第四章 图形的相似
一、选择题
1已知线段a,b,c,d是成比例线段,其中a=9,b=6,c=18,则d的值是( )
A.18 B.12 C.24 D.30
2(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为( )
A. B.7 C. D.8
3(2023·南充中考)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在平面镜中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与平面镜的水平距离为2 m,平面镜与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
4如图,矩形OABC与矩形FODE是位似图形,点P是位似中心.若点B的坐标为(2,3),点E的横坐标为-1,则点P的坐标为( )
A.(-2,0) B.(0,-2)
C. (-,0) D. (0,-)
5以OA为斜边作等腰直角△OAB,再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角△OBC,如此继续,得到8个等腰直角三角形(如图),则图中△OAB与△OHI的面积比值是( )
A.32 B.64 C.128 D.256
二、填空题
6如图,在边长为1的正方形网格中,A,B,C,D为格点,连接AB,CD相交于点E,则AE的长为 .
7如图,△ABC是一块正三角形余料,边长为120 mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM在边BC上,其余两个顶点P,N分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是 mm.
8(2023·常德中考)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB上一点,且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于E,将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为 .
9在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE·AB.已知AB为2米,则线段BE的长为 米.
三、解答题
10 (2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
11如图,在平面直角坐标系中,给出了格点△ABC(顶点均在正方形网格的格点上),已知点A的坐标为(-4,3).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,在给定的网格中画出△A2B2C2,使△ABC与△A2B2C2位似,且点B2的坐标为(2,-2);
(3)△ABC与△A2B2C2的相似比是 .
12 为了测量“望月阁”的高度,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上进行标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C,镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合,这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.如图,已知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计,请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.第四章 图形的相似
一、选择题
1已知线段a,b,c,d是成比例线段,其中a=9,b=6,c=18,则d的值是(B)
A.18 B.12 C.24 D.30
2(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为(C)
A. B.7 C. D.8
3(2023·南充中考)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在平面镜中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与平面镜的水平距离为2 m,平面镜与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为(B)
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
4如图,矩形OABC与矩形FODE是位似图形,点P是位似中心.若点B的坐标为(2,3),点E的横坐标为-1,则点P的坐标为(A)
A.(-2,0) B.(0,-2)
C. (-,0) D. (0,-)
5以OA为斜边作等腰直角△OAB,再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角△OBC,如此继续,得到8个等腰直角三角形(如图),则图中△OAB与△OHI的面积比值是(C)
A.32 B.64 C.128 D.256
二、填空题
6如图,在边长为1的正方形网格中,A,B,C,D为格点,连接AB,CD相交于点E,则AE的长为 .
7如图,△ABC是一块正三角形余料,边长为120 mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM在边BC上,其余两个顶点P,N分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是 (240-360) mm.
8(2023·常德中考)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB上一点,且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于E,将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为 .
9在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE·AB.已知AB为2米,则线段BE的长为 (-1) 米.
三、解答题
10 (2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
解:(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB;
(2)求线段BD的长.
解: (2)∵△ABC∽△DEB,
∴=,∴=,∴BD=3.
11如图,在平面直角坐标系中,给出了格点△ABC(顶点均在正方形网格的格点上),已知点A的坐标为(-4,3).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)以点O为位似中心,在给定的网格中画出△A2B2C2,使△ABC与△A2B2C2位似,且点B2的坐标为(2,-2);
解: (2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)△ABC与△A2B2C2的相似比是 .
解: (3)△ABC与△A2B2C2的相似比是1∶2.
答案:1∶2
12 为了测量“望月阁”的高度,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上进行标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C,镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合,这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.如图,已知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计,请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.
解:由题意可得:
∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,
∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF,
故△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH,
则=,=,
即AB∶1.5=BC∶2,
AB∶1.65=(BC+18)∶2.5,
解得AB=99.
答:“望月阁”的高AB的长度为99米.
