2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
【练基础 向下扎根】
知识点1 矩形的性质
1关于矩形,下列说法错误的是 (C)
A.四个角相等 B.对角线相等
C.四条边相等 D.对角线互相平分
2[教材溯源·P13T1变式·2023襄阳中考]如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论一定正确的是 (C)
A.AC平分∠BAD B.AB=BC
C.AC=BD D.AC⊥BD
3如图,在矩形ABCD中,点E是CD边上的中点.求证:AE=BE.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠D=∠C=90°,
∵E为CD边上的中点,
∴DE=CE,
∴△ADE≌△BCE(SAS),
∴AE=BE.
练易错 忽略对点的位置进行分类讨论而出错
4(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF= 46°或106° .
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位: cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD= (B)
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
6新中考·数学文化著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20 cm,则画出的圆的半径为 10 cm.
7(2024·深圳龙岗质检)如图,两条公路AC,BC相交于点C,从A点沿直线再修建一条公路到B点.若AC=60 km,CB=80 km,AB=100 km.
(1)求证:∠ACB=90°;
解:(1)∵AC=60 km,CB=80 km,AB=100 km,∴AC2+BC2=602+802=10 000,AB2=10 000,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°;
(2)若公路AB的中点M与点C被湖隔开.求M,C两点间的距离.
解:(2)∵点M是AB的中点,
∴MC=AB=50 km.
【提能力 向上攀登】
8如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在斜边AB上,且AD=CD,则下列结论中错误的结论是 (B)
A.∠DCB=∠B B.BC=BD
C.AD=BD D.∠ACD=∠BDC
9(2023·十堰中考)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是(C)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
10如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 (C)
A. B. C. D.
11如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC=9,CD=3,那么阴影部分的面积为 .
12如图,长方形ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm,点E是CD的中点,动点P从A点出发,以每秒2 cm的速度沿A→B→C→E运动,最终到达点E,若点P运动的时间为t秒,那么当t= 3或8.2 时,△APE的面积等于24 cm2.
13(2024·西安期中)如图,在Rt△ABD中,∠ABD=90°,E为AD的中点,AD∥BC,ED=BC.求证:四边形BCDE是菱形.
证明:∵AD∥BC,ED=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,E为AD的中点,
∴BE=DE=AD,
∴平行四边形BCDE是菱形.
【拓思维 勇攀高峰】
14新趋势·推理能力
如图,矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点,过点O的直线分别交AD,BC边于点E,F,AF=AE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥CF,∴∠DAC=∠BCA,
∵O是对角线AC的中点,∴OA=OC,
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF,
又∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵AF=AE,∴ AFCE是菱形;
(2)若BC=8,AB=6,求EF的长.
解:(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,
在Rt△ABC中,
∵AB=6,BC=8,∴AC==10,
∴OA=OC=AC=5,
∵四边形AFCE是菱形,
∴CF=AF,EF⊥AC,EF=2OF,∴∠COF=90°,
令CF=AF=x,则BF=8-x,
在Rt△ABF中,
∵AB2+BF2=AF2,∴62+(8-x)2=x2,
解得x=,即CF=,
∴OF==,∴EF=.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
【练基础 向下扎根】
知识点1 矩形的性质
1关于矩形,下列说法错误的是 ( )
A.四个角相等 B.对角线相等
C.四条边相等 D.对角线互相平分
2[教材溯源·P13T1变式·2023襄阳中考]如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论一定正确的是 ( )
A.AC平分∠BAD B.AB=BC
C.AC=BD D.AC⊥BD
3如图,在矩形ABCD中,点E是CD边上的中点.求证:AE=BE.
练易错 忽略对点的位置进行分类讨论而出错
4(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF= .
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位: cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD= ( )
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
6新中考·数学文化著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20 cm,则画出的圆的半径为 cm.
7(2024·深圳龙岗质检)如图,两条公路AC,BC相交于点C,从A点沿直线再修建一条公路到B点.若AC=60 km,CB=80 km,AB=100 km.
(1)求证:∠ACB=90°;
(2)若公路AB的中点M与点C被湖隔开.求M,C两点间的距离.
【提能力 向上攀登】
8如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在斜边AB上,且AD=CD,则下列结论中错误的结论是 ( )
A.∠DCB=∠B B.BC=BD
C.AD=BD D.∠ACD=∠BDC
9(2023·十堰中考)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
10如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 ( )
A. B. C. D.
11如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC=9,CD=3,那么阴影部分的面积为 .
12如图,长方形ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm,点E是CD的中点,动点P从A点出发,以每秒2 cm的速度沿A→B→C→E运动,最终到达点E,若点P运动的时间为t秒,那么当t= 时,△APE的面积等于24 cm2.
13(2024·西安期中)如图,在Rt△ABD中,∠ABD=90°,E为AD的中点,AD∥BC,ED=BC.求证:四边形BCDE是菱形.
【拓思维 勇攀高峰】
14新趋势·推理能力
如图,矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点,过点O的直线分别交AD,BC边于点E,F,AF=AE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若BC=8,AB=6,求EF的长.
