图所示,
作点C关于AD的对称点G,连接PG,BG,DG,
∴PB+PC=PB+PG≥BG,
当P在BG上时,PB+PC取得最小值.
又∵PD∥BC,D是CG的中点,
∴PD是△GBC的中位线,
∴P是AD的中点,则PB=PG=PC,
即当P点是AD中点时,三角形PBC的周长取得最小值.
根据(1)的结论得出MN是△PQR的中位线,BC=10,且△PMN周长的最小值为12,
∴△PBC的周长为24,
∴PA=PD=AD=BC=5,PB+PC=24-10=14,
∴PB=7,∴AB===2.
答案:2
