第2课时 正方形的判定
【练基础 向下扎根】
知识点1 正方形的判定
1如图,将长方形纸片折叠,使A点落BC上的F处,折痕为BE,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是 ( )
A.邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形
D.轴对称图形是正方形
2如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 ( )
A.BC=AC B.BD=DF
C.AC=BF D.CF⊥BF
3(2024·西安质检)如图,点O是菱形ABCD内的一点,连接OB,OC,BO平分∠ABC,BO=CO=1,BC=.请判断四边形ABCD是正方形吗,并说明理由.
知识点2 正方形的性质与判定的综合应用
4(2024·郑州质检)已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC和BD交于点O.下列三个结论:①当AB=BC时,它是菱形,②当∠ABC=90°时,它是正方形,③当AC⊥BD时,它是矩形,其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是 ( )
A.(1,3) B.(2,3)
C.(3,2) D.(3,1)
6如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 .
【提能力 向上攀登】
7若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定 ( )
A.互相平分 B.互相垂直
C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
8四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是( )
A.1 B. C. D.
9如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为 ( )
A.1 B. C. D.2
10如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是 .
11新课标·中华优秀传统文化沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示),则长方形的对角线长为 .
12(2022·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.
求证:四边形AECF是正方形.
13如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F;
(1)问:四边形CFDE是正方形吗 请说明理由.
(2)若AC=6,BC=8,则CF的长为多少
【拓思维 勇攀高峰】
14新中考·推理能力如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边上的点(点E不与点B,C重合),且∠EAF=45°.
(1)当BE=DF时,求证:AE=AF;
(2)猜想BE,EF,DF三条线段之间存在的数量关系,并证明你的结论.第2课时 正方形的判定
【练基础 向下扎根】
知识点1 正方形的判定
1如图,将长方形纸片折叠,使A点落BC上的F处,折痕为BE,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是 (A)
A.邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形
D.轴对称图形是正方形
2如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 (C)
A.BC=AC B.BD=DF
C.AC=BF D.CF⊥BF
3(2024·西安质检)如图,点O是菱形ABCD内的一点,连接OB,OC,BO平分∠ABC,BO=CO=1,BC=.请判断四边形ABCD是正方形吗,并说明理由.
解:四边形ABCD是正方形,理由如下:
∵BO=CO=1,∴∠OBC=∠OCB,
∵BC=,∴BO2+CO2=BC2,
∴∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
知识点2 正方形的性质与判定的综合应用
4(2024·郑州质检)已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC和BD交于点O.下列三个结论:①当AB=BC时,它是菱形,②当∠ABC=90°时,它是正方形,③当AC⊥BD时,它是矩形,其中正确的有 (B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是 (A)
A.(1,3) B.(2,3)
C.(3,2) D.(3,1)
6如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 4 .
【提能力 向上攀登】
7若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定 (D)
A.互相平分 B.互相垂直
C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
8四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是(B)
A.1 B. C. D.
9如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为 (D)
A.1 B. C. D.2
10如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是 2 .
11新课标·中华优秀传统文化沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示),则长方形的对角线长为 .
12(2022·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.
求证:四边形AECF是正方形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,∴OE=OF,
∵OA=OE,∴OA=OE=OF=OC,
∴AC与EF互相平分,
∴AC=EF,∴四边形AECF为矩形.
∵AC⊥EF,∴矩形AECF为正方形.
13如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F;
(1)问:四边形CFDE是正方形吗 请说明理由.
解:(1)四边形CFDE是正方形,理由如下:
∵∠C=90°,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,
∴四边形DECF为矩形,
∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,
∴D为△ABC的内心,∴DF=DE,
∴四边形CFDE是正方形.
(2)若AC=6,BC=8,则CF的长为多少
解:(2)∵∠C=90°,∴AB===10,
∵四边形CFDE是正方形,∴CF=DF=DE,
设CF=DF=DE=x,
则△ABC的面积=△ABD的面积+△BDE的面积+正方形CFDE的面积+△ADF的面积=×10x+(8-x)x+x2+(6-x)x=×6×8,
解得x=2,即CF的长为2.
【拓思维 勇攀高峰】
14新中考·推理能力如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边上的点(点E不与点B,C重合),且∠EAF=45°.
(1)当BE=DF时,求证:AE=AF;
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°,
在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF;
(2)猜想BE,EF,DF三条线段之间存在的数量关系,并证明你的结论.
解:(2)BE+DF=EF,证明如下:
在CD的延长线上截取DG=BE,
连接AG,如图所示,
同理(1)可得:△ABE≌△ADG,
∴∠BAE=∠DAG,AG=AE.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,
即∠GAF=45°,∴∠GAF=∠EAF,
在△GAF和△EAF中,,
∴△GAF≌△EAF(SAS),∴FG=EF,
∴DG+DF=EF,∴BE+DF=EF.
