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1.6 特殊平行四边形中的中点四边形问题
1．（2023下·河北承德·八年级统考期末）顺次连接四边形各边中点得到四边形，下列说法正确的是（ ）
A．只有四边形为平行四边形，四边形才可能为平行四边形
B．只有四边形为正方形，四边形才可能为正方形
C．如果四边形为矩形，则四边形一定是菱形
D．如果四边形为菱形，则四边形一定是菱形
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：如图，
∵点E、F、G、H分别为、、、的中点，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形， 故A不符合题意；
当，时，
∴， ，
∴平行四边形为正方形，故B不符合题意；
当四边形为矩形，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形，C选项符合题意；
当四边形为菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形，D选项说法不符合题意；
故选：C．
【总结】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．
2.（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由．
(2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．
(3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．
【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可；
（3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【总结】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理．
3.（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？
(1)当______时，四边形为菱形；
(2)当______时，四边形为矩形；
(3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定，熟练的掌握三角形的中位线定理并在推理论证中正确的运用是解题的关键．
（1）根据三角形得中位线定理， ，结合题意，则可得到四边形是菱形；
（2）根据三角形的中位线定理，可得，，，结合题意四边形是矩形，可得；
（3）结合（1）（2）易得四边形为正方形．
【详解】（1）解：∵、、、分别是四边形各边的中点，
∴、分别是和的中位线；
∴， ；
当时，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
故答案为：
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵、、、分别是四边形各边的中点，
∴、分别是和的中位线；
∴，，
∴，
即：，
∴当时，四边形为矩形．
（3）当时，由（1）得四边形是菱形；
当时，由（2）四边形是矩形；
∴四边形是正方形；
故当且时，四边形是正方形
任意四边形的中点四边形都是平行四边形;
特殊中点四边形主要看对角线之间的关系:
对角线相等是菱形，对角线互相垂直是矩形，对角线相等且互相垂直是正方形。
1.（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
(1)四边形EFGH的形状是 ．
(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足 条件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论．
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
【答案】(1)平行四边形
(2)AC⊥BD，证明见解析
(3)菱形，见解析
【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理得到EH//BD，EH=BD，FG//BD，FG=BD，推出EH//FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形，根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得EH∥FG，EH＝FG，进而得出四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形的性质证明EH⊥HG，可得平行四边形EFGH是矩形．
【详解】（1）解：四边形EFGH的形状是平行四边形．
理由如下：如图1，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
同理FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD条件时，四边形EFGH是矩形．
理由如下：如图2，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
（3）菱形的中点四边形是矩形．
理由如下：如图3，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH＝BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
【总结】本题考查中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
2．（23-24九年级·江苏常州·期中）如图，、、分别是各边的中点．
(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．
【答案】(1)四边形为平行四边形，证明见解析
(2)，四边形为矩形，证明见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据矩形的判定定理证明．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵，，分别是各边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2），四边形为矩形，
理由如下：由（1）得：四边形为平行四边形，
又∵°，
∴平行四边形是矩形．
【总结】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
3.．（2022下·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
(1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形．
(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．
(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．
【答案】(1)平行四边形，AC⊥BD
(2)菱形
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行四边形判定定理可得EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，由三角形的中位线定理易知EF⊥EH，结合EFGH是平行四边形即可解答；
（2）当AC=BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH，结合EFGH是平行四边形即可得到四边形是菱形；
（3）当AC=BD时，由（2）可得四边形是菱形，由EF⊥EH和EFGH是平行四边形即可得到四边形是矩形即可证明结论；
【详解】（1）解： ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EH，FG分别是 ADC， ABC的中位线，
∴EH//AC，EH=AC，FG//AC，FG=AC，
∴EH//FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EF是 ABD的中位线，
∴EF//BD，
∵EH//AC，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形是矩形；
故答案是：平行四边形，AC⊥BD．
（2）∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EF是 ABD的中位线，
∴EF=BD，EH=AC
∵AC=BD，
∴EF=EH
∵四边形EFGH是平行四边形；
∴四边形是菱形．
故答案：菱形．
（3）解：由（2）可得当AC=BD时，四边形是菱形
∵EH//AC，EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH
∵四边形EFGH是平行四边形
∴四边形是矩形
∴四边形是正方形．
【总结】本题主要考查了中点四边形的有关问题，熟练掌握好三角形的中位线定理和平行四边形，矩形，菱形，正方形的转化关系及判定方法是解题的关键．
4．（23-24九年级·江苏淮安·期中）D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
【答案】(1)见解析
(2)时，平行四边形是菱形
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、三角形中位线及菱形的性质，解题的关键是得到证明平行四边形的条件．
（1）由于分别是边的中点, 可得是的中位线，同理可得是的中位线，由三角形中位线定理即可得到是平行四边形；
（2）根据，，，可以得到，即可得到平行四边形是菱形．
【详解】（1）证明: ∵分别是边的中点,
且，
同理，且，
∴且
∴四边形是平行四边形；
（2）当时，平行四边形是菱形.理由为：
分别是边的中点,
∴，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形．
5．（2022下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等
【分析】（1）先根据“SAS”证明，得出，，根据平行线的判定得出，得出BD=CF，证明四边形BCFD为平行四边形，得出，，即可证明结论；
（2）①连接AC、BD，根据中位线性质得出，，即可得证明四边形EFGH为平行四边形；
②根据矩形的判定方法，得出结论即可；
③根据正方形的判定方法，得出结论即可．
【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵在△AED和△CEF中，
∴，
∴，，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即DEBC，DEBC．
（2）①连接AC、BD，如图所示：
∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形；
②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；
根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：垂直；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；
根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，
根据解析①可知，，，
∵AC=BD，
∴，
∴四边形EFGH是正方形．
故答案为：垂直且相等
【总结】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法，是解题的关键．
6．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，点D，E分别是的边的中点，点O是所在平面上一个动点，连接，点G，F分别是的中点，顺次连接点D，G，F，E．
(1)如图，当点O在的外部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)当点O在的内部时，要使四边形是正方形，则与满足的条件是：．
（直接写出结果即可）
【答案】(1)见详解
(2)且
【分析】（1）利用三角形中位线定理得出且，进而得出四边形是平行四边形；
（2）利用正方形的判定方法邻边相等的矩形是正方形得出即可．
【详解】（1）证明：如图1，
∵点、分别是、边的中点，
，且，
同理，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图2，当且时，平行四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
，，，
当时，，
∵G、F为，的中点，
∴，
当时，，
∴，
∵D、G分别为、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
【总结】此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
7．（23-24九年级·江苏南通·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”．
(1)如图，“中点四边形”的形状是 ；
(2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明）
【答案】(1)平行四边形
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质和判定，矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
（1）连接，得出是的中位线，即，，同理可得，，，即可证明；
（2）连接、，根据三角形中位线可得四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可证明．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵E、H分别是边、的中点，
∴是的中位线
∴，，
同理，，，
∴, ,
∴“中点四边形”的形状是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
（2）如图，
已知：矩形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点
求证：四边形是菱形
证明：连接、．
∵E、F分别是边、的中点
∴是的中位线
∴，
同理，可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵四边形是矩形
∴
∴
∴四边形是菱形．
8．（23-24九年级·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据 ；依据 ；
②连接，若时，则中点四边形的形状为 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
(2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由；
(3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为 ．
【答案】(1)①三角形的中位线定理；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②菱形，理由见解析；
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)正方形
【分析】（1）①根据三角形中位线定理解答即可；
②根据菱形的判定方法进行解答即可；
（2）连接，，证明，得出，再根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（3）连接，，交于点O，交于点K，交于点J，证明，再证明，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线定理；
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②菱形；理由如下：
如图1中，
根据题意可知，四边形为平行四边形，
，，
，
∵，，
，
∵，
，
四边形是菱形．
（2）解：结论：四边形是菱形．
理由：如图，连接，，
，
，
即：，
，，
∴，
，
，
由问题情境可知：四边形是平行四边形
四边形是菱形．
（3）解：结论：正方形．
理由：如图，连接，，交于点O，交于点K，交于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
【总结】本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
1．（23-24九年级·江西上饶·阶段练习）我们定义：若E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形是矩形，则四边形是四边形的中矩四边形．
(1)如图1，四边形是菱形，E，F，G，H分别是四边形各边的中点，求证；四边形是四边形的中矩四边形．
(2)如图2，以锐角的两边，为边，在外作等腰和等腰，其中，F，G，H，M分别为，，，的中点．
①求证：四边形是四边形的中矩四边形．
②若四边形的面积为8，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②32
【分析】（1）证明：如图，连接，，证明，，，可得，四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，从而可得结论；
（2）①如图，连接，交于点，记与的交点为，证明四边形是平行四边形，，可得，证明，可得，从而可得结论；②证明四边形是正方形，可得，（负根舍去），证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵E，F，G，H分别是菱形各边的中点，
∴，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴四边形是四边形的中矩四边形．
（2）①如图，连接，交于点，记与的交点为，
由题意得：，，
∴四边形是平行四边形，
∵等腰和等腰，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，而，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形是四边形的中矩四边形．
②∵，
∴，
∵F，G，H，M分别为，，，的中点．
∴，，
∴，而四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∵四边形的面积为8，
∴，
∴，（负根舍去）
∴，
∵，
∴，
∴．
【总结】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定，正方形的判定，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定与性质，理解新定义的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
2．（2023春·安徽合肥·八年级校联考期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据 ；依据 ；
②连接，若时，则中点四边形的形状为 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
(2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由；
(3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为 ．
【答案】(1)①三角形的中位线定理；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②菱形，理由见解析；
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)正方形
【分析】（1）①根据三角形中位线定理解答即可；
②根据菱形的判定方法进行解答即可；
（2）连接，，证明，得出，再根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（3）连接，，交于点O，交于点K，交于点J，证明，再证明，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线定理；
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②菱形；理由如下：
如图1中，
根据题意可知，四边形为平行四边形，
，，
，
∵，，
，
∵，
，
四边形是菱形．
（2）解：结论：四边形是菱形．
理由：如图，连接，，
，
，
即：，
，，
∴，
，
，
由问题情境可知：四边形是平行四边形
四边形是菱形．
（3）解：结论：正方形．
理由：如图，连接，，交于点O，交于点K，交于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
【总结】本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
3．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性质探究】：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系；
【问题解决】：
（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；
【拓展应用】：
如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．
（4）试探索与的数量关系，并说明理由．
（5）若，求的最小值．
【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ．
【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；
（2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论；
（3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；
（4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；
（5）如图，记、的中点分别为E、F，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案．
【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，
理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形；
（2），．理由如下：
∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，，，，
∴，．
（3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，
∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，
∴、，，分别是、、、的中位线，
∴，，，，，，，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
（4）如图，记、的中点分别为E、F，
∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵M，F分别是，的中点，
∴，
∴；
（5）如图， 连接交于O，连接、，
当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，
∴的最小值，
由性质探究（1）知：，
又∵M，N分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴的最小值，
由拓展应用（4）知：；
又∵，
∴，
∴的最小值为．
【总结】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
1．（2022·河南平顶山·九年级期末）如图，已知为任意四边形，，，，分别为，，，的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意连接BD，AC，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可．
【详解】如图连接BD，AC，
因为E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线定理，故，,，，故四边形EFGH是平行四边形．
A选项： ，邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意．
B选项： ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意．
C选项： ，根据三角形中位线定理 ，，故，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意．
D选项： 不能证明四边形EFGH是菱形，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是连接BD，AC，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可．
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)中点四边形是平行四边形，理由见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）连接，，利用三角形中位线定理可得，，，，则，，从而证明结论；
（2）连接与，首先利用证明，得，然后由（1）同理可得答案．
【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形，理由如下：
连接，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴中点四边形是平行四边形；
（2）四边形是菱形，证明如下：
连接与，
∵与为等边三角形，
∴，，，
则，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵E，F，G，H分别是边，，，的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【总结】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等
【分析】（1）先根据“SAS”证明，得出，，根据平行线的判定得出，得出BD=CF，证明四边形BCFD为平行四边形，得出，，即可证明结论；
（2）①连接AC、BD，根据中位线性质得出，，即可得证明四边形EFGH为平行四边形；
②根据矩形的判定方法，得出结论即可；
③根据正方形的判定方法，得出结论即可．
【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵在△AED和△CEF中，
∴，
∴，，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即DEBC，DEBC．
（2）①连接AC、BD，如图所示：
∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形；
②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；
根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：垂直；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；
根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，
根据解析①可知，，，
∵AC=BD，
∴，
∴四边形EFGH是正方形．
故答案为：垂直且相等
【总结】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法，是解题的关键．
3．（23-24九年级·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据中位线的性质可得，，，，，，，；即有，，证得四边形是平行四边形，结合，问题得解；
（2）由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，可得，从而得到，，再由矩形的面积公式计算，即可．
（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
∴、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得：，，，，，；
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行多边形是矩形，
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，
∴．
又∵，，
∴，，
∴．
（3）解：∵四边形中，，，且，
∴；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
即四边形的面积是．
【总结】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
4．（23-24九年级·吉林·阶段练习）【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；
【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ．
【答案】[操作一]见解析；[操作二]60
【分析】[操作一]根据作图过程得到，，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证明菱形；
[操作二]根据菱形的性质和勾股定理得到，再根据三角形中位线定理证明出四边形是平行四边形，进一步得到四边形是矩形，从而利用面积公式计算即可．
【详解】解：[操作一]
由作图可知：，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
[操作二]
∵，
∴，
∴，即，
∵E、F分别是，中点，
∴，
同理：，，，，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形的面积为．
【总结】本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解中点四边形的定义，依据中位线定理证明矩形．
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1.6 特殊平行四边形中的中点四边形问题
1．（2023下·河北承德·八年级统考期末）顺次连接四边形各边中点得到四边形，下列说法正确的是（ ）
A．只有四边形为平行四边形，四边形才可能为平行四边形
B．只有四边形为正方形，四边形才可能为正方形
C．如果四边形为矩形，则四边形一定是菱形
D．如果四边形为菱形，则四边形一定是菱形
2.（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由．
(2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．
(3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．
3.（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？
(1)当______时，四边形为菱形；
(2)当______时，四边形为矩形；
(3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论．
任意四边形的中点四边形都是平行四边形;
特殊中点四边形主要看对角线之间的关系:
对角线相等是菱形，对角线互相垂直是矩形，对角线相等且互相垂直是正方形。
1.（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
(1)四边形EFGH的形状是 ．
(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足 条件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论．
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
2．（23-24九年级·江苏常州·期中）如图，、、分别是各边的中点．
(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．
3.．（2022下·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
(1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形．
(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．
(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．
4．（23-24九年级·江苏淮安·期中）D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
5．（2022下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
6．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，点D，E分别是的边的中点，点O是所在平面上一个动点，连接，点G，F分别是的中点，顺次连接点D，G，F，E．
(1)如图，当点O在的外部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)当点O在的内部时，要使四边形是正方形，则与满足的条件是：．
（直接写出结果即可）
7．（23-24九年级·江苏南通·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”．
(1)如图，“中点四边形”的形状是 ；
(2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明）
8．（23-24九年级·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据 ；依据 ；
②连接，若时，则中点四边形的形状为 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
(2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由；
(3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为 ．
1．（23-24九年级·江西上饶·阶段练习）我们定义：若E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形是矩形，则四边形是四边形的中矩四边形．
(1)如图1，四边形是菱形，E，F，G，H分别是四边形各边的中点，求证；四边形是四边形的中矩四边形．
(2)如图2，以锐角的两边，为边，在外作等腰和等腰，其中，F，G，H，M分别为，，，的中点．
①求证：四边形是四边形的中矩四边形．
②若四边形的面积为8，，求的值．
2．（2023春·安徽合肥·八年级校联考期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据 ；依据 ；
②连接，若时，则中点四边形的形状为 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
(2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由；
(3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为 ．
3．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性质探究】：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系；
【问题解决】：
（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；
【拓展应用】：
如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．
（4）试探索与的数量关系，并说明理由．
（5）若，求的最小值．
1．（2022·河南平顶山·九年级期末）如图，已知为任意四边形，，，，分别为，，，的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
4．（23-24九年级·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．
5．（23-24九年级·吉林·阶段练习）【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；
【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ．
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