第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
知识点1 平面直角坐标系中的位似变换
1如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(4,4),D(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段CD缩小为原来的一半后得到线段AB,则端点A的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(3,3) C.(3,1) D.(4,1)
2如图,若△ABC与△A'B'C'是位似图形,则位似中心的坐标为( )
A.(1,-1) B.(1,1)
C.(2,0) D.(0,-1)
知识点2 以原点为位似中心的坐标变化规律
3如图,线段AB的两个端点坐标分别为A(3,3),B(3,1),以原点O为位似中心,将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为 ( )
A. (1,) B. (,1) C. (,) D.(1,1)
4如图,在平面直角坐标系中,△AOB与△A'OB'是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为3∶2,点B的坐标为(3,-2),则点B'的坐标是 .
知识点3 以其他点为位似中心的坐标变化规律
5(2024·沈阳质检)如图所示,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),C(-2,1),以A为位似中心,把△ABC在点A同侧按相似比1∶2放大,放大后的图形记作△AB'C',则C'的坐标为 ( )
A.(-6,2) B.(-5,2)
C.(-4,2) D.(-3,2)
6如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C在x轴上,以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点A的纵坐标是n,则点A1的纵坐标是 .
练易错 忽略分类讨论导致出错
7如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中心,将△ABO的边AB缩小到原来的,则点A的对应点的坐标是 .
8如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(-2,5),(0,5),(0,-1),(4,-1).若线段AB和CD是位似图形,位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ( )
A.(0,1) B. C. D.(0,3)
9如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,0),B(4,3),D(5,0),△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心,则E点的坐标是 ( )
A.(10,7) B.(8,7)
C.(10,7.5) D.(8,6)
10在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形放大为原来的2倍,得到△CDO,则点A的对应点C的坐标为( )
A.(-4,8) B.(4,-8)
C.(-4,8)或(4,-8) D.(-1,2)或(1,-2)
11如图,△AOB与△CDB关于点B位似,其中B(1,1),D(3,3),若S△AOB=2,则S△CDB= .
12(2024·成都质检)如图,△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,3),C(-3,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以B为位似中心,在B的下方画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似且相似比为3∶1;
(3)直接写出点A2和点C2的坐标,及△A2BC2的面积.
13 新定义·几何直观、推理能力如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”.
(1)若函数y=kx+b的图象过点(3,1),求b的值;
(2)若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,且位似中心为原点,相似比为1∶2,求函数y=kx+b的表达式.第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
知识点1 平面直角坐标系中的位似变换
1如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(4,4),D(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段CD缩小为原来的一半后得到线段AB,则端点A的坐标为 (A)
A.(2,2) B.(3,3) C.(3,1) D.(4,1)
2如图,若△ABC与△A'B'C'是位似图形,则位似中心的坐标为(A)
A.(1,-1) B.(1,1)
C.(2,0) D.(0,-1)
知识点2 以原点为位似中心的坐标变化规律
3如图,线段AB的两个端点坐标分别为A(3,3),B(3,1),以原点O为位似中心,将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为 (D)
A. (1,) B. (,1) C. (,) D.(1,1)
4如图,在平面直角坐标系中,△AOB与△A'OB'是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为3∶2,点B的坐标为(3,-2),则点B'的坐标是 .
知识点3 以其他点为位似中心的坐标变化规律
5(2024·沈阳质检)如图所示,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),C(-2,1),以A为位似中心,把△ABC在点A同侧按相似比1∶2放大,放大后的图形记作△AB'C',则C'的坐标为 (B)
A.(-6,2) B.(-5,2)
C.(-4,2) D.(-3,2)
6如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C在x轴上,以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点A的纵坐标是n,则点A1的纵坐标是 -2n .
练易错 忽略分类讨论导致出错
7如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中心,将△ABO的边AB缩小到原来的,则点A的对应点的坐标是 (1,2)或(-1,-2) .
8如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(-2,5),(0,5),(0,-1),(4,-1).若线段AB和CD是位似图形,位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 (D)
A.(0,1) B. C. D.(0,3)
9如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,0),B(4,3),D(5,0),△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心,则E点的坐标是 (C)
A.(10,7) B.(8,7)
C.(10,7.5) D.(8,6)
10在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形放大为原来的2倍,得到△CDO,则点A的对应点C的坐标为(C)
A.(-4,8) B.(4,-8)
C.(-4,8)或(4,-8) D.(-1,2)或(1,-2)
11如图,△AOB与△CDB关于点B位似,其中B(1,1),D(3,3),若S△AOB=2,则S△CDB= 8 .
12(2024·成都质检)如图,△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,3),C(-3,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以B为位似中心,在B的下方画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似且相似比为3∶1;
(3)直接写出点A2和点C2的坐标,及△A2BC2的面积.
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
解: (2)如图,△A2BC2即为所求.
解: (3)由图可得,点A2的坐标为(3,0),点C2的坐标为(-3,-3).△A2BC2的面积为×6×6=18.
13 新定义·几何直观、推理能力如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”.
(1)若函数y=kx+b的图象过点(3,1),求b的值;
解:(1)由已知得k=-2,把点(3,1)的坐标和k=-2代入y=kx+b,得1=-2×3+b,解得b=7.
(2)若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,且位似中心为原点,相似比为1∶2,求函数y=kx+b的表达式.
解: (2)如图,根据相似比为1∶2得函数y=kx+b的图象有两种情况:
①不经过第三象限时,过点(1,0)和(0,2),这时函数表达式为y=-2x+2;
②不经过第一象限时,过点(-1,0)和(0,-2),这时函数表达式为y=-2x-2.
