第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
知识点1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1如图所示的4个三角形中,相似三角形有(A)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是 (B)
3如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,点E是线段AC上的动点,BC=4,AB=8,当△ABC和△AED相似时,AE的长为 2或 .
4 (2024·东莞质检)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AB=2AD,AC=2AE.求证:△ADE∽△ABC.
证明:∵AB=2AD,AC=2AE,∴==2.
∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.
知识点2 相似三角形判定定理的简单应用
5(2024·青岛期中)如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,0),(5,0),(3,2),(4,1),如果以点C,D,E为顶点的直角三角形与△ABC相似,则E点的坐标可能是下列的 (D)
①(2,1) ②(3,1) ③(4,2) ④(5,2)
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①②③④
6如图,不等长的两条对角线AC,BD相交于点O,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若=,则甲、乙、丙、丁这四个三角形中,一定相似的有 乙和丁 .
练易错 相似三角形的边不确定时,忽略分类讨论导致出错
7如图,在△ABC中,AB=6,BC=12,点P是AB边的中点,点Q是BC边上一个动点,当BQ= 或6 时,△BPQ与△BAC相似.
8如图,△ABC中,∠A=76°,AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (C)
9如图,锐角△ABC,P是AB边上异于A,B的一点,过点P作直线截△ABC,所截得的三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线共有 (D)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
10如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,F为BC边上一点,添加一个条件: DF∥AC或∠BFD=∠A或∠BFD=∠ADE ,可以使得△FDB与△ADE相似(写出一种答案即可).
11在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 (-1,0)或(1,0) 时,使得△BOC∽△AOB(O为坐标原点).
12如图,在△ABC中,已知AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上,且AB2=BD·CE,求证:△ABD∽△ECA.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB2=BD·CE,
∴=,即=,
∴△ABD∽△ECA.
13新趋势·推理能力、模型观念如图,已知三个边长均为1的正方形拼成一个矩形ABCD.
(1)判断△AEF与哪一个三角形相似,并予以证明;
解:(1)△AEF∽△CEA.
证明:在Rt△ABE中,AE==,∠AEB=45°,
∴AE∶CE=∶2.
∵EF∶AE=1∶=∶2,∴=.
又∵∠AEF=∠CEA,∴△AEF∽△CEA.
(2)在BC的延长线上依次截取长度等于CD的线段,
即截得CC1=C1C2=C2C3=…=CD,如果得到△AFCx∽△CFA,求x的值.
解: (2)在Rt△ABF中,AF==,
∴CF∶AF=1∶,
当FCx∶AF=AF∶CF时,
由∠AFC=∠CxFA,可得△AFCx∽△CFA,
即FCx∶=∶1,∴FCx=5.
∵CC1=C1C2=C2C3=…=CD=FC,
∴FC4=5,∴x=4.第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
知识点1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1如图所示的4个三角形中,相似三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是 ( )
3如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,点E是线段AC上的动点,BC=4,AB=8,当△ABC和△AED相似时,AE的长为 .
4 (2024·东莞质检)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AB=2AD,AC=2AE.求证:△ADE∽△ABC.
知识点2 相似三角形判定定理的简单应用
5(2024·青岛期中)如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,0),(5,0),(3,2),(4,1),如果以点C,D,E为顶点的直角三角形与△ABC相似,则E点的坐标可能是下列的 ( )
①(2,1) ②(3,1) ③(4,2) ④(5,2)
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①②③④
6如图,不等长的两条对角线AC,BD相交于点O,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若=,则甲、乙、丙、丁这四个三角形中,一定相似的有 .
练易错 相似三角形的边不确定时,忽略分类讨论导致出错
7如图,在△ABC中,AB=6,BC=12,点P是AB边的中点,点Q是BC边上一个动点,当BQ= 时,△BPQ与△BAC相似.
8如图,△ABC中,∠A=76°,AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
9如图,锐角△ABC,P是AB边上异于A,B的一点,过点P作直线截△ABC,所截得的三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
10如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似(写出一种答案即可).
11在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 时,使得△BOC∽△AOB(O为坐标原点).
12如图,在△ABC中,已知AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上,且AB2=BD·CE,求证:△ABD∽△ECA.
13新趋势·推理能力、模型观念如图,已知三个边长均为1的正方形拼成一个矩形ABCD.
(1)判断△AEF与哪一个三角形相似,并予以证明;
(2)在BC的延长线上依次截取长度等于CD的线段,
即截得CC1=C1C2=C2C3=…=CD,如果得到△AFCx∽△CFA,求x的值.
