四川省成都市石室中学2023-2024学年高一竞赛班下学期期末考试数学试题（含答案）

成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届竞赛班期末考试
数学试题
(满分150分,考试时间120分钟)
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数为纯虚数,则复数在复平面上的对应点的位置在( )
A.第一象限内 B.第二象限内 C.第三象限内 D.第四象限内
2.数据的方差,则下列数字特征一定为的是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差
3.某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计,得到前200名学生分布的扇形图200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图),则下列命题错误的是( )
A.成绩前200名的学生中,高一人数比高二人数多30人
B.成绩前100名的学生中,高一人数不超过50人
C.成绩前50名的学生中,高三人数不超过32人
D.成绩第51名到第100名的学生中,高二人数比高一人数多
4.命题”,”为假命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
5.在中,分别为角所对的边,且,,则( )
A. B. C. D.
6.如图,在菱形中,,且,,若,则( )
A. B. C. D.
7.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点， 于于 ，则下列结论不正确的是( )
A.平面平面 B.平面
C.平面 D.平面 平面
8.美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法,又称黄金分割法,是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充,并在我国进行推广,广泛应用于各个领域.黄金分割比,现给出三倍角公式,则与 的关系式正确的为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知向量，则下列说法中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则与的夹角为钝角 D.当时，则与上的投影向量的坐标为
10.设为复数,则下列结论中正确的是( )
A.若为虚数,则也为虚数 B.若,则的最大值为
C. D.
11.在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是( )
A. B.的取值范围为
C.的最大值为4 D.若为的中点,则的取值范围为
12.如图一,矩形中,,交对角线于点,交于点.现将沿翻折至的位置,如图二,点为棱的中点,则下面结论正确的是( )
A.存在某个位置使得平面
B.在翻折过程中,恒有
C.若二面角的平面角为,则
D.若在平面上的射影落在内部﹐则
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.将个数据按照从小到大的顺序排列如下: ,若该组数据的分位数为 22,则 .
14.若函数的图象向左平移后,得到的函数图象与的图象重合,则的最小值为 .
15.若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等,且该球体的表面积为,体积为,该圆锥的侧面积为,体积为,若,则该球体半径与该圆锥母线的比值为 .
16.镇江西津渡的云台阁,是一座宋元风格的仿古建筑,始建于2010年,目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图,在云台阁旁水平地面上共线的三点处测得其顶点的仰角分别为,且米,则云台阁的高度为 .米.
四、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称中心;
(2) 求函数在上的值域.
18.如图,在四边形中,,且,若为线段上的两个动点,且.
(1)当为的中点时,求的长度;
(2)求的最小值.
19.2023年起我国旅游按下重启键,寒冬有尽,春日可期,先后出现了“淄博烧烤”,“尔滨与小土豆”,“天水麻辣烫”等现象级爆款,之后各地文旅各出奇招,现某地文旅为进一步发展该地文旅,提升该地经济,在5月份对来该地旅游的部分游客发起满意度调查,从饮食、住宿,交通,服务等方面调查旅客满意度,满意度采用百分制,统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图,图中
(1)求图中的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若有超过的人满意度在75分及以上,则认为该月文旅成绩合格.该地5月份文旅成绩合格了吗
(3)该地文旅6月份继续对来该地旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80,方差为75; 6月8日-6月14日调查的6万份数据中其满意度的平均值为90,方差为 70 .由这些数据计算6月1日- 6月14日的总样本的平均数与方差.
20.如图,在中,是边上的一点,.
(1)证明:;
(2)若点为靠近的三等分点,,为钝角,求
21.如图,三棱台中,是边长为的等边三角形,四边形是等腰梯形,且为的中点.
(1)证明: ;
(2)若过三点的平面截三棱台所得的截面面积为.当二面角为锐二面角时,求二面角的正弦值.
22.在四面体中,,记四面体的内切球半径为.分别过点向其对面作垂线,垂足分别为.
(1)是否存在四个面都是直角三角形的四面体 (不用说明理由)
(2)若垂足恰为正三角形的中心,证明:;
(3)已知,证明:.
成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届期末考
数学试题答案
一、选择题
ADDA CBDB
二、选择题
BD ACD AC BCD
三、填空
13. 21 14. 15. 16.
四、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
22.