3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
【练基础 向下扎根】
知识点1 正方形的性质
1下列性质中正方形具有而菱形不具有的是(B)
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.每一条对角线平分一组对角
2在如图所示的平面直角坐标系中,正方形ABCO的边长为2,则点B的坐标为 (D)
A.(2,2) B.(-2,-2)
C.(-2,0) D.(-2,2)
3如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若∠BAE=56°,则∠CEF= 22 °.
4(2024·北京质检)如图,B是线段AD上一点,在线段AD的同侧作正方形ABCG和正方形BDEF,连接AF,CD.求证:AF=CD.
证明:∵四边形ABCG和四边形BFED是正方形,
∴AB=BC,BF=BD,∠ABF=∠CBD=90°,
在△ABF和△CBD中,
,
∴△ABF≌△CBD(SAS),∴AF=CD.
知识点2 利用正方形的性质求面积
5将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为 (A)
A.25 B.5 C.16 D.12
6如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
解:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴CD=AB,∠ABE=∠CDF=45°.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)若AB=3,BE=2,求四边形AECF的面积.
解:(2)连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.
又∵DF=BE,∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
∵AB=3,∴AC=BD=6.
∵BE=DF=2,∴EF=DB-BE-DF=2,
∴S四边形AECF=AC·EF=×6×2=6.
【提能力 向上攀登】
7[教材溯源·P22T2·2023威海中考]如图,在正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧交于点E,连接DE,则∠CDE= 15 °.
8如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是 (2,10)或(-2,0) .
9如图,平面内直线l1∥l2∥l3∥l4,且相邻两条平行线间隔均为1,正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上,则正方形的面积为 5 .
10(2024·西安质检)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC边上的点且BE=BF,连接CE,延长AB至G使得BG=BA,延长GF交CE于点H,求证:GH⊥CE.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CBE=∠GBF=90°,AB=BC.
∵BG=AB,
∴BG=BC,
在△BCE和△BGF中,
,
∴△BCE≌△BGF(SAS),
∴∠BCE=∠G.
∵∠BCE+∠BEC=90°,
∴∠G+∠GEH=90°,
∴∠GHE=90°,
∴GH⊥CE.
11(2024·惠州质检)如图,已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,连接BE,DG.
请判断BE与DG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.
解:BE=DG,BE⊥DG.
证明如下:如图,连接BD,设BE与DG交点为M.
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴∠GAE=90°=∠BAD,AG=AE,AD=AB,∠ADB=∠ABD=45°,
∴∠GAD=∠EAB,∴△GAD≌△EAB(SAS),
∴BE=DG,∠GDA=∠ABE,
∴∠BMD=180°-∠GDA-∠ADB-∠DBM=180°-∠EBA-∠DBM-45°=180°-∠ABD-45°=180°-45°-45°=90°,∴BE⊥DG.
【拓思维 勇攀高峰】
12新趋势·推理能力、几何直观如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AD=2 cm,AB=10 cm,CD=12 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点C出发,以x cm/s的速度向点D运动.规定其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点Q的运动时间为t s,P,Q两点同时出发.
(1)若存在某一时刻,四边形APQD为正方形,求x的值;
解:(1)∵四边形APQD是正方形,
∴AD=AP=DQ=2 cm,
∴t==2 s,CQ=12-2=10(cm),
∴x==5;
(2)当x=2时,若PQ=BC,求t的值.
解:(2)如图1所示,作QN⊥AB于点N,作BH⊥CD于点H,则四边形BHQN为矩形,四边形ADHB为矩形,
∴CH=CD-DH=CD-AB=12-10=2(cm),QN=BH,QH=BN,
又∵PQ=BC,
∴Rt△BCH≌Rt△QPN(HL),∴PN=CH=2 cm,
∴AB-AP-BN=AB-AP-QH=AB-AP-(CQ-CH)=2 cm,∴10-t-(2t-2)=2,解得t=;
如图2所示,作PE⊥CD于点E,作BF⊥CD于点F,
同理可证Rt△PEQ≌Rt△BFC,
∴QE=CF=2 cm,
∴DE-QD=AP-DQ=AP-(CD-CQ)=2 cm,
∴t-(12-2t)=2,解得t=.
综上所述,t的值为或.3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
【练基础 向下扎根】
知识点1 正方形的性质
1下列性质中正方形具有而菱形不具有的是( )
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.每一条对角线平分一组对角
2在如图所示的平面直角坐标系中,正方形ABCO的边长为2,则点B的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(-2,-2)
C.(-2,0) D.(-2,2)
3如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若∠BAE=56°,则∠CEF= °.
4(2024·北京质检)如图,B是线段AD上一点,在线段AD的同侧作正方形ABCG和正方形BDEF,连接AF,CD.求证:AF=CD.
知识点2 利用正方形的性质求面积
5将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为 ( )
A.25 B.5 C.16 D.12
6如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=3,BE=2,求四边形AECF的面积.
【提能力 向上攀登】
7[教材溯源·P22T2·2023威海中考]如图,在正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧交于点E,连接DE,则∠CDE= °.
8如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是 .
9如图,平面内直线l1∥l2∥l3∥l4,且相邻两条平行线间隔均为1,正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上,则正方形的面积为 .
10(2024·西安质检)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC边上的点且BE=BF,连接CE,延长AB至G使得BG=BA,延长GF交CE于点H,求证:GH⊥CE.
11(2024·惠州质检)如图,已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,连接BE,DG.
请判断BE与DG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.
【拓思维 勇攀高峰】
12新趋势·推理能力、几何直观如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AD=2 cm,AB=10 cm,CD=12 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点C出发,以x cm/s的速度向点D运动.规定其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点Q的运动时间为t s,P,Q两点同时出发.
(1)若存在某一时刻,四边形APQD为正方形,求x的值;
(2)当x=2时,若PQ=BC,求t的值.
