第3课时 菱形的性质与判定的运用
【练基础 向下扎根】
知识点1 菱形的面积
1(2024·深圳质检)菱形ABCD的对角线长分别为5和8,它的面积为 ( )
A.20 B.40 C.24 D.30
2如图,已知菱形ABCD的周长为24,对角线AC,BD交于点O,且AC+BD=16,则△AOB的面积等于 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3已知菱形ABCD两对角线AC=8 cm,BD=6 cm,则菱形的高为 .
知识点2 菱形的性质与判定的综合运用
4如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AF=8,则四边形AEDF的周长是 ( )
A.24 B.28 C.32 D.36
5如图,在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= ( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
6如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
练易错 忽视利用勾股定理的逆定理证明直角三角形
7(2024·重庆期末)一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和2,则它的面积为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【提能力 向上攀登】
8如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
9[教材再开发·P8做一做变式]如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD.测得A,B的距离为6,A,C的距离为4,则B,D的距离是 ( )
A.4 B.8 C.8 D.4
10(2022·巴中中考)如图,在菱形ABCD中,分别以C,D为圆心,大于CD为半径画弧,两弧分别交于点M,N,连接MN,若直线MN恰好过点A与边CD交于点E,连接BE,则下列结论错误的是 ( )
A.∠BCD=120° B.若AB=3,则BE=4
C.CE=BC D.S△ADE=S△ABE
11如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为 .
12如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 .
13如图,菱形ABCD的边长为10,对角线BD的长为16,点E,F分别是边AD,CD的中点,连接EF并延长与BC的延长线相交于点G,则EG的长为 .
14(2024·成都质检)如图,在△ABC中,AB=BC,过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点O,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点,若BO=2,DE=4,求CE的长.
【拓思维 勇攀高峰】
15新趋势·应用意识某校数学兴趣小组活动:用一张长方形纸片剪出一张菱形纸片,要求菱形的各个顶点均落在长方形的边或顶点上,例如:过长方形两对角线的交点,作两条互相垂直的直线与长方形四边相交,依次连接四个交点,沿连线可剪出菱形.
(1)请画出另外两种符合要求的示意图;
(2)若AB=6,BC=8,求出你所作的其中一个菱形的边长.第3课时 菱形的性质与判定的运用
【练基础 向下扎根】
知识点1 菱形的面积
1(2024·深圳质检)菱形ABCD的对角线长分别为5和8,它的面积为 (A)
A.20 B.40 C.24 D.30
2如图,已知菱形ABCD的周长为24,对角线AC,BD交于点O,且AC+BD=16,则△AOB的面积等于 (B)
A.6 B.7 C.8 D.9
3已知菱形ABCD两对角线AC=8 cm,BD=6 cm,则菱形的高为 cm .
知识点2 菱形的性质与判定的综合运用
4如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AF=8,则四边形AEDF的周长是 (C)
A.24 B.28 C.32 D.36
5如图,在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= (A)
A.35° B.45° C.50° D.55°
6如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证:AC⊥BD;
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴ ABCD是菱形,∴AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
解:(2)∵点E,F分别为AD,AO的中点,
∴EF是△AOD的中位线,∴OD=2EF=3,
由(1)可知,四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BD=2OD=6,
在Rt△AOD中,由勾股定理得:AD===,∴C菱形ABCD=4AD=4.
练易错 忽视利用勾股定理的逆定理证明直角三角形
7(2024·重庆期末)一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和2,则它的面积为 (B)
A.2 B.4 C.6 D.8
【提能力 向上攀登】
8如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 (C)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
9[教材再开发·P8做一做变式]如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD.测得A,B的距离为6,A,C的距离为4,则B,D的距离是 (C)
A.4 B.8 C.8 D.4
10(2022·巴中中考)如图,在菱形ABCD中,分别以C,D为圆心,大于CD为半径画弧,两弧分别交于点M,N,连接MN,若直线MN恰好过点A与边CD交于点E,连接BE,则下列结论错误的是 (B)
A.∠BCD=120° B.若AB=3,则BE=4
C.CE=BC D.S△ADE=S△ABE
11如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为 45° .
12如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 2 .
13如图,菱形ABCD的边长为10,对角线BD的长为16,点E,F分别是边AD,CD的中点,连接EF并延长与BC的延长线相交于点G,则EG的长为 12 .
14(2024·成都质检)如图,在△ABC中,AB=BC,过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点O,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
解:(1)∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,且AB=BC,
∴AD=BC,且AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点,若BO=2,DE=4,求CE的长.
解:(2)∵BO=DO,BO=2,
∴BD=4,
∴BE===8,
设CE=x,则BC=BE-CE=8-x,
∴CD=BC=8-x,
在Rt△CDE中,CD2=CE2+DE2,
∴(8-x)2=x2+42,
解得x=3,∴CE的长为3.
【拓思维 勇攀高峰】
15新趋势·应用意识某校数学兴趣小组活动:用一张长方形纸片剪出一张菱形纸片,要求菱形的各个顶点均落在长方形的边或顶点上,例如:过长方形两对角线的交点,作两条互相垂直的直线与长方形四边相交,依次连接四个交点,沿连线可剪出菱形.
(1)请画出另外两种符合要求的示意图;
解:(1)(答案不唯一)如图1所示,作AB=AF,过点F作FE⊥BC于点E,则四边形ABEF是菱形,
根据作图可知四边形ABEF是平行四边形,又AB=AF,则四边形ABEF是菱形.
如图2所示,分别取长方形ABCD的各边的中点E,F,G,H,顺次连接EFGH,则四边形EFGH是菱形,根据勾股定理,可得EF=EH=FG=GH=,
则四边形EFGH是菱形;
(2)若AB=6,BC=8,求出你所作的其中一个菱形的边长.
解:(2)①如图1,∵AB=AF=6,∴菱形边长AB=6;
②如图2,∵E,F,G,H分别为长方形ABCD的各边的中点,
∴AF=AB=3,AE=AD=4,
在Rt△AEF中,EF===5,∴菱形边长EF=5.
