3 相似多边形
知识点1 相似多边形的概念
1两个多边形相似的条件是 (D)
A.对应角相等
B.对应边成比例
C.对应角相等或对应边成比例
D.对应角相等且对应边成比例
2(2024·温州质检)已知矩形的长与宽分别为4和3,下列矩形与它相似的是 (C)
3下列两个图形一定相似的是 (C)
A.两个菱形 B.两个矩形
C.两个正方形 D.两个等腰梯形
4如图,平行于正多边形一边的直线,将正多边形分割成两部分,则阴影部分多边形与原多边形相似的是 (A)
知识点2 相似多边形的性质
5一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为 (B)
A.6 B.8 C.10 D.12
6如图,在正方形网格上有两个相似三角形,△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为 135° .
7四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形,点A,B,C,D分别与A',B',C',D'对应,已知BC=3,CD=2.4,B'C'=2,那么C'D'的长是 1.6 .
8已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应.
(1)已知∠A=40°,∠B=110°,∠C1=90°,求∠D的度数;
解:(1)∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,
∴∠C=∠C1=90°,
∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-40°-110°-90°=120°.
(2)已知AB=9,CD=15,A1B1=6,A1D1=4,B1C1=8,求四边形ABCD的周长.
解: (2)∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,
∴==,∴==,
∴BC=12,AD=6,
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=9+12+15+6=42.
9下列四组图形,必是相似三角形的为 (B)
A.两个直角三角形
B.有一个角为110°的两个等腰三角形
C.有一个角为55°的两个等腰三角形
D.两条边对应成比例,其中一边的对角对应相等的两个三角形
10如图所示是E,F,G,H,I,J六点在菱形ABCD四边上的位置图,其中EF,GI,HJ将菱形分成甲、乙、丙、丁、戊、己六个平行四边形.若AG∶GH∶HD=5∶10∶9,AE∶EB=3∶5,则图形 与菱形ABCD相似 (B)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11如图,一个矩形广场的长为90 m,宽为60 m,广场内有两横,两纵四条小路,且小路内外边缘所围成的两个矩形相似,如果两条横向小路的宽均为1.2 m,那么两条纵向小路的宽均为 1.8 m.
12复印纸的型号有A0,A1,A2,A3,A4等,它们之间存在着这样一种关系:将其中某一型号(如A3)的复印纸沿较长边的中点对折,就能得到两张下一型号(A4)的复印纸,且得到的两个矩形都和原来的矩形相似,那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ∶1 .
13如图,在矩形ABCD中,截去一个正方形ABFE后,使剩下的矩形对折后与原矩形相似,那么原矩形中AD∶AB= 或2 .
14新趋势·推理能力、创新意识如图,点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是∶2,连接EB,GD.
(1)求证:EB=GD;
解:(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD,
∴∠EAG=∠BAD,
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,
∴∠EAB=∠GAD.
∵AE=AG,AB=AD,
∴△AEB≌△AGD(SAS),∴EB=GD.
(2)若∠DAB=60°,AB=2,求GD的长.
解: (2)连接BD交AC于点P,则BP⊥AC,
∵∠DAB=60°,∴∠PAB=30°.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是∶2,AB=2,
∴AE=,BP=AB=1,
∴AP==,∴EP=2,
∴EB===,
∴GD=.3 相似多边形
知识点1 相似多边形的概念
1两个多边形相似的条件是 ( )
A.对应角相等
B.对应边成比例
C.对应角相等或对应边成比例
D.对应角相等且对应边成比例
2(2024·温州质检)已知矩形的长与宽分别为4和3,下列矩形与它相似的是 ( )
3下列两个图形一定相似的是 ( )
A.两个菱形 B.两个矩形
C.两个正方形 D.两个等腰梯形
4如图,平行于正多边形一边的直线,将正多边形分割成两部分,则阴影部分多边形与原多边形相似的是 ( )
知识点2 相似多边形的性质
5一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6如图,在正方形网格上有两个相似三角形,△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为 .
7四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形,点A,B,C,D分别与A',B',C',D'对应,已知BC=3,CD=2.4,B'C'=2,那么C'D'的长是 .
8已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应.
(1)已知∠A=40°,∠B=110°,∠C1=90°,求∠D的度数;
(2)已知AB=9,CD=15,A1B1=6,A1D1=4,B1C1=8,求四边形ABCD的周长.
9下列四组图形,必是相似三角形的为 ( )
A.两个直角三角形
B.有一个角为110°的两个等腰三角形
C.有一个角为55°的两个等腰三角形
D.两条边对应成比例,其中一边的对角对应相等的两个三角形
10如图所示是E,F,G,H,I,J六点在菱形ABCD四边上的位置图,其中EF,GI,HJ将菱形分成甲、乙、丙、丁、戊、己六个平行四边形.若AG∶GH∶HD=5∶10∶9,AE∶EB=3∶5,则图形 与菱形ABCD相似 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11如图,一个矩形广场的长为90 m,宽为60 m,广场内有两横,两纵四条小路,且小路内外边缘所围成的两个矩形相似,如果两条横向小路的宽均为1.2 m,那么两条纵向小路的宽均为 m.
12复印纸的型号有A0,A1,A2,A3,A4等,它们之间存在着这样一种关系:将其中某一型号(如A3)的复印纸沿较长边的中点对折,就能得到两张下一型号(A4)的复印纸,且得到的两个矩形都和原来的矩形相似,那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 .
13如图,在矩形ABCD中,截去一个正方形ABFE后,使剩下的矩形对折后与原矩形相似,那么原矩形中AD∶AB= .
14新趋势·推理能力、创新意识如图,点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是∶2,连接EB,GD.
(1)求证:EB=GD;
(2)若∠DAB=60°,AB=2,求GD的长.
