正方体涂色（拓展）（教案）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

《正方体涂色》
教学目标
1、从平面引入到立体图形让学生初步体会平面与立体图形之间的关系
2、丰富空间观念，发展空间想象能力，对正方体的各方面有更进一步的体验与了解。
3、培养学生归纳的思想与方法。
4、让学生动手操作，仔细观察, 认真思考，合作交流，顺利创三关
教学重难点
1、从平面引入到立体图形让学生初步体会平面与立体图形之间的关系
2、丰富空间观念，发展空间想象能力，对正方体的各方面有更进一步的体验与了解。
教学过程
导入
教师：上课！同学们好！
教师：在前面的学习中，我们做过有关火柴棒摆正方形的题目。题目是这样的：
像这样的方式摆正方形，摆n个正方形需要多
少根火柴棒呢？还记得你是怎样解决的吗？（学生思考，然后举手回答）
学生：我把第一个正方形的四根火柴棒的第一根先拿掉，然后会发现，每增加一个正方形就增加三根火柴棒，所以是（3n+1）根火柴棒。（被提问的学生是一个成绩不算好的学生）
二、新授
教师：（很赞赏地）非常好！**同学的回答是根据图形的规律，通过研究发现：当拿掉一根火柴棒后，增加一个正方形，火柴棒就增加三个。因为增加了n个正方形，所以火柴棒增加了3n个，从而解决了这个问题。
还有其它方法吗？
学生：可以通过数个数的方法，列表解决。
（出示 ）
4根 7根 10根 （3n+1）根
教师：在解决这个问题时，大家都是从简单的一个正方形、两个正方形、三个正方形、甚至四个正方形这些特殊的事例中，通过探索分析，从图形的特征或者数字的规律两方面归纳出一般性的规律的。象这样，通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索一类现象的规律的思想方法，我们称之为归纳法。
（出示 ）
4根 7根 10根
利用归纳法解决问题时，要从研究一般问题转化成取特殊值的一个正方形、两个、三个正方形，通过探索归纳中，再从特殊回归到一般中。
下面，我们就用归纳法研究正方体表面涂色的问题。（出示课题）
在研究问题前，我们先认识一下问题的主角：正方体。
（利用模型演示：顶点、棱、面）
把正方体的棱n等分，沿等分线把正方体切开：
请问
1、能切出多少个小正方体？
2、在这些小正方体中，
(1)有多少个是三面涂色的？
(2)有多少个是两面涂色的？
(3)有多少个是一面涂色的？
(4)有多少个各面都没有涂过色呢？
3、要用归纳法去研究这样的一个问题，我们首先应该怎样做呢？
学生：（思考后举手回答）：先取特殊值，从研究最简单的二等分棱开始研究。然后再研究三等分棱、四等分棱的情况。
教师：非常好！在用归纳法研究一般性的问题时，我们要先取特殊值进行研究，再从特殊情况的研究中归纳出一般性的规律来，也就是先从一般到特殊，再从特殊回到一般中去。
现在我们来研究二等分棱：（出示正方体）请同学们想象一下，要把它沿等分线切开，要切几刀呢？（学生讨论、发表看法。）（教师小结并电脑演示切的方法）。三等分棱呢？你们会切吗？
学生：（跃跃欲试地）会！
教师：我知道很多同学都已经着急地要进行研究了，只是在你动手之前我还要提醒几件事
请给小组成员分配好角色：组长一名负责协调工作、动手操作一名负责切正方体、记录一名、统计实验结果的一名。
动手操作的同学请注意操作时要注意刀不要对着同学或自己，注意安全。
负责统计的同学在统计结束后把实验的小正方体收到方便袋中，以免与下一次实验发生混淆。
现在请动手实验二等分棱和三等分棱的情况，并把实验数据记录在下面的表格里。
等分棱数 分成小正方体的个数 三面涂色数 二面涂色数 一面涂色数 无涂色数
2
3
4
5
n
学生实验，教师巡视。
（实验用具：用花泥做成的表面涂色的正方体）（实验约二十分钟左右）
教师：（实验结束后，校对实验数据。所有数据达成一致后。出示事先做好的三等分棱的教具）
好，请同学们看我手上的正方体，你能不能告诉我，三面涂色的小正方体在原正方体中的位置呢？
学生：（纷纷举手，气氛活跃）（指着模型说）在这里，这里，还有这里。
教师：嗯，对，在这里、这里、还有这里，（指点着教具）哎哟，到底在哪里呢？（把教具收起）
学生：在正方体的八个顶点处！
教师：那二面涂色的呢？
学生：（重复着先在教具上找再总结的过程）二面涂色的小正方体在原正方体的棱上，每个棱上有一个，所以有12个两面涂色的小正方体。
教师：（赞许地点头）原来，只要去找棱就可以了。（书写12*1=12）
教师：一面涂色的呢？
学生：（重复先在教具上找再总结的过程）在原正方体的六个面上，去掉三面涂色的、两面涂色的，每个面上就只有一个一面涂色的，所以有6*1=6个小正方体。
教师：（再一次抛出问题）三面涂色的在顶点处、二面涂色的在棱上、一面涂色的在面上，那没有涂色的在哪里呢？
学生：（先想，然后一起指着教具说）在里面。
教师：（赞许地）太好了，你们都能把小正方体还原了！那现在我们不做实验，你能不能告诉我我手里这个四等分棱的正方体沿等分线切开后的情况呢？
（拿出四等分棱的教具）
学生：（很自信地）能！
教师：那告诉我，三面涂色的小正方体有几个？
学生：（异口同声）八个！在八个顶点处。
教师：二面涂色的呢？
学生：（出现了不同的答案）：16个和24个。
教师：到底是多少呢？
学生：（观察着教具，思考着，陆续地回答）24个。
教师：为什么呢？
学生：（一个学生拿着教具说）这里两个，这里两个，…所以是24个。
此时，答案是16的学生把手举起来。教师示意他发言。
学生：老师，我知道我错在哪了，我少数了中间四条棱上的八个正方体。
教师：是啊，数的时候我们常常会数错的，那这样，我们把每个数过的都做个标记吧。
学生：不要，老师，那太麻烦了，我们只要数一条棱上的，然后把结果乘以12就可以了。（很多学生都恍然大悟，纷纷点头）
教师：太棒了！那可就省了我们不少麻烦了啊。在我们解决问题时，只要我们多思考一下，找出规律来，问题就变得简单多了。（学生点头）
教师：一面涂色的呢？（举手的同学越来越多）
学生：一个面上有4个，六个面，所以有4*6=24个。
教师：各面都没涂色的呢？
学生：（静下来，思考）
教师：（给学生充分的思考时间，渐渐有人举手）
学生：用总数减去三面涂色的、二面涂色的、一面涂色的，就是没涂色的了。
所以是64-24-24-8=8个。
教师：（填写表格）请同学们实验验证一下看。
（学生快速实验，结果完全一致）
教师：通过观察，实验，我们完成了四等分棱的任务，那五等分棱呢？（出示教具）
学生：（纷纷举手，很快就得出了正确的数据，并完成表格的填写）。
教师：我们为了研究n等分棱的情况，先研究了二等分棱、三等分棱、四等分棱、五等分棱这几种特殊的情况，现在，就请你们从图形的特征或者数据的规律方面去归纳一下，n等分棱时的情况。
（学生纷纷进入研究阶段，不会的也开始讨论起来。教师也加入其中。慢慢地学生开始把手举了起来。）
教师：（请学生将答案书写在黑板上）。请同学们说说看，你们的答案是怎样得出的？
学生：三面涂色的因为在顶点处，所以不发生变化，是8*1个；二面涂色的在棱上除顶点外，所以是12（ n-2）个；一面涂色的在六个面上除顶点和棱个，所以是6（n-2）2个。无涂色的…，我是用总的去减的，可是我不会化简。（这时，有人把手举得高高的，教师示意起立回答）
学生：无涂色的，在心里，它切开之后，其实是一个正方体，正方体的边长就是（n-2），所以里面有（n-2）3个正方体。
教师：是这样吗？（不急于评讲，而是给学生充分的思考时间。学生对着教具、对着自己的模型思考，然后恍然大悟，开心地说：原来如此！）
教师：（小结）我们通过图形或者数据的规律的探索分析，用归纳法探索出了n等分棱的小正方体的表面涂色的一般性的情况。在运用归纳法解决问题时，是一个从一般到特殊，再从特殊到一般的过程。（配合电脑的演示）
三、总结及作业布置
教师：（出示题目：从 n 边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成多少个三角形吗？）
请问用归纳法解决这个问题时，我们的步骤是什么？
学生：取特殊值法。先研究四边形、五边形、六边形的情况，再从图形或数据的规律中去探索归纳一般规律。
教师：好。那就请课后同学们自己解决这个问题。今天的另一个作业是：完成课堂活动评价表。
教师：下课。同学们再见。