6 利用相似三角形测高
知识点1 利用阳光下的影子测量高度
1高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米,此时测得附近一个建筑物的影长24米,则该建筑物的高为 ( )
A.10米 B.16米 C.26米 D.36米
2如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗框AB在地面上的影长DE=1.8 m,窗户下檐到地面的距离BC=1 m,EC=1.2 m,那么窗户的高AB为 m.
知识点2 利用标杆测量高度
3《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何 意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为 ( )
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
4(2023·江西中考)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40 cm,BD=20 cm,AQ=12 m,则树高PQ= m.
知识点3 利用镜子的反射测量高度
5如图,小明为了测量大楼MN的高度,在离N点30米处的A点放了一个平面镜,小明沿NA方向后退1.5米到C点,此时从镜子中恰好看到楼顶的M点,已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米,则大楼MN的高是 ( )
A.32米 B.米 C.36米 D.米
6“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度,因大树底部有障碍物,无法直接测量到大树底部的距离.聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案:测量者站在点F处,将镜子放在点M处时,刚好看到大树的顶端,沿大树方向向前走2.8米,到达点D处,将镜子放在点N处时,刚好看到大树的顶端(点F,M,D,N,B在同一条直线上).若测得FM=1.5米,DN=1.1米,测量者眼睛到地面的距离为1.6米,求大树AB的高.
7如图是用卡钳测量容器内径的示意图,现量得卡钳上A,D两个端点之间的距离为10 cm,==,则容器的内径是 ( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
8如图,A,B两点被池塘隔开,为测量A,B两点间的距离,在池塘边任选一点C,连接AC,BC,并延长AC到D,使CD=AC,延长BC到E,使CE=BC,连接DE,如果测量DE=20 m,则AB的长度为 .
9某动物园利用杠杆原理称象:如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k( ).若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 ( )(用含n,k的代数式表示).
10阅读理解:
小王同学在学校学了相似三角形的应用.他想测量学校旗杆的高度,利用手中1米高的竹竿和皮尺,进行如下测量和求解.
测量过程:1.在太阳光照射下,竖立竹竿AB,测得影子BC长为1.5米.
2.同一时刻下,测得旗杆DE的影子EF长为9米.
求解过程:
如图,∵太阳光线是平行光线,
∴∠C=∠F,
又∵① ,
∴△ABC∽△DEF,
∴=,
∴DE=② .
答:学校旗杆的高度为****米.
隔天,小明同学也想测量旗杆的高度,但是他发现因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上.他现在手里仅有一根1米高的竹竿和皮尺,进行了如下测量:
①竖立竹竿PQ,测量影子QR长度为a米.
②同一时刻,测得旗杆AB在地面上的影子长度BD=b米,在墙上的影子CD=c米.
(1)请补全上述材料中①②的内容.
①;②.
(2)请你利用相似三角形的判定和性质,帮小明求出旗杆的高度.写出求解过程.(答案用a,b,c表示)6 利用相似三角形测高
知识点1 利用阳光下的影子测量高度
1高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米,此时测得附近一个建筑物的影长24米,则该建筑物的高为 (B)
A.10米 B.16米 C.26米 D.36米
2如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗框AB在地面上的影长DE=1.8 m,窗户下檐到地面的距离BC=1 m,EC=1.2 m,那么窗户的高AB为 1.5 m.
知识点2 利用标杆测量高度
3《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何 意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为 (B)
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
4(2023·江西中考)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40 cm,BD=20 cm,AQ=12 m,则树高PQ= 6 m.
知识点3 利用镜子的反射测量高度
5如图,小明为了测量大楼MN的高度,在离N点30米处的A点放了一个平面镜,小明沿NA方向后退1.5米到C点,此时从镜子中恰好看到楼顶的M点,已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米,则大楼MN的高是 (A)
A.32米 B.米 C.36米 D.米
6“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度,因大树底部有障碍物,无法直接测量到大树底部的距离.聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案:测量者站在点F处,将镜子放在点M处时,刚好看到大树的顶端,沿大树方向向前走2.8米,到达点D处,将镜子放在点N处时,刚好看到大树的顶端(点F,M,D,N,B在同一条直线上).若测得FM=1.5米,DN=1.1米,测量者眼睛到地面的距离为1.6米,求大树AB的高.
解:设NB的长为x米,则MB=x+1.1+2.8-1.5=(x+2.4)米.
由题意,得∠CND=∠ANB,∠CDN=∠ABN=90°,
∴△CND∽△ANB,∴=.
同理,△EMF∽△AMB,∴=.
∵EF=CD,∴=,
即=.解得x=6.6,
∵=,∴=,
∴AB=9.6米.
答:大树AB的高为9.6米.
7如图是用卡钳测量容器内径的示意图,现量得卡钳上A,D两个端点之间的距离为10 cm,==,则容器的内径是 (C)
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
8如图,A,B两点被池塘隔开,为测量A,B两点间的距离,在池塘边任选一点C,连接AC,BC,并延长AC到D,使CD=AC,延长BC到E,使CE=BC,连接DE,如果测量DE=20 m,则AB的长度为 40 m .
9某动物园利用杠杆原理称象:如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k(N).若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 (N)(用含n,k的代数式表示).
10阅读理解:
小王同学在学校学了相似三角形的应用.他想测量学校旗杆的高度,利用手中1米高的竹竿和皮尺,进行如下测量和求解.
测量过程:1.在太阳光照射下,竖立竹竿AB,测得影子BC长为1.5米.
2.同一时刻下,测得旗杆DE的影子EF长为9米.
求解过程:
如图,∵太阳光线是平行光线,
∴∠C=∠F,
又∵① ,
∴△ABC∽△DEF,
∴=,
∴DE=② .
答:学校旗杆的高度为****米.
隔天,小明同学也想测量旗杆的高度,但是他发现因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上.他现在手里仅有一根1米高的竹竿和皮尺,进行了如下测量:
①竖立竹竿PQ,测量影子QR长度为a米.
②同一时刻,测得旗杆AB在地面上的影子长度BD=b米,在墙上的影子CD=c米.
(1)请补全上述材料中①②的内容.
①∠ABC=∠DEF=90°;②6米.
解:(1)如题图,∵太阳光线是平行光线,
∴∠C=∠F,
又∵∠ABC=∠DEF=90°,
∴△ABC∽△DEF,
∴=,即=,∴DE=6米;
答:学校旗杆的高度为6米.
(2)请你利用相似三角形的判定和性质,帮小明求出旗杆的高度.写出求解过程.(答案用a,b,c表示)
解: (2)如图,过点C作CE⊥AB于E,连接AC.
则四边形CDBE是矩形,
∴EC=BD=b米,BE=CD=c米;
∵太阳光线是平行光线,∴∠ACE=∠R,
∵∠AEC=∠PQR=90°,
∴△PQR∽△AEC,
∴=,即=,∴AE=米;
∴AB=AE+BE=+c=米.
答:旗杆的高度为米.
