新疆克拉玛依市第十三中学2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学模拟试题
1．（2024高二下·克拉玛依期中）设不同的直线，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
2．（2024高二下·克拉玛依期中）椭圆的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2024高二下·克拉玛依期中）已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．（2024高二下·克拉玛依期中）函数在区间(2，4)上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减
5．（2024高二下·克拉玛依期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个
A．44 B．45 C．54 D．55
6．（2024高二下·克拉玛依期中）3月5日，两江新区学雷锋纪念日，现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（ ）
A． B． C．30 D．11
7．（2024高二下·克拉玛依期中）在的二项展开式中，项的系数为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
8．（2024高二下·克拉玛依期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·克拉玛依期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·克拉玛依期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0
C．含项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16
11．（2024高二下·克拉玛依期中）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调数列 D．数列为单调数列
12．（2024高二下·克拉玛依期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ）
A． B．抛物线的准线为直线
C． D．的面积为
13．（2024高二下·克拉玛依期中）已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 .
14．（2024高二下·克拉玛依期中）函数的图象在点处的切线方程为 ．
15．（2024高二下·克拉玛依期中）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由1个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有 种.（符号表示即可）
16．（2024高二下·克拉玛依期中）某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人不在同一岗位工作，则不同的安排方法有 .
17．（2024高二下·克拉玛依期中）位男同学和位女同学站成一排．
（1）位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）；
（2）位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）．
18．（2024高二下·克拉玛依期中）已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最值.
19．（2024高二下·克拉玛依期中） 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（2024高二下·克拉玛依期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于两点，求．
21．（2024高二下·克拉玛依期中）已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）设点是上第一象限内的点，求的取值范围.
22．（2024高二下·克拉玛依期中）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】由题意，解得，经检验，符合题意.
故答案为：D.
【分析】
由直线平行的性质列方程求解即可.
2．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆可化为，可得，
所以焦距为2，
故答案为：A.
【分析】
先把方程整理成标准形式，进而可求半焦距的值，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】因为，所以，所以．
故答案为：D.
【分析】
由等差数列的性质和定义求值即可.
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.
故答案为：C.
【分析】
根据二次函数的单调性即可求解.
5．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字，
十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字，
为使个位上的数字小于十位上的数字，
当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况；
当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字，
较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有.
故满足题意的两位数共有个.
故答案为：B.
【分析】
根据分类计数原理，分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】依题意，每名志愿者都有5种选择方法，
所以6名志愿者共有种不同的选法.
故答案为：A.
【分析】
根据分步乘法计数原理分析计算即可得解.
7．【答案】B
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】展开式中含的项为，
故项的系数为4，
故答案为：B.
【分析】
根据二项展开式的通项特征即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，
结合选项可知，只有C中函数符合要求，
故答案为：C.
【分析】
根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解.
9．【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确，
故答案为：B、D.
【分析】
根据导数公式逐项判断即可。
10．【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：对于A选项：因为的展开式中共有5项，所以二项式系数最大的项为第三项，故A选项错误；
对于B选项：将x=1代入可得各项系数和为0，故B选项正确；
对于C选项：的展开式通项公式为：令，可得，则含项的系数为，故C错误；
对于D选项： 所有项二项式系数和为故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查二项式定理的二项式系数的性质，根据二项式定理的二项式系数的性质、利用赋值法，展开式的通项公式逐项进行判读即可求解.
11．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设数列的首项为，公比为，
由题有，解得或，
对于选项A，当，为奇数时，，所以选项A错误，
对于选项B，因为，当，显然有，当时，
，所以，故选项B正确，
对于选项C，当时，数列是首项为，公比为的递增数列，
当时，数列是首项为，公比为的递减数列，所以选项C正确，
对于选项D，由选项B知，所以，
当时，，此时不具有单调性，所以选项D错误，
故答案为：B、C.
【分析】
根据等比数列通项公式、求和公式，列方程组得到或，再对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.
12．【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的准线为直线，设点在第一象限，
过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义可知，解得，
则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；
将代入抛物线方程，解得，故C错误；
焦点，点，即，
所以，故D正确；
故答案为：A、D．
【分析】
根据焦半径公式求得判断A正确，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断B、C错误，
利用三角形面积公式求解面积判断D.正确.
13．【答案】
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，
可得，即，即二项式为，
其展开式的通项为，
令，可得，即展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】
根据求得，得到二项式为，列出展开式的通项，令，代入即可求解.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，，，
故函数的图象在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】
根据导数的几何意义求解即可.
15．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为汽车牌照号码中的第一个是英文字母，所以此处共有26（种）排法，
又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同，
所以共有（种）排法，
根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有（种）.
故答案为：.
【分析】
先排字母再利用排列安排数字，利用分步乘法原理即可求解.
16．【答案】1320
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将6人分组有两种情况：、形式，
共有：种，
其中小张、小胡这2人在同一岗位工作的有以下情况：
当各组人数按分组：
小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有种，
此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；
当各组人数按分组：
小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有种
此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；
小张、小胡这2人在同一岗位工作的安排方法有种.
所以种.
故答案为：1320.
【分析】
根据分类计数原理将各组人数分、两类，先求出各类所有的方法总数，再求出小张、小胡这2人在同一岗位工作的方法总数，即可得出答案.
17．【答案】解：（1）位女同学必须站在一起，则将位女同学捆绑，视为一个整体，
可得排法种数为种；
（2）先排个男同学，形成个空，再插入位女同学，可得排法种数为种．
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）将位女同学捆绑，视为一个整体，结合分步计数原理可得结果；
（2）先排位男同学，再将位女同学插空，结合分步计数原理可得结果.
18．【答案】（1）解：定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为4
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值， 从而得出函数在区间上的最值。
19．【答案】（1）解：设等差数列公差为，
则由题意得，即，解得，
数列的通项公式为
（2）解：，则，
，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等差数列的通项公式解得，进而可得通项公式；
(2) 由（1）可知：，利用裂项相消法求和.
20．【答案】（1）依题意，设圆的方程为，
由圆与轴相切于点，得，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以．
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用圆的切线性质求出，进而求得圆的半径，即可求解.
（2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算即得.
（1）依题意，设圆的方程为，
由圆与轴相切于点，得，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以．
21．【答案】（1）由双曲线过点且，故，
故，故的标准方程为；
（2）设，则，
因为点在第一象限，所以，且，，
所以，
所以的取值范围是.
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）结合已知，将双曲线上的点代入计算即可求得；
（2）设，则有，然后利用数量积的坐标运算化简整理为二次函数，利用函数性质求解范围即可.
（1）由双曲线过点且，故，
故，故的标准方程为；
（2）设，则，
因为点在第一象限，所以，且，，
所以，
所以的取值范围是.
22．【答案】（1），
当在上恒成立，故在上单调递增；
当时，令得；
令得，
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，，
所以．
令，
则．
令，
则．
因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，
即当时，．
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论其单调性，即可求解．
（2）由（1）知，从而，即证明，再构造新函数，利用导数得证．
（1），
当在上恒成立，故在上单调递增；
当时，令得；
令得，
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，，
所以．
令，
则．
令，
则．
因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，
即当时，．
1 / 1新疆克拉玛依市第十三中学2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学模拟试题
1．（2024高二下·克拉玛依期中）设不同的直线，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】由题意，解得，经检验，符合题意.
故答案为：D.
【分析】
由直线平行的性质列方程求解即可.
2．（2024高二下·克拉玛依期中）椭圆的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆可化为，可得，
所以焦距为2，
故答案为：A.
【分析】
先把方程整理成标准形式，进而可求半焦距的值，即可求解.
3．（2024高二下·克拉玛依期中）已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】因为，所以，所以．
故答案为：D.
【分析】
由等差数列的性质和定义求值即可.
4．（2024高二下·克拉玛依期中）函数在区间(2，4)上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.
故答案为：C.
【分析】
根据二次函数的单调性即可求解.
5．（2024高二下·克拉玛依期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个
A．44 B．45 C．54 D．55
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字，
十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字，
为使个位上的数字小于十位上的数字，
当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况；
当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字，
较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有.
故满足题意的两位数共有个.
故答案为：B.
【分析】
根据分类计数原理，分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求解.
6．（2024高二下·克拉玛依期中）3月5日，两江新区学雷锋纪念日，现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（ ）
A． B． C．30 D．11
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】依题意，每名志愿者都有5种选择方法，
所以6名志愿者共有种不同的选法.
故答案为：A.
【分析】
根据分步乘法计数原理分析计算即可得解.
7．（2024高二下·克拉玛依期中）在的二项展开式中，项的系数为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】展开式中含的项为，
故项的系数为4，
故答案为：B.
【分析】
根据二项展开式的通项特征即可求解.
8．（2024高二下·克拉玛依期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，
结合选项可知，只有C中函数符合要求，
故答案为：C.
【分析】
根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解.
9．（2024高二下·克拉玛依期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确，
故答案为：B、D.
【分析】
根据导数公式逐项判断即可。
10．（2024高二下·克拉玛依期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0
C．含项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：对于A选项：因为的展开式中共有5项，所以二项式系数最大的项为第三项，故A选项错误；
对于B选项：将x=1代入可得各项系数和为0，故B选项正确；
对于C选项：的展开式通项公式为：令，可得，则含项的系数为，故C错误；
对于D选项： 所有项二项式系数和为故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查二项式定理的二项式系数的性质，根据二项式定理的二项式系数的性质、利用赋值法，展开式的通项公式逐项进行判读即可求解.
11．（2024高二下·克拉玛依期中）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调数列 D．数列为单调数列
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设数列的首项为，公比为，
由题有，解得或，
对于选项A，当，为奇数时，，所以选项A错误，
对于选项B，因为，当，显然有，当时，
，所以，故选项B正确，
对于选项C，当时，数列是首项为，公比为的递增数列，
当时，数列是首项为，公比为的递减数列，所以选项C正确，
对于选项D，由选项B知，所以，
当时，，此时不具有单调性，所以选项D错误，
故答案为：B、C.
【分析】
根据等比数列通项公式、求和公式，列方程组得到或，再对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.
12．（2024高二下·克拉玛依期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ）
A． B．抛物线的准线为直线
C． D．的面积为
【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的准线为直线，设点在第一象限，
过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义可知，解得，
则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；
将代入抛物线方程，解得，故C错误；
焦点，点，即，
所以，故D正确；
故答案为：A、D．
【分析】
根据焦半径公式求得判断A正确，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断B、C错误，
利用三角形面积公式求解面积判断D.正确.
13．（2024高二下·克拉玛依期中）已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 .
【答案】
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，
可得，即，即二项式为，
其展开式的通项为，
令，可得，即展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】
根据求得，得到二项式为，列出展开式的通项，令，代入即可求解.
14．（2024高二下·克拉玛依期中）函数的图象在点处的切线方程为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，，，
故函数的图象在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】
根据导数的几何意义求解即可.
15．（2024高二下·克拉玛依期中）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由1个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有 种.（符号表示即可）
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为汽车牌照号码中的第一个是英文字母，所以此处共有26（种）排法，
又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同，
所以共有（种）排法，
根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有（种）.
故答案为：.
【分析】
先排字母再利用排列安排数字，利用分步乘法原理即可求解.
16．（2024高二下·克拉玛依期中）某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人不在同一岗位工作，则不同的安排方法有 .
【答案】1320
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将6人分组有两种情况：、形式，
共有：种，
其中小张、小胡这2人在同一岗位工作的有以下情况：
当各组人数按分组：
小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有种，
此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；
当各组人数按分组：
小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有种
此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；
小张、小胡这2人在同一岗位工作的安排方法有种.
所以种.
故答案为：1320.
【分析】
根据分类计数原理将各组人数分、两类，先求出各类所有的方法总数，再求出小张、小胡这2人在同一岗位工作的方法总数，即可得出答案.
17．（2024高二下·克拉玛依期中）位男同学和位女同学站成一排．
（1）位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）；
（2）位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）．
【答案】解：（1）位女同学必须站在一起，则将位女同学捆绑，视为一个整体，
可得排法种数为种；
（2）先排个男同学，形成个空，再插入位女同学，可得排法种数为种．
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）将位女同学捆绑，视为一个整体，结合分步计数原理可得结果；
（2）先排位男同学，再将位女同学插空，结合分步计数原理可得结果.
18．（2024高二下·克拉玛依期中）已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最值.
【答案】（1）解：定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为4
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值， 从而得出函数在区间上的最值。
19．（2024高二下·克拉玛依期中） 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列公差为，
则由题意得，即，解得，
数列的通项公式为
（2）解：，则，
，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等差数列的通项公式解得，进而可得通项公式；
(2) 由（1）可知：，利用裂项相消法求和.
20．（2024高二下·克拉玛依期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于两点，求．
【答案】（1）依题意，设圆的方程为，
由圆与轴相切于点，得，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以．
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用圆的切线性质求出，进而求得圆的半径，即可求解.
（2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算即得.
（1）依题意，设圆的方程为，
由圆与轴相切于点，得，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以．
21．（2024高二下·克拉玛依期中）已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）设点是上第一象限内的点，求的取值范围.
【答案】（1）由双曲线过点且，故，
故，故的标准方程为；
（2）设，则，
因为点在第一象限，所以，且，，
所以，
所以的取值范围是.
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）结合已知，将双曲线上的点代入计算即可求得；
（2）设，则有，然后利用数量积的坐标运算化简整理为二次函数，利用函数性质求解范围即可.
（1）由双曲线过点且，故，
故，故的标准方程为；
（2）设，则，
因为点在第一象限，所以，且，，
所以，
所以的取值范围是.
22．（2024高二下·克拉玛依期中）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1），
当在上恒成立，故在上单调递增；
当时，令得；
令得，
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，，
所以．
令，
则．
令，
则．
因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，
即当时，．
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论其单调性，即可求解．
（2）由（1）知，从而，即证明，再构造新函数，利用导数得证．
（1），
当在上恒成立，故在上单调递增；
当时，令得；
令得，
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，，
所以．
令，
则．
令，
则．
因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，
即当时，．
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