第七章 平行线的证明
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列命题是真命题的是 (A)
A.两直线平行,同位角相等 B.如果>0,那么a>0,b>0
C.三角形三条中线不一定交于一点 D.所有合数都是偶数
2如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 (B)
A.90° B.180° C.120° D.360°
3如图,已知直线a⊥c,b⊥c,∠1=72°,那么∠2的度数是 (D)
A.72° B.82° C.92° D.108°
4如图,探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关,如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB,OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α,∠DCO=β,则∠BOC的度数为 (B)
A.180°-α-β B.α+β C.(α+β) D.90°+(β-α)
5某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为_______度时,AM与CB平行.(C)
A.16 B.60 C.66 D.114
6下列说法正确的是 (D)
A.在同一平面内两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
B.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角一定相等
C.两个相等的角一组边平行,那么另一组边也平行
D.在同一平面内,一条直线垂直于平行线中的一条,也一定垂直于另一条
7若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则这个等腰三角形的底角是 (A)
A.60°或30° B.60° C.30°或120° D.60°或120°
8如图,AB∥CD,将一副直角三角板作如下摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°.下列结论:
①GE∥MP;②∠EFN=150°;③∠BEF=75°;④∠AEG=∠PMN.
其中正确的个数是 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
9如图,已知矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则DF的长为 (C)
A. B. C. D.
10如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是 (B)
A. B.1 C. D.
二、填空题(每小题3分,共18分)
11命题“对顶角相等”的题设是 两个角是对顶角 ,结论是 这两个角相等 ,它是 真 命题(填“真”或“假”).
12如图,两平面镜α,β的夹角为θ,入射光线AO平行于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O'B平行于α,则∠θ等于 60 °.
13如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC>AD,∠B与∠C互余,将AB,CD分别平移到EF和EG的位置,则△EFG为 直角 三角形.
14如图,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=20°,则∠2= 40 °.
15如图,在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE,CF分别是边AC,AB上的高,交于点H,∠CBE,∠BCF的平分线交于点O,则∠BHC= ∠BOC.
16如图,在△ABC中,BD,BE分别是△ABC的高线和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于点G,交BC于点H.下列结论:①∠DBE=∠F;②∠BEF=(∠BAF+∠C);③∠FGD=∠ABE+∠C;④∠F=(∠BAC-∠C);其中正确的是 ①②③④ .(填序号)
三、解答题(共52分)
17 (6分)(2024·保定期末)如图是一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,当∠EOF=90°,∠ODC=30°时,人躺着最舒服,求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数.
【解析】∵扶手AB与底座CD都平行于地面,
∴AB∥CD,
∴∠ODC=∠BOD=30°,
又∵∠EOF=90°,
∴∠AOE=60°,
∵DM∥OE,
∴∠AND=∠AOE=60°,
∴∠ANM=180°-∠AND=120°.
18(8分)完成推理过程和理由.
已知,AD⊥BC,FG⊥BC,垂足分别为D,G,且∠1=∠2.
求证:∠C+∠EDC=180°,
证明:∵AD⊥BC,FG⊥BC(已知),
∴∠ADC=∠FGC=90°(____________________),
∴AD∥FG(____________________),
∴∠1=∠3(_________________________).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠3(_________________________),
∴(_________________________)(_________________________),
∴∠C+∠EDC=180°(____________________________).
【解析】∵AD⊥BC,FG⊥BC(已知),
∴∠ADC=∠FGC=90°(垂直的定义),
∴AD∥FG(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠3(等量代换),
∴DE∥AC(内错角相等,两直线平行),
∴∠C+∠EDC=180°(两直线平行,同旁内角互补).
答案:垂直的定义 同位角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等 等量代换 DE∥AC 内错角相等,两直线平行 两直线平行,同旁内角互补
19(8分)如图,已知∠α和∠β的度数满足方程组,且CD∥EF,AC⊥AE.
(1)分别求∠α和∠β的度数;
(2)求∠C的度数.
【解析】(1)解方程组,
①-②得:3∠α=150°,解得∠α=50°,
把∠α=50°代入②得:∠β-50°=80°,解得∠β=130°;
(2)∵∠α+∠β=50°+130°=180°,∴AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行),
又∵CD∥EF,∴AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,
∵AC⊥AE,∴∠CAE=90°,∴∠C=180°-90°-50°=40°.
20 (8分)(2024·绍兴期末)如图,∠1=∠BCE,∠2+∠3=180°.
(1)判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(2)若CA平分∠BCE,EF⊥AB于F,∠1=72°,求∠BAD的度数.
【解析】(1)AC∥EF.理由:∵∠1=∠BCE,
∴AD∥CE.∴∠2=∠4.∵∠2+∠3=180°,
∴∠4+∠3=180°.∴EF∥AC.
(2)∵AD∥EC,CA平分∠BCE,∴∠ACD=∠4=∠2.
∵∠1=72°,∴∠2=36°.∵EF∥AC,EF⊥AB于F,
∴∠BAC=∠F=90°.∴∠BAD=∠BAC-∠2=54°.
21 (10分)(2024·梅州市期中)将一块三角板CDE(∠CDE=90°,∠CED=60°)按如图所示方式放置,使顶点C落在∠AOB的边OB上,CE∥OA.经过点E画直线MN∥OB,交OA边于点M.
(1)如图1,若∠AMN=60°.①求∠ECB的度数;②试说明:ED平分∠CEN;
(2)如图2,EF平分∠DEN,交OB边于点F,试探索∠O与∠EFB之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)①∵MN∥OB,∠AMN=60°,∴∠O=∠AMN=60°,
∵CE∥OA,∴∠ECB=∠O=60°;
②∵CE∥OA,∠AMN=60°,∴∠CEM=∠AMN=60°,
∵∠CED=60°,∴∠DEN=180°-∠CEM-∠CED=180°-60°-60°=60°,
∴∠CED=∠DEN,∴ED平分∠CEN;
(2)∠EFB=120°+∠O,理由如下:
设∠O=x,∵CE∥OA,∴∠ECB=∠O=x,∵MN∥OB,
∴∠CEN=180°-∠ECB=180°-x,
∵∠CED=60°,∴∠DEN=∠CEN-∠CED=180°-x-60°=120°-x,
∵EF平分∠DEN,∴∠DEF=∠FEN=(120°-x)=60°-,
∵MN∥OB,∴∠EFC=∠FEN=60°-,
∴∠EFB=180°-∠EFC=180°-(60°-)=120°+,∴∠EFB=120°+∠O.
22(12分)【理解探究】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90°,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.
【问题解决】
(1)如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,求证:△ADC≌△CEB;
【问题探究】
(2)如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于D,BE⊥CE于E,AD=8 cm,BE=3 cm,求DE的长;
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰直角△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,且在平面直角坐标系中,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(7,3),点B是第一、第三象限的角平分线l上的一个点,求点C的坐标.
【解析】(1)∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠D=∠E=90°=∠ACB,
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD,
∴∠BCE=∠CAD,
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠BEC=90°=∠ACB,
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD,
∴∠BCE=∠CAD,
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE=8 cm,BE=CD=3 cm,
∴DE=CE-CD=5 cm.
(3)如图3,当点B在第一象限角平分线上时,过点A作AD⊥直线CO于D,过点B作BE⊥直线AD于E,
∴∠ADC=∠BEA=90°=∠CAB,
∴∠CAD+∠BAE=90°=∠CAD+∠ACD,
∴∠ACD=∠BAE,
又∵AB=AC,
∴△ACD≌△BAE(AAS),
∴AD=BE,CD=AE,
∵点A的坐标为(7,3),
∴AD=7,DO=3,
∴BE=AD=7,DE=7+3=10=DA+AE,
∴AE=CD=3,
∴CO=6,
∴点C的坐标为(0,6);
如图4,当点B在第三象限角平分线上时,过点A作AD⊥直线CO于D,过点B作BE⊥直线AD于E,
同理可求:△ACD≌△BAE(AAS),
∴AD=BE,CD=AE,
∵点A的坐标为(7,3),
∴AD=7,DO=3,
∴AD=BE=7,
∴DE=4,
∴AE=CD=11,
∴CO=14,
∴点C的坐标为(0,14),
综上所述:点C的坐标为(0,14)或(0,6).
【附加题】(10分)
(1)如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数;
(2)如图2,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A,B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系 请说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果点P在A,B两点外侧的射线OM上运动时(点P与点A,B,O三点不重合),请你写出∠CPD,∠α,∠β间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)如图1,过点P作GH∥AB.
∴∠BAP+∠APH=180°,
∴∠APH=180°-∠BAP=180°-130°=50°.
∵AB∥CD,GH∥AB,∴CD∥GH.
∴∠PCD+∠HPC=180°.
∴∠HPC=180°-∠PCD=180°-120°=60°.
∴∠APC=∠HPC+∠APH=60°+50°=110°.
(2)如图2,过点P作EF∥AD.
∴∠ADP=∠DPF,即∠α=∠DPF.
∵EF∥AD,AD∥BC,
∴EF∥BC.
∴∠FPC=∠PCB,即∠FPC=∠β.
∴∠CPD=∠DPF+∠CPF=∠α+∠β.
∴∠CPD=∠α+∠β.
(3)当P在A的左侧时,如图3.
∵AD∥BC,
∴∠DKC=∠BCP=∠β.
又∵∠DKC=∠CPD+∠ADP,
∴∠β=∠CPD+∠α,即∠CPD=∠β-∠α.
当P在B的右侧时,如图4.
∵AD∥BC,∴∠ADP=∠DQC=∠α.
又∵∠DQC=∠CPD+∠BCP,
∴∠α=∠CPD+∠β.
∴∠CPD=∠α-∠β.第七章 平行线的证明
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列命题是真命题的是 ( )
A.两直线平行,同位角相等 B.如果>0,那么a>0,b>0
C.三角形三条中线不一定交于一点 D.所有合数都是偶数
2如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 ( )
A.90° B.180° C.120° D.360°
3如图,已知直线a⊥c,b⊥c,∠1=72°,那么∠2的度数是 ( )
A.72° B.82° C.92° D.108°
4如图,探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关,如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB,OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α,∠DCO=β,则∠BOC的度数为 ( )
A.180°-α-β B.α+β C.(α+β) D.90°+(β-α)
5某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为度时,AM与CB平行.( )
A.16 B.60 C.66 D.114
6下列说法正确的是 ( )
A.在同一平面内两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
B.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角一定相等
C.两个相等的角一组边平行,那么另一组边也平行
D.在同一平面内,一条直线垂直于平行线中的一条,也一定垂直于另一条
7若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则这个等腰三角形的底角是 ( )
A.60°或30° B.60° C.30°或120° D.60°或120°
8如图,AB∥CD,将一副直角三角板作如下摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°.下列结论:
①GE∥MP;②∠EFN=150°;③∠BEF=75°;④∠AEG=∠PMN.
其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9如图,已知矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则DF的长为 ( )
A. B. C. D.
10如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是 ( )
A. B.1 C. D.
二、填空题(每小题3分,共18分)
11命题“对顶角相等”的题设是,结论是,它是命题(填“真”或“假”).
12如图,两平面镜α,β的夹角为θ,入射光线AO平行于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O'B平行于α,则∠θ等于°.
13如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC>AD,∠B与∠C互余,将AB,CD分别平移到EF和EG的位置,则△EFG为三角形.
14如图,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=20°,则∠2= °.
15如图,在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE,CF分别是边AC,AB上的高,交于点H,∠CBE,∠BCF的平分线交于点O,则∠BHC=∠BOC.
16如图,在△ABC中,BD,BE分别是△ABC的高线和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于点G,交BC于点H.下列结论:①∠DBE=∠F;②∠BEF=(∠BAF+∠C);③∠FGD=∠ABE+∠C;④∠F=(∠BAC-∠C);其中正确的是.(填序号)
三、解答题(共52分)
17 (6分)(2024·保定期末)如图是一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,当∠EOF=90°,∠ODC=30°时,人躺着最舒服,求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数.
18(8分)完成推理过程和理由.
已知,AD⊥BC,FG⊥BC,垂足分别为D,G,且∠1=∠2.
求证:∠C+∠EDC=180°,
证明:∵AD⊥BC,FG⊥BC(已知),
∴∠ADC=∠FGC=90°( ),
∴AD∥FG( ),
∴∠1=∠3( ).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠3( ),
∴()(),
∴∠C+∠EDC=180°( ).
19(8分)如图,已知∠α和∠β的度数满足方程组,且CD∥EF,AC⊥AE.
(1)分别求∠α和∠β的度数;
(2)求∠C的度数.
20 (8分)(2024·绍兴期末)如图,∠1=∠BCE,∠2+∠3=180°.
(1)判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(2)若CA平分∠BCE,EF⊥AB于F,∠1=72°,求∠BAD的度数.
21 (10分)(2024·梅州市期中)将一块三角板CDE(∠CDE=90°,∠CED=60°)按如图所示方式放置,使顶点C落在∠AOB的边OB上,CE∥OA.经过点E画直线MN∥OB,交OA边于点M.
(1)如图1,若∠AMN=60°.①求∠ECB的度数;②试说明:ED平分∠CEN;
(2)如图2,EF平分∠DEN,交OB边于点F,试探索∠O与∠EFB之间的数量关系,并说明理由.
22(12分)【理解探究】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90°,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.
【问题解决】
(1)如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,求证:△ADC≌△CEB;
【问题探究】
(2)如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于D,BE⊥CE于E,AD=8 cm,BE=3 cm,求DE的长;
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰直角△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,且在平面直角坐标系中,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(7,3),点B是第一、第三象限的角平分线l上的一个点,求点C的坐标.
【附加题】(10分)
(1)如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数;
(2)如图2,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A,B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系 请说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果点P在A,B两点外侧的射线OM上运动时(点P与点A,B,O三点不重合),请你写出∠CPD,∠α,∠β间的数量关系,并说明理由.
