第一章 勾股定理
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2024·连云港期中)若△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.(c+b)(c-b)=a2 B.∠A+∠B=∠C
C.a=32,b=42,c=52 D.a∶b∶c=5∶12∶13
2(2024·德州期末)下列各组数中,是勾股数的是 ( )
A.4,5,6 B.1,2,3 C.1.5,2,2.5 D.9,40,41
3现在人们锻炼身体的意识日渐增强,但是一些人保护环境的意识却很淡薄,如图是某公园的一角,有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC,而走“捷径AC”于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”,已知AB=40米,BC=30米,他们踩坏了 米的草坪,只为少走 米路 ( )
A.20 50 B.50 20 C.20 30 D.30 20
4我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能验证勾股定理的是 ( )
5(2024·保定期末)如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是 ( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
6如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 ( )
A.5∶8 B.3∶4 C.9∶16 D.1∶2
7在△ABC中,∠ACB=90°,AC=40,CB=9,M,N在AB上且AM=AC,BN=BC,则MN的长为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 ( )
A. B.4 C. D.5
9如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2等于 ( )
A.75 B.100 C.120 D.125
10(2024·北京期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG,正方形ACHI,正方形BCDE.连接GI,EF,DH,若EF2=34,DH=4,则六边形EDHIGF的面积为 ( )
A.28 B.26 C.32 D.30
二、填空题(每小题3分,共18分)
11若直角三角形的各边长扩大相同的倍数,则得到的三角形一定是 .(填三角形的类型)
12一个直角三角形的三边长为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积是
.
13在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是 .
14(2024·合肥期末)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4= .
15(2024·苏州期末)如图,△ABC的周长为36 cm,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点B移动;点Q从点B出发,以2 cm/s的速度向点C移动.如果P,Q两点同时出发,那么经过3 s后,△BPQ的面积为 cm2.
16动手操作:在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A'处,折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,则点A'在BC边上可移动的最大距离为
.
三、解答题(共52分)
17(8分)一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处,发现它的正上方点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是按如图所示的路线,绕到虫子后面吃掉它.已知树干横截面的周长为20 cm,A,B两点的距离为15 cm.若螳螂想吃掉在点B的小虫子,求螳螂绕行的最短路程.
18(8分)如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上一点,且AF=AD,试证明△FEC是直角三角形.
19(8分)如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图,王强同学测量出BC=1 m,NC= m,BN= m,AC=4.5 m,MC=6 m,求MA的长.
20(10分)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,C村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路 (即问:CH与AB是否垂直 )请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线AC的长.
21(8分)(2024·贵阳期末)利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明.
22(10分)(2024·南昌期末)如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处.
(1)求CE的长;
(2)在(1)的条件下,BC边上是否存在一点P,使得PA+PE值最小 若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【附加题】(10分)
(2024·泉州期末)请阅读下列材料:
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD,DE,EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE',连接E'D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD,DE,EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其他条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变 请说明你的猜想并给予证明;
(3)已知:如图3,等边三角形ABC中,点D,E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE,AD,EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数.第一章 勾股定理
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2024·连云港期中)若△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(C)
A.(c+b)(c-b)=a2 B.∠A+∠B=∠C
C.a=32,b=42,c=52 D.a∶b∶c=5∶12∶13
2(2024·德州期末)下列各组数中,是勾股数的是 (D)
A.4,5,6 B.1,2,3 C.1.5,2,2.5 D.9,40,41
3现在人们锻炼身体的意识日渐增强,但是一些人保护环境的意识却很淡薄,如图是某公园的一角,有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC,而走“捷径AC”于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”,已知AB=40米,BC=30米,他们踩坏了________米的草坪,只为少走________米路 (B)
A.20 50 B.50 20 C.20 30 D.30 20
4我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能验证勾股定理的是 (C)
5(2024·保定期末)如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是 (B)
A.4π B.8π C.12π D.16π
6如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 (A)
A.5∶8 B.3∶4 C.9∶16 D.1∶2
7在△ABC中,∠ACB=90°,AC=40,CB=9,M,N在AB上且AM=AC,BN=BC,则MN的长为 (C)
A.6 B.7 C.8 D.9
8如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 (C)
A. B.4 C. D.5
9如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2等于 (B)
A.75 B.100 C.120 D.125
10(2024·北京期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG,正方形ACHI,正方形BCDE.连接GI,EF,DH,若EF2=34,DH=4,则六边形EDHIGF的面积为 (A)
A.28 B.26 C.32 D.30
二、填空题(每小题3分,共18分)
11若直角三角形的各边长扩大相同的倍数,则得到的三角形一定是 直角三角形 .(填三角形的类型)
12一个直角三角形的三边长为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积是
13或5 .
13在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是 17 .
14(2024·合肥期末)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4= 4 .
15(2024·苏州期末)如图,△ABC的周长为36 cm,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点B移动;点Q从点B出发,以2 cm/s的速度向点C移动.如果P,Q两点同时出发,那么经过3 s后,△BPQ的面积为 18 cm2.
16动手操作:在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A'处,折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,则点A'在BC边上可移动的最大距离为
2 .
三、解答题(共52分)
17(8分)一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处,发现它的正上方点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是按如图所示的路线,绕到虫子后面吃掉它.已知树干横截面的周长为20 cm,A,B两点的距离为15 cm.若螳螂想吃掉在点B的小虫子,求螳螂绕行的最短路程.
【解析】把这段树干看成用纸卷成的圆柱,从AB处将它展开如图:
则AB即为所求的最短距离.
其中BC=15 cm,AC=20 cm,
在Rt△ACB中,AB=25 cm.
答:螳螂绕行的最短路程是25 cm.
18(8分)如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上一点,且AF=AD,试证明△FEC是直角三角形.
【证明】设AF=a,则AD=DC=4a,DF=3a,AE=BE=2a,
在Rt△DCF和Rt△AFE和Rt△BCE中,CF2=DF2+DC2=(3a)2+(4a)2=25a2,
FE2=AE2+AF2=(2a)2+a2=5a2,CE2=BE2+BC2=20a2,
所以CF2=FE2+CE2,所以△FEC是直角三角形.
19(8分)如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图,王强同学测量出BC=1 m,NC= m,BN= m,AC=4.5 m,MC=6 m,求MA的长.
【解析】因为BC=1 m,NC= m,BN= m,
所以BC 2=1,NC 2=,BN2=,
所以BC 2+NC 2=BN2,所以AC⊥MC.
在Rt△ACM中,
因为AC=4.5 m,MC=6 m,MA2=AC 2+CM2=56.25,
所以MA=7.5 m.
20(10分)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,C村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路 (即问:CH与AB是否垂直 )请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线AC的长.
【解析】(1)是,
理由是在△CHB中,
因为CH2+BH2=(2.4)2+(1.8)2=9,BC2=9,
所以CH2+BH2=BC2,所以CH⊥AB,
所以CH是从村庄C到河边的最近路;
(2)设AC=x千米,
在Rt△ACH中,由已知得AC=x,AH=(x-1.8),CH=2.4,
由勾股定理得AC 2=AH2+CH2,
所以x2=(x-1.8)2+(2.4)2,
解得x=2.5.
答:原来的路线AC的长为2.5千米.
21(8分)(2024·贵阳期末)利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明.
【证明】方法一:如题图1因为四边形HEFM的面积为c2,
四边形HEFM的面积还可以表示为4×ab+(b-a)2=a2+b2,
所以a2+b2=c2;
方法二:如题图2因为四边形ABCD的面积为(a+b)2,
四边形ABCD的面积还可以表示为4×ab+c2=c2+2ab,
所以a2+b2=c2.
22(10分)(2024·南昌期末)如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处.
(1)求CE的长;
(2)在(1)的条件下,BC边上是否存在一点P,使得PA+PE值最小 若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)长方形ABCD中,AB=8,BC=10,
所以∠B=∠BCD=90°,CD=AB=8,AD=BC=10,
由折叠知,EF=DE,AF=AD=10,
在Rt△ABF中,根据勾股定理得BF=6,
所以CF=BC-BF=4,
设CE=x,则EF=DE=CD-CE=8-x,
在Rt△ECF中,根据勾股定理得CF2+CE2=EF2,
所以16+x2=(8-x)2,所以x=3,所以CE=3;
(2)如图,延长EC至E'使CE'=CE=3,连接AE'交BC于P,
此时,PA+PE值最小,最小值为AE',
因为CD=8,所以DE'=CD+CE'=8+3=11,
在Rt△ADE'中,根据勾股定理得AE'2=221.
所以存在最小值,PA+PE的最小值为.
【附加题】(10分)
(2024·泉州期末)请阅读下列材料:
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD,DE,EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE',连接E'D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD,DE,EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其他条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变 请说明你的猜想并给予证明;
(3)已知:如图3,等边三角形ABC中,点D,E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE,AD,EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数.
【解析】(1)DE2=BD2+EC2;
(2)关系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
证明:解法一:将△ADB沿直线AD对折,得△AFD,连接FE,
显然△AFD≌△ABD,
所以AF=AB,FD=DB,
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,
又因为AB=AC,
所以AF=AC,
因为∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)=45°+∠DAB,
所以∠FAE=∠EAC,
又因为AE=AE,
所以△AFE≌△ACE,
所以FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°,
所以∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,
所以在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
即DE2=BD2+EC2;
解法二:将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB.连接DT.
所以∠ABT=∠C=45°,AT=AE,∠TAE=90°,
因为∠ABC=45°,
所以∠TBC=∠TBD=90°,
因为∠DAE=45°,
所以∠DAT=∠DAE,
因为AD=AD,
所以△DAT≌△DAE(SAS),
所以DT=DE,
因为DT2=DB2+BT2,
所以DE2=BD2+EC2;
(3)当AD=BE时,线段DE,AD,EB能构成一个等腰三角形.
如图,与(2)类似,以CE为一边,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,
可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA.
所以AD=DF,EF=BE.
所以∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°.
若使△DFE为等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE,
所以当AD=BE时,线段DE,AD,EB能构成一个等腰三角形,且顶角∠DFE为120°.
