第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
【练基础 向下扎根】
知识点1 菱形的定义
1如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是 (C)
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
2如图,在 ABCD中,若∠1=∠2,则 ABCD是 菱形 .
知识点2 菱形的性质
3菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (D)
A.两组对边分别相等
B.两条对角线相等
C.四个内角都是直角
D.每一条对角线平分一组对角
4[教材再开发·P4随堂练习变式]如图菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,若BD=8,AC=6,则菱形的周长是 (A)
A.20 B.16 C.28 D.24
5如图,木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成,在A,E,F,C,G,H处安装上、下两排挂钩,可以根据需要改变挂钩间的距离,并在B,M处固定.已知菱形ABCD的边长为13 cm,要使两排挂钩间的距离AC为24 cm,则B,D之间的距离(即线段BD的长)为 10 cm.
6(2024·广州模拟)如图,菱形ABCD中,过点C分别作边AB,AD上的高CE,CF,求证:BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,BC=DC,
又∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠BEC=∠DFC=90°,
∴△CBE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF.
知识点3 菱形的对称性
7菱形的对称轴共有 条 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
8(2023·陕西中考)点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为 62° .
练易错 根据对称性确定点的坐标时,忽略分类讨论
9如图,在平面直角坐标系中,O是菱形ABCD对角线BD的中点,AD∥x轴且 AD=4,∠A=60°,将菱形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则旋转后点C的对应点的坐标是 (D)
A.(0,2) B.(2,-4)
C.(2,0) D.(0,2)或(0,-2)
【提能力 向上攀登】
10(2024·唐山期中)如图,周长为16的菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,AE=1,AF=3,P为BD上一动点,则线段EP+FP的长最短为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
11如图,菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5 cm,则菱形ABCD的周长为 (D)
A.5 cm B.10 cm
C.20 cm D.40 cm
12(2023·甘孜州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 (3,) .
13新中考·实践探究·2022青岛中考图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 60 °.
14如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接EF.
求证:(1)△ADE≌△CDF.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠A=∠C,
∵DE⊥BA,DF⊥CB,
∴∠AED=∠CFD=90°,
在△ADE和△CDF中,
∵
∴△ADE≌△CDF.
(2)∠BEF=∠BFE.
证明:(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CB,
∵△ADE≌△CDF,
∴AE=CF,∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE.
【拓思维 勇攀高峰】
15如图1,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.
(1)证明:∠EPF+∠BAD=180°.
证明:
(1)如图1,作PM⊥AD于点M,PN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠PAM=∠PAN,∴PM=PN,
∵PE=PF,∴Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴∠MPF=∠NPE,∴∠EPF=∠MPN,
∵∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°,
∴∠EPF+∠BAD=180°.
(2)若∠BAD=120°(如图2),证明:AE+AF=AP.
证明: (2)如图2,作PM⊥AD于点M,PN⊥AB于点N.
由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴FM=NE,
∵PA=PA,PM=PN,
∴Rt△PAM≌Rt△PAN,
∴AM=AN,∴AF+AE=(AM+FM)+(AN-EN)=2AM,
∵∠BAD=120°,
∴∠PAM=60°,
易知PA=2AM,∴AE+AF=PA.
2第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
【练基础 向下扎根】
知识点1 菱形的定义
1如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是 ( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
2如图,在 ABCD中,若∠1=∠2,则 ABCD是 .
知识点2 菱形的性质
3菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.两组对边分别相等
B.两条对角线相等
C.四个内角都是直角
D.每一条对角线平分一组对角
4[教材再开发·P4随堂练习变式]如图菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,若BD=8,AC=6,则菱形的周长是 ( )
A.20 B.16 C.28 D.24
5如图,木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成,在A,E,F,C,G,H处安装上、下两排挂钩,可以根据需要改变挂钩间的距离,并在B,M处固定.已知菱形ABCD的边长为13 cm,要使两排挂钩间的距离AC为24 cm,则B,D之间的距离(即线段BD的长)为 cm.
6(2024·广州模拟)如图,菱形ABCD中,过点C分别作边AB,AD上的高CE,CF,求证:BE=DF.
知识点3 菱形的对称性
7菱形的对称轴共有 条 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8(2023·陕西中考)点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为 .
练易错 根据对称性确定点的坐标时,忽略分类讨论
9如图,在平面直角坐标系中,O是菱形ABCD对角线BD的中点,AD∥x轴且 AD=4,∠A=60°,将菱形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则旋转后点C的对应点的坐标是 ( )
A.(0,2) B.(2,-4)
C.(2,0) D.(0,2)或(0,-2)
【提能力 向上攀登】
10(2024·唐山期中)如图,周长为16的菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,AE=1,AF=3,P为BD上一动点,则线段EP+FP的长最短为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11如图,菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5 cm,则菱形ABCD的周长为 ( )
A.5 cm B.10 cm
C.20 cm D.40 cm
12(2023·甘孜州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 .
13新中考·实践探究·2022青岛中考图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °.
14如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接EF.
求证:(1)△ADE≌△CDF.
(2)∠BEF=∠BFE.
【拓思维 勇攀高峰】
15如图1,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.
(1)证明:∠EPF+∠BAD=180°.
(2)若∠BAD=120°(如图2),证明:AE+AF=AP.
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