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1.4 特殊平行四边形的最值的问题
1．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东茂名·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8．点P是线段BC上的动点，以AC为对角线的所有平行四边形APCE中，PE的最小值为____．
3．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ．
4．（23-24九年级·云南昆明·期末）如图，，，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
常用方法
1.两点之间的线段最短。
2.点到直线的距离最短是垂线段。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
1．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，P为边上的一动点（含端点），F为的中点，则长度的最大值为 ．
2．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形中，，，点分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为 ．
3．如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．
4．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点（点不与点、点重合），以为边作正方形．若是的中点，连接，则的最小值为 ．
5.（23-24九年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
6．如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ．
7．（23-24九年级·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的最小值．
8．（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图1，将矩形放置于平面直角坐标系中的第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取的中点M，连接，与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点．求证：点P为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
9．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接．
（1）当是的中点时，线段的长度是 ．
（2）线段长度的最小值是 ．
1．如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ．
3.（23-24九年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．
(1)求直线的解析式；
(2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
4．（23-24九年级·河南三门峡·期末）如图，点C在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．
(1)求的度数；
(2)点P是线段上的一个动点，连接、．若，．求的最小值．
5．如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是平行四边形；
(3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值．
1.（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，菱形的边长为2，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
2.（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为 ．
3．（2024上·广东茂名·九年级统考期末）如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ．
4．如图，已知正方形的边长为6，动点从点A出发在边上运动，同时动点从点出发以同样的速度在边上运动．分别连接、，与相交于点，连接，则线段的最小值为 ．
5．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为_________．
6.（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．
7．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ．
8．（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形．
(1)请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由．
(2)作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ．
9．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明．
(3)在矩形中内部有一动点P，满足，求的最小值．
10．如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是平行四边形；
(3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值．
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1.4 特殊平行四边形的最值的问题
1．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，根据，即可得出，进而得到当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出的最小值为，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，
∵点是边的中点，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
故选：．
2．（2021·广东茂名·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8．点P是线段BC上的动点，以AC为对角线的所有平行四边形APCE中，PE的最小值为____．
【答案】4
【分析】
设PE与AC交于点O，由四边形APCE是平行四边形，可得AC=2OA=8，点O为AC的中点，得PE=2OP，转化为求OP的最小值即可．
【详解】
解：设PE与AC交于点O，
∵四边形APCE是平行四边形，
∴PE=2OP，AC=2OA=8，
∴OA=OC=4，
过点O作OH⊥BC于H，则点P与点H重合时，OP最小，即PE最小，
∵∠ABC=90°，AC=2AB=8，
∴∠ACB=30°，
∴OH=2，
∴PE的最小值为4．
故答案为：4．
3．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ．
【答案】
【分析】取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可．
本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键．
【详解】
解：如图：取线段的中点E，连接，
∵，矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大．
∴点D到点O的最大距离，
故答案为：．
4．（23-24九年级·云南昆明·期末）如图，，，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称-最短路线问题，掌握菱形的判定方法，会用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键．
（1）证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可；
（2）先求出的长，然后利用将军饮马模型求出的最小值，即可求出周长的最小值．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分．
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，，如图：
由（1）知，四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形关于对角线所在直线对称，
，
周长，
周长的最小值为，
在中，
，
周长的最小值为．
常用方法
1.两点之间的线段最短。
2.点到直线的距离最短是垂线段。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
1．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，P为边上的一动点（含端点），F为的中点，则长度的最大值为 ．
【答案】
【答案】
【分析】连接，根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接，
∵E为中点，F为中点，
∴为的中位线，
∴，
当取得最大值时，的值最大，
故当点P与点B重合时，最大，
∴，
∴长度的最大值为，
故答案为：．
2．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形中，，，点分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，作于点，连接、，根据菱形的性质可得，在中可求出的长，根据折叠的性质，可得是的垂直平分线，可得，当时，的值最小，则的值最大，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作于点，则，连接、，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵点关于的对称点在线段上，
∴垂直平分，
∴，
∵由垂线段最短可知，当时，的值最小，
∴的最小值为，
∵当最小时，最大，
∴的最大值为，
故答案为：．
3．如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中位线的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可．
【详解】解：延长，使得，连接，，如图，
∵，，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴点在定直线上，
∵是的中点，
∴，
∴当最小时，有最小值，
当时，最小，
此时，
∴的最小值为，
故答案为：．
4．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点（点不与点、点重合），以为边作正方形．若是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】取的中点N，连接，首先求出，然后证明出，得到，当时，有最小值，即此时有最小值，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，取的中点N，连接
∵点N是的中点，是的中点，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵点P是对角线上的一动点
∴当时，有最小值，即此时有最小值
∵四边形是正方形
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
5.（23-24九年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形的面积可求．
【详解】解：如图，连接OP．
由已知可得：．
∴四边形ONPM是矩形．
∴，
在中，当时OP最短，即MN最小．
∵即
根据勾股定理可得：．
∵
∴
∴
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为
在中，根据勾股定理可得：
∴
∵
∴
∴
在中
∴
∴
故答案为：
6．如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】分别取的中点，连接，由菱形的性质得到点为的中点，结合点为的中点，推出是的中位线，得到，；即，易证四边形是平行四边形，证明是等边三角形，则为定角，推出点在上运动，当时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：分别取的中点，连接，
四边形是菱形，四边形是菱形，，
∵O点为的中点，
点为的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，，即，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
是等边三角形，
点在上运动，
当时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
此时，
；
故答案为：2，．
7．（23-24九年级·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质和判定，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．
（1）首先证明出四边形为平行四边形，然后由即可由证明出四边形是矩形；
（2）首先根据矩形的性质得到，然后判断出当时，取得最小值，取得最小值，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图所示，连接
∵四边形是矩形
∴
∴当最小时，最小
∴当时，取得最小值
∵，，
∴
∴当时，
∴
∴
∴的最小值为，即的最小值为．
8．（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图1，将矩形放置于平面直角坐标系中的第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取的中点M，连接，与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点．求证：点P为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质及绝对值的非负性得，，即可求出点的坐标；
（2）利用对称的性质、等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就可得出和垂直，再得出两组对边分别平行证出平行四边形，由平行四边形性质即可得出求证；
（3）利用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出和的长，再利用三角形三边关系得出当、、三点共线时的长度最大，进而求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如图，连接，
∵与关于所在直线对称，
∴，
∴，
∴，
又为中点，
∴，
∴，
∴，
又在中，，
即，
∴，
即，
∴
又
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点P为的中点；
（3）如图，连接，取的中点，
连接、．
由（2）知，点P坐标为
∵，，
∴，则，
∴点Q的坐标为，
又∵，
∴，
三角形两边之和大于第三边，即，
∴当、、三点共线时，，此时的长度最大，
则的最大值．
9．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接．
（1）当是的中点时，线段的长度是 ．
（2）线段长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短；
（1）连接，勾股定理求得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据，得出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求解；
（2）同（1）得出四边形为矩形，当时，取最小值，即最小，根据等面积法即可求解．
【详解】（1）连接，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形
∴，
故答案为：．
（2）如图，连接．
，，
．
在矩形中，，
四边形为矩形，
，
的最小值即的最小值．
当时，取最小值．
在中，．
，
，即线段长度的最小值是．
故答案为：．
1．如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接，当三点共线时，有最大值，即有最大值，先证明，得到，再证明点N是的中点，得到，再证明，得到，进而得到，易证，得到，由即可求解．
【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接，
，，
当三点共线时，有最大值，即有最大值，如图
四边形与四边形都是正方形，
，
，
，
点N与点P关于对称，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点N是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
2．如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设与交于O，根据平行四边形的性质得到，当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案．
【详解】解：设与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当取最小值时，的值最小，
由“点到直线的距离垂线段最短”可知，
当时，的值最小，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
在中，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
3.（23-24九年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．
(1)求直线的解析式；
(2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先由菱形的性质得出点C的坐标，再用待定系数法即可求出解析式；
（2）先确定当取到最小值时点P的位置是直线与y轴的交点，即可根据、的解析式，求出点P的坐标，即可解答；
（3）存在，设点Q的坐标为，先求出菱形的面积，根据面积相等，即可求出y，从而求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设的解析式为，
则，解得：，
∴；
（2）连接，交于点P，连接，交于点N，
∵四边形是菱形，
∴，
∴ ，
由三角形三边关系可知：，
∴当A、P、D三点共线时，最小，
设的解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
∴，
联立，
解得，
∴P点坐标为；
（3）∵，，
∴，
如图，设交y轴于点E，则，设，
则
，
∴，
∴或，
∴Q点的坐标为或．
4．（23-24九年级·河南三门峡·期末）如图，点C在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．
(1)求的度数；
(2)点P是线段上的一个动点，连接、．若，．求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等边三角形和正方形的性质，得到，，再根据等边对等角的性质，即可求出的度数；
（2）作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接，由轴对称的性质可知，，，，先证明是等腰直角三角形，得到，进而得出，过点作于点，则是等腰直角三角形，得到，即点与点重合，然后利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：是等边三角形，四边形是正方形，
，，，，
，，
；
（2）解：如图，作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接，
由轴对称的性质可知，，，
，
即当点、、三点共线时，有最小值，为的长．
是等边三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
过点作于点，则是等腰直角三角形，
，
，
即点与点重合，
，
在中，，
即的最小值为．
5．如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是平行四边形；
(3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再结合，可证明结论；
（2）由，得，可证，得，进而得，进而可证，得，再根据，四边形是平行四边形；
（3）由且，知．进而可知点E是三条高线的交点，得，取中点Q，连接、，由直角三角形的性质可知，由三角形的中位线的性质可知，，当M、Q、N三点共线时，取最大值，进而可求解．
【详解】（1）证明：延长交于点
∵四边形是平行四边形，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵，．
∴．
∴．
∴．即．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：∵且，
∴．
又∵，
∴点E是三条高线的交点．
∴．
∴是直角三角形．
取中点Q，连接、．
，
又∵点N是中点，
，
∴当M、Q、N三点共线时，取最大值．
∴最大．
1.（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，菱形的边长为2，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】由菱形的性质可知A、C两点关于对称，连接，，与的交点即为点P，此时的值最小，求出的长即可求解．
【详解】解：连接，连接与交于点P，
∵菱形的边长为2，，
∴A、C两点关于对称，，，
∴为等边三角形，，
此时，值最小．
∵E是中点，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
2.（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．
连接，则是的中位线，，当最大时，有最大值求出即可．
【详解】解：连接，如图：
，分别是，的中点，
是的中位线，，
当最大时，有最大值，
，分别是边，上的动点，
当与重合时，最大为的长，
正方形边长为2，
，
的最大值为，
故答案为：．
3．（2024上·广东茂名·九年级统考期末）如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识．连接，证四边形是矩形，得．再根据当时，最小，然后由面积法求出的最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分．
∵点O是的中点，
∴点O在上，．
∵当时，最小，
又∵此时，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．如图，已知正方形的边长为6，动点从点A出发在边上运动，同时动点从点出发以同样的速度在边上运动．分别连接、，与相交于点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质和已知条件，判定三角形全等，根据全等三角形的性质和直角三角形两个锐角互余的性质，得到，再利用三角形三边关系和两点间距离最短的知识，即可找到符合题意的的E点，进而利用勾股定理等即可解出答案．
【详解】解：如图：取的中点，连接，
∵点P与点Q的速度相同，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O是的中点，
，
在中， ，
∵，
∴，
当O、E、B三点共线时，取得最小值，，
故答案为：．
5．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为_________．
【答案】
【分析】连接、、，由已知条件得出（当点P是和的交点是取等号），再利用等边三角形的性质得出，进而求出最大值即可．
【详解】解：连接、、交于点O，
∵四边形是菱形，
， ,，
，
,
，
，
,
∴是等边三角形，
∵点E为边的中点，
,
，，
，
，
，即长的最大值为，
故答案为：．
【总结】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定、垂直平分线的性质、直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线，构造等边三角形得出是解题的关键．
6.（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．
【答案】1
【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．
【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，
∴PN=PE，
则PM-PN=PM-PE，
∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，
在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC=，
∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，
∴点E是OC中点，
∴CE=AC=，
∵BC=4，BM=3，
∴CM=1=BC，
∵∠BCQ=45°，
∴△MCQ为等腰直角三角形，
∴CQ==，
∴EQ=，
∴CM=EM=1，
即PM-PN的最大值为1，
故答案为：1．
【总结】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距
7．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查矩形性质、三角形中位线的判定和性质、垂线段最短等知识点，求得当P、D重合时，最小，即可求得有最小值是解题的关键．
如图：连接，根据矩形性质可得，根据三角形中位线的判定和性质可得，继而根据两点之间线段最短可得当P、D重合时，最小，即可求得最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵E、F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时，有最小值，
∵当P、D重合时，最小，有最小值，
∴,
∴的最小值为3．
故答案为：3．
8．（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形．
(1)请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由．
(2)作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结，交于点G，作射线，交于点N，连结，根据平行四边形的对角线互相平分，可知，然后证明，可得，由此可证四边形是平行四边形，进一步推得四边形是菱形；
（2）连结，，过点D作于点H，根据菱形的性质可知垂直平分，即得，所以，当点P在点H处，且点Q在上时，取最小值，最小值为的长，再求出的长，即得答案．
【详解】（1）连结，交于点G，作射线，交于点N，连结，则四边形就是所求作的图形；
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）连结，，过点D作于点H，
四边形是菱形，
垂直平分，
，
，
当点P在点H处，且点Q在上时，取最小值，最小值为的长，
，，
是等边三角形，
，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
【总结】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，几何作图，线段垂直平分线的性质及轴对称的性质等知识，利用平行四边形的对角线互相平分作图及轴对称的性质是解题的关键．
9．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明．
(3)在矩形中内部有一动点P，满足，求的最小值．
【答案】(1)见解答
(2)当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，理由见解答
(3)
【分析】（1）根据双角平分线可得即可得证；
（2）四边形要变成一个正方形，则，即即可；
（3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称即可求出最小值．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，
由（1）知四边形为矩形，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：，
∴，
即，解得，
即点P在平行于且到的距离为4的直线上，如图：
作点C关于点P所在直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【总结】本题考查角平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定，线段和的最小值，熟练掌握以上知识是解关键．
10．如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是平行四边形；
(3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再结合，可证明结论；
（2）由，得，可证，得，进而得，进而可证，得，再根据，四边形是平行四边形；
（3）由且，知．进而可知点E是三条高线的交点，得，取中点Q，连接、，由直角三角形的性质可知，由三角形的中位线的性质可知，，当M、Q、N三点共线时，取最大值，进而可求解．
【详解】（1）证明：延长交于点
∵四边形是平行四边形，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵，．
∴．
∴．
∴．即．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：∵且，
∴．
又∵，
∴点E是三条高线的交点．
∴．
∴是直角三角形．
取中点Q，连接、．
，
又∵点N是中点，
，
∴当M、Q、N三点共线时，取最大值．
∴最大．
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