第2课时 菱形的判定
【练基础 向下扎根】
知识点 菱形的判定方法
1四条边都相等的四边形是 (C)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.任意四边形
2(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
3(2022·齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 AB=CD(答案不唯一) .(只需写出一个条件即可)
4数学课上,小明给出了画菱形的一种方法,如图,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于C,D两点,分别连接AC,AD,BC,BD,所得四边形ACBD为菱形,这样作图的依据是 四条边相等的四边形是菱形 .
5如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD 是 菱形(填“是”或“不是”).
6如图,四边形ABCD的对角线交于点O,AC⊥BD,AB=BC=CD.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵BC=CD,AC⊥BD于点O,
∴OB=OD,∴AB=AD,
∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
7(2023·永州中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
解:(1)△AOB是直角三角形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,
∴OB=OD=BD=4,
∵OA=3,OB=4,AB=5,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
解: (2)由(1)可知,∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
【提能力 向上攀登】
8如图,在平行四边形ABCD中,DE,BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形BFDE为菱形的是(A)
A.∠A=60° B.DE=DF
C.EF⊥BD D.BD是∠EDF的平分线
9新中考·实践探究如图,在长方形ABCD中,连接BD,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点,作直线PQ,分别与AD,BC交于点M,N,连接BM,DN.若AD=4,AB=2,则四边形MBND的周长为 10 .
10新中考·过程性学习小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠: 证明:∵AC⊥BD,OB=OD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD,CB=CD, ∴四边形ABCD是菱形. 小洁: 这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
你赞同谁的说法 若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
解:赞成小洁的说法,补充条件:OA=OC,证明如下:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形.(答案不唯一)
11如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
证明:(1)∵在△ABC和△ADC中,
,∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
证明: (2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,
∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
【拓思维 勇攀高峰】
12新趋势·推理能力在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接EF,FG,GH,HE.
(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;
解:(1)四边形EFGH是平行四边形,证明如下:
连接AC,∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴HG∥AC,EF∥AC,∴HG∥EF,又HG=EF=AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.(写出你添加的条件,不要求证明)
解: (2)AC=BD.(答案不唯一)第2课时 菱形的判定
【练基础 向下扎根】
知识点 菱形的判定方法
1四条边都相等的四边形是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.任意四边形
2(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3(2022·齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可)
4数学课上,小明给出了画菱形的一种方法,如图,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于C,D两点,分别连接AC,AD,BC,BD,所得四边形ACBD为菱形,这样作图的依据是 .
5如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD 菱形(填“是”或“不是”).
6如图,四边形ABCD的对角线交于点O,AC⊥BD,AB=BC=CD.
求证:四边形ABCD是菱形.
7(2023·永州中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
【提能力 向上攀登】
8如图,在平行四边形ABCD中,DE,BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形BFDE为菱形的是( )
A.∠A=60° B.DE=DF
C.EF⊥BD D.BD是∠EDF的平分线
9新中考·实践探究如图,在长方形ABCD中,连接BD,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点,作直线PQ,分别与AD,BC交于点M,N,连接BM,DN.若AD=4,AB=2,则四边形MBND的周长为 .
10新中考·过程性学习小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠: 证明:∵AC⊥BD,OB=OD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD,CB=CD, ∴四边形ABCD是菱形. 小洁: 这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
你赞同谁的说法 若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
11如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
【拓思维 勇攀高峰】
12新趋势·推理能力在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接EF,FG,GH,HE.
(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;
(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.(写出你添加的条件,不要求证明)
