第二章 实数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1在下列实数中:0,,-3.141 5,,,0.343 343 334…无理数有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2下列语句中正确的是(D)
A.-9的平方根是-3 B.9的平方根是3
C.9的算术平方根是±3 D.9的算术平方根是3
3下列六种说法正确的个数是(B)
①无限小数都是无理数;②正数、负数统称实数;③无理数的相反数还是无理数;④无理数与无理数的和一定还是无理数;⑤无理数与有理数的和一定是无理数;⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数.
A.1 B.2 C.3 D.4
4(2023·济南质检)下列计算错误的是(B)
A.·= B.2·3=6
C.÷=2 D.×=3
5(2023·简阳质检)如图,正方形OABC的边OC落在数轴上,OC=2,以O为圆心,OB长为半径作圆弧与数轴交于点D,则点D表示的数是(B)
A.2-1 B.-2-1 C.-1 D.--1
6已知a,b满足|2 023-a|-(b-2 024)=+,则=(A)
A.4 B.8 C.2 024 D.4 048
7计算÷×(a>0,b>0)的值为(B)
A. B. C. D.b
8如图,正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形,如果两个小正方形的面积分别是2和5,那么两个长方形的面积和为(B)
A. B.2 C.7 D.
9计算的结果是(D)
A.-3 B.3 C.-3 D.+3
10对任意两个正实数a,b,定义新运算a★b为:若a≥b,则a★b=;若a①a★b=b★a;②(a★b)(b★a)=1;③a★b+<2
A.① B.② C.①② D.①②③
二、填空题(每小题3分,共18分)
11比较大小:-3 < -2.(填“>”“<”或“=”)
12如果最简二次根式与能合并,那么a= 1 .
13若实数m,n满足(m-1)2+=0,则(m+n)5= -1 .
14实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简:+-|a-b|= a .
15计算:++x2-1= 0 .
16观察下列等式:=2,=3,请用含n(n≥2且n为整数)的等式表示上述规律为 =n .
三、解答题(共52分)
17(8分)计算:
(1)3-+-;(2)(+)2-(-)(+);
(3)÷-×+;(4)(2+4-)÷.
【解析】(1)3-+-=3-2+-3=-;
(2)(+)2-(-)(+)=2+4+6-(5-3)=2+4+6-5+3=6+4;
(3)÷-×+=4-+2=4+;
(4)(2+4-)÷=(4+-4)÷=÷=1.
18(8分)利用开方解方程:
(1)(3x-2)2-4=0;(2)(2x+3)3=16.
【解析】(1)(3x-2)2-4=0,
则(3x-2)2=36,
故3x-2=±6,
解得:x=或x=-;
(2)(2x+3)3=16,
则(2x+3)3=64,
故2x+3=4,
解得x=.
19(8分)(1)已知2a-1的算术平方根是3,14-3b的立方根是2,求a+2b的平方根;
(2)若2x-4与3x+1是同一个正数的两个平方根,求x的值.
【解析】(1)由题意可得2a-1=9,14-3b=8,
解得a=5,b=2,
所以a+2b=5+2×2=5+4=9,
所以a+2b的平方根为±3;
(2)由题意可得2x-4+3x+1=0,解得x=,
所以x的值为.
20(8分)如图,实数a,b在数轴上的位置,化简--.
【解析】因为a<0所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+a-b=-2b.
21(10分)已知+(ab-2)2=0,
求:+++…++.
【解析】由+(ab-2)2=0,可求出a=1,b=2,
代入得:+++…++
=1-+-+-+…+-+-
=1-=.
22(10分)问题背景:在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需要求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上:________.
思维拓展:
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a,2a,a(a>0),请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积;
探索创新:
(3)若△ABC三边的长分别为,,2(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法求出这个三角形的面积.
【解析】(1)
(2)如图:
S△ABC=2a×4a-a×2a-×2a×2a-a×4a=3a2;
(3)构造△ABC所示,
S△ABC=3m×4n-×m×4n-×3m×2n-×2m×2n=5mn.
【附加题】(10分)
小明在解决问题,已知a=,求2a2-8a+1的值,他是这样分析与解答的:
因为a===2-.
所以a-2=-.
所以(a-2)2=3,即a2-4a+4=3.
所以a2-4a=-1,
所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.
请你根据小明的分析过程,解决如下问题:
(1)计算:=__________;
(2)计算:+++…+;
(3)若a=,求3a2-18a+5的值.
【解析】(1)
=
=-;
(2)+++…+
=-1+-+-…+-
=-1;
(3)a===+3,
则3a2-18a+5
=3(a2-6a)+5
=3(a2-6a+9)-27+5
=3(a-3)2-22
=3×10-22
=8.第二章 实数
一、选择题(每小题3分,共30分)
1在下列实数中:0,,-3.141 5,,,0.343 343 334…无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2下列语句中正确的是( )
A.-9的平方根是-3 B.9的平方根是3
C.9的算术平方根是±3 D.9的算术平方根是3
3下列六种说法正确的个数是( )
①无限小数都是无理数;②正数、负数统称实数;③无理数的相反数还是无理数;④无理数与无理数的和一定还是无理数;⑤无理数与有理数的和一定是无理数;⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数.
A.1 B.2 C.3 D.4
4(2023·济南质检)下列计算错误的是( )
A.·= B.2·3=6
C.÷=2 D.×=3
5(2023·简阳质检)如图,正方形OABC的边OC落在数轴上,OC=2,以O为圆心,OB长为半径作圆弧与数轴交于点D,则点D表示的数是( )
A.2-1 B.-2-1 C.-1 D.--1
6已知a,b满足|2 023-a|-(b-2 024)=+,则=( )
A.4 B.8 C.2 024 D.4 048
7计算÷×(a>0,b>0)的值为( )
A. B. C. D.b
8如图,正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形,如果两个小正方形的面积分别是2和5,那么两个长方形的面积和为( )
A. B.2 C.7 D.
9计算的结果是( )
A.-3 B.3 C.-3 D.+3
10对任意两个正实数a,b,定义新运算a★b为:若a≥b,则a★b=;若a①a★b=b★a;②(a★b)(b★a)=1;③a★b+<2
A.① B.② C.①② D.①②③
二、填空题(每小题3分,共18分)
11比较大小:-3 -2.(填“>”“<”或“=”)
12如果最简二次根式与能合并,那么a= .
13若实数m,n满足(m-1)2+=0,则(m+n)5= .
14实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简:+-|a-b|= .
15计算:++x2-1= .
16观察下列等式:=2,=3,请用含n(n≥2且n为整数)的等式表示上述规律为 .
三、解答题(共52分)
17(8分)计算:
(1)3-+-;(2)(+)2-(-)(+);
(3)÷-×+;(4)(2+4-)÷.
18(8分)利用开方解方程:
(1)(3x-2)2-4=0;(2)(2x+3)3=16.
19(8分)(1)已知2a-1的算术平方根是3,14-3b的立方根是2,求a+2b的平方根;
(2)若2x-4与3x+1是同一个正数的两个平方根,求x的值.
20(8分)如图,实数a,b在数轴上的位置,化简--.
21(10分)已知+(ab-2)2=0,
求:+++…++.
22(10分)问题背景:在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需要求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上: .
思维拓展:
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a,2a,a(a>0),请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积;
探索创新:
(3)若△ABC三边的长分别为,,2(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法求出这个三角形的面积.
【附加题】(10分)
小明在解决问题,已知a=,求2a2-8a+1的值,他是这样分析与解答的:
因为a===2-.
所以a-2=-.
所以(a-2)2=3,即a2-4a+4=3.
所以a2-4a=-1,
所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.
请你根据小明的分析过程,解决如下问题:
(1)计算:= ;
(2)计算:+++…+;
(3)若a=,求3a2-18a+5的值.
