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1.5 特殊平行四边形中的定值问题
1．如图，矩形的对角线，交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键．
根据勾股定理求出，进而得到，
依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值．
【详解】解：∵，，
∴矩形的面积为，
∴，
，
∵对角线交于点，
∴的面积为，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：B．
2．（23-24九年级·浙江台州·期中）已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G．
(1)如图1，当点E是中点时， ______；
(2)如图2．
①求证：；
②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②是，1
【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，由E是中点，可得，即，，，然后求解作答即可；
（2）①如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形， 证明，进而可得；②如图3，连接，由菱形，，可得，证明，则，同理，，，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵E是中点，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①证明：如图2，连接，
由（1）可知，是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②解：如图3，连接，
∵菱形，
∴，，
由①可知，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴的值为定值，且定值为1．
特殊平行四边形的定值问题
特殊平行四边形中的定值问题主要涉及求解特定条件下不变的量。
在特殊平行四边形中，定值问题通常涉及到对角线长度、面积以及特定条件下线段长度的恒定值。例如，在菱形中，如果对角线的长度给定，那么无论菱形的形状如何变化，其对角线的长度保持不变，这是一个定值。此外，当动点在特定路径上移动时，与该动点相关的线段长度也可能保持不变，形成定值。
解决这类问题的方法通常包括利用平行四边形的性质，如对角线的性质、角度关系，以及特殊平行四边形(如菱形、矩形)的对称性。通过这些性质，可以推导出在某些特定条件下，某些量保持不变，从而解决问题。
具体到例题，如在菱形中，如果对角线的长度给定，那么无论菱形的形状如何变化，其对角线的长度保持不变。此外，当动点在菱形的对角线上移动时，与该动点相关的线段长度也可能保持不变，形成定值。解决这类问题的方法包括利用菱形的对称性和对角线的性质，通过这些性质推导出在某些特定条件下，某些量保持不变。
1.（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在边长为10的菱形中，对角线，则菱形的面积是____，若点O是线段上的动点，于E，于F．则____．
【答案】
【分析】连接，交于点，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，利用菱形的面积公式求出菱形的面积；连接，利用等积法，即可得解．
【详解】解：连接，交于点，
∵边长为10的菱形，对角线，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积是，
连接，
∵于E，于F，
∴，
即：，
∴，
∴，
故答案为：．
【总结】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．
2．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________．
【答案】/
【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【总结】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD2+3DE2是定值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）只需要证明△ABE≌CDF和△ADE≌CBF，即可得到BE=DF，ED=BF，从而得证；
（2）设，，，过E作EM⊥AD于M，再利用得到，即可得到，即可得到，再用勾股定理求出得到，最后利用勾股定理分别求出，从而得到，即可证明.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，AB∥CD
∴∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF
∴△ABE≌CDF（SAS）
∴BE=DF
同理△ADE≌CBF（SAS）
∴ED=BF
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）设，，，过E作EM⊥AD于M
∵EM⊥AD，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由勾股定理得：
∴
∴的值为定值
【总结】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．（23-24九年级·四川成都·期末）如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系．
【深入研究】
（2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值．
【拓展延伸】
（3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）是定值，理由见详解
【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由外角的性质可证；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
将绕点按顺时针方向旋转，得到．
，，
，
；
（2）如图，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
又，，
，
，
；
（3）的周长是定值，理由如下：
如图，延长至，使，连接，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
的周长，
的周长是定值．
1．（23-24九年级·山东临沂·期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
（1）如图1，梦想飞扬小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明；
深度探究：
（2）如图2，智慧创新小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
①当时，可以求出的长度．请写出解答过程；
②当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）①，过程见解析；②的周长不变，为定值12．
【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论；
（2）①设，则，然后利用勾股定理求解即可；
②连接，，过点A作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）①设，则，
由勾股定理得，，
解得，
∴；
②的周长不变，为定值12．理由如下：
如图，连接，，过点A作于点M，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周长
，
∴的周长为12．
【总结】本题考查了矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．（23-24九年级·山东菏泽·期中）如图所示，矩形中，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值．
【答案】当点在上运动时，的值不发生变化，为24
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，根据勾股定理求出，求出，，求出的面积，根据三角形面积公式得出，由此即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键．
【详解】解：当点在上运动时，的值不发生变化，
理由是：连接，
，
∵在矩形中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即当点在上运动时，的值不发生变化，为24．
3．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图①，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，线段的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求的值；
(3)当点P在边上运动时，如图②，求证：为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线的对称点F，连接、，当四边形和矩形的重叠部分为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)为定值，且这个值为1
(4)或或
【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解；
（2）利用矩形的性质及角之间的互余关系求出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可求出结果；
（3）过作于点，利用矩形的性质及角之间的互余关系可证明得出，即可得出结论；
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当，A重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当，重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，，
在中，，
即：；
故答案为：．
（2）解：当点和点重合时，
∵四边形是矩形，
∴，，，
则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过作于点，则有，，
又∵矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
即为定值，且这个值为1；
（4）解：①如图所示，当点在上时，
∵，，
在中，，
则 ，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
当 时，点在矩形内部，
∴符合题意；
②当点在上时，当，A重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，，
∴，
解得：，
当且时，点在矩形外部，不符合题意；
③当点在上，当，重合时，此时点与点重合，则是正方形，此时；
当时，点在矩形外部，不符合题意；
综上所述，或或．
【总结】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，求正弦值，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．
(1)连接，求证：．
(2)求证：矩形是正方形．
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的值是定值，定值为4．
【分析】（1）根据正方形的性质以及边角边的关系证明即可得到结论；
（2）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可证明矩形是正方形；
（3）同（法判断出得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点，
∴，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，作，
∴，
∵点E是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∴矩形是正方形；
（3）解：的值是定值，定值为4．
理由：∵四边形、都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【总结】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
2.5．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且G点在矩形ABCD内部，延长BG交DC于点F．
(1)求证：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的长；
(3)若DC＝n DF，那么n 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD=；
(3)4
【分析】（1）利用HL证明△EGF≌△EDF，即可得到结论；
（2）设CF=x，则DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，求得BF =18-x，根据勾股定理得BC2+CF2=BF2，列得（4x）2+x2=（18-x）2，求出x即可得到AD的长；
（3）由DC＝n DF得到DF、BF的长，根据勾股定理得BC2+CF2=BF2，列得BC2+()2=()2，求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接EF，
由折叠得AE=EG，∠EGB=∠A=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE=EG，
∵∠D=90°，
∴∠D=∠EGF=90°，
∵EF=EF，
∴△EGF≌△EDF，
∴GF=DF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=BG=9，AD=BC，
设CF=x，则DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，
∵GF=DF，
∴GF=9-x，
∴BF=BG+GF=9+9-x=18-x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴（4x）2+x2=（18-x）2，
解得x=或x=（舍去），
∴AD=4x=；
（3）n 是定值．
∵DC＝n DF，
∴，
∴FC=DC-DF=DC-=，
∵DF=GF，AB=BG=CD，
∴BF=BG+GF=，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴BC2+()2=()2，
∴，
∴，
∴n =4．
【总结】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握全等三角形的判定及性质结合勾股定理进行论证是解题的关键．
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1.5特殊平行四边形中的定值问题
1．如图，矩形的对角线，交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级·浙江台州·期中）已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G．
(1)如图1，当点E是中点时， ______；
(2)如图2．
①求证：；
②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
特殊平行四边形的定值问题
特殊平行四边形中的定值问题主要涉及求解特定条件下不变的量。
在特殊平行四边形中，定值问题通常涉及到对角线长度、面积以及特定条件下线段长度的恒定值。例如，在菱形中，如果对角线的长度给定，那么无论菱形的形状如何变化，其对角线的长度保持不变，这是一个定值。此外，当动点在特定路径上移动时，与该动点相关的线段长度也可能保持不变，形成定值。
解决这类问题的方法通常包括利用平行四边形的性质，如对角线的性质、角度关系，以及特殊平行四边形(如菱形、矩形)的对称性。通过这些性质，可以推导出在某些特定条件下，某些量保持不变，从而解决问题。
具体到例题，如在菱形中，如果对角线的长度给定，那么无论菱形的形状如何变化，其对角线的长度保持不变。此外，当动点在菱形的对角线上移动时，与该动点相关的线段长度也可能保持不变，形成定值。解决这类问题的方法包括利用菱形的对称性和对角线的性质，通过这些性质推导出在某些特定条件下，某些量保持不变。
1.（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在边长为10的菱形中，对角线，则菱形的面积是____，若点O是线段上的动点，于E，于F．则____．
2．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________．
3．（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD2+3DE2是定值．
4．（23-24九年级·四川成都·期末）如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系．
【深入研究】
（2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值．
【拓展延伸】
（3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由．
1．（23-24九年级·山东临沂·期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
（1）如图1，梦想飞扬小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明；
深度探究：
（2）如图2，智慧创新小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
①当时，可以求出的长度．请写出解答过程；
②当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
2．（23-24九年级·山东菏泽·期中）如图所示，矩形中，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值．
3．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图①，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，线段的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求的值；
(3)当点P在边上运动时，如图②，求证：为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线的对称点F，连接、，当四边形和矩形的重叠部分为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．
(1)连接，求证：．
(2)求证：矩形是正方形．
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
2．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且G点在矩形ABCD内部，延长BG交DC于点F．
(1)求证：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的长；
(3)若DC＝n DF，那么n 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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