第3课时 矩形的性质与判定的运用
【练基础 向下扎根】
知识点1 矩形的性质与判定的综合运用
1[教材再开发·P19T3变式]如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE,设AC=4,BD=8,则OE的长为( )
A.2 B.2 C.20 D.10
2如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理 .
3如图,为了检验教室里的矩形门框是否合格,某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果,其中不能判定门框是否合格的是( )
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AC=BD,∠B=∠C=90°
C.AB=CD,∠B=∠C=90°
D.AB=CD,AC=BD
4(2022·青海中考)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线交AD,BC于点E,F,若AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为 .
知识点2 矩形中的折叠问题
5(2022·菏泽中考)如图所示,将一矩形纸片沿AB折叠,已知∠ABC=36°,则∠D1AD= ( )
A.48° B.66° C.72° D.78°
6如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知BC=2,则线段EG的长度为 .
7(2022·潍坊中考)小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸,折完后,发现折痕AB'与A4纸的长边AB恰好重合,那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 .
【提能力 向上攀登】
8如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为 ( )
A.S B.S C.S D.S
9如图,四边形ABCD是菱形,BD=4,AD=2,点E是CD边上的一动点,过点E作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为 ( )
A. B. C. D.
10如图,点P是Rt△ABC中斜边AC(不与A,C重合)上一动点,分别作PM⊥AB于点M,作PN⊥BC于点N,点O是MN的中点,若AB=6,BC=8,当点P在AC上运动时,则BO的最小值是 ( )
A.1.5 B.2 C.2.4 D.2.5
11如图,在矩形ABCD中,AD=4,将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A1,折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B1,则AB= .
12如图,在 ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E,连接BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=°时,四边形BECD是矩形.
【拓思维 勇攀高峰】
13新中考·几何直观、推理能力如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若四边形ABCD为菱形,AC=2,EC=2,求四边形ABCD的面积.第3课时 矩形的性质与判定的运用
【练基础 向下扎根】
知识点1 矩形的性质与判定的综合运用
1[教材再开发·P19T3变式]如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE,设AC=4,BD=8,则OE的长为(B)
A.2 B.2 C.20 D.10
2如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理 对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角 .
3如图,为了检验教室里的矩形门框是否合格,某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果,其中不能判定门框是否合格的是(D)
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AC=BD,∠B=∠C=90°
C.AB=CD,∠B=∠C=90°
D.AB=CD,AC=BD
4(2022·青海中考)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线交AD,BC于点E,F,若AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为 6 .
知识点2 矩形中的折叠问题
5(2022·菏泽中考)如图所示,将一矩形纸片沿AB折叠,已知∠ABC=36°,则∠D1AD= (C)
A.48° B.66° C.72° D.78°
6如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知BC=2,则线段EG的长度为 .
7(2022·潍坊中考)小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸,折完后,发现折痕AB'与A4纸的长边AB恰好重合,那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 .
【提能力 向上攀登】
8如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为 (B)
A.S B.S C.S D.S
9如图,四边形ABCD是菱形,BD=4,AD=2,点E是CD边上的一动点,过点E作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为 (C)
A. B. C. D.
10如图,点P是Rt△ABC中斜边AC(不与A,C重合)上一动点,分别作PM⊥AB于点M,作PN⊥BC于点N,点O是MN的中点,若AB=6,BC=8,当点P在AC上运动时,则BO的最小值是 (C)
A.1.5 B.2 C.2.4 D.2.5
11如图,在矩形ABCD中,AD=4,将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A1,折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B1,则AB= 2 .
12如图,在 ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E,连接BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
解:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥DC,AB=CD,∴∠OEB=∠ODC,
又∵O为BC的中点,∴BO=CO,
在△BOE和△COD中,
∴△BOE≌△COD(AAS),∴OE=OD,
∴四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形BECD是矩形.
解: (2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形BECD是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠A=50°,
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC,
∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD,∴OC=OD,
∵BO=CO,OD=OE,∴DE=BC,
∵四边形BECD是平行四边形,∴四边形BECD是矩形.
【拓思维 勇攀高峰】
13新中考·几何直观、推理能力如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵BE=DF,∴AD-DF=BC-BE,
即AF=EC,∵AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形;
(2)若四边形ABCD为菱形,AC=2,EC=2,求四边形ABCD的面积.
解: (2)∵四边形AECF是矩形,
∴∠AEC=∠AEB=90°,
∵AC=2,EC=2,
∴AE===4,
∵四边形ABCD为菱形,
∴设AB=BC=x,
∴BE=BC-EC=x-2,
在直角三角形AEB中,AB2=AE2+BE2,
即x2=16+(x-2)2,
∴x=5
∴BC=5,
∴S四边形ABCD=BC·AE=5×4=20.
