第三章 位置与坐标
一、选择题(每小题3分,共30分)
1在平面直角坐标系中,点A(4,-3)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2张家口市历史悠久,早在原始社会末期,黄帝部落联盟“与蚩尤战于涿野之郡”,而“邑于涿鹿之阿”.以下能够准确表示张家口市地理位置的是( )
A.离北京市200千米 B.在河北省
C.在宁德市北方 D.东经114.8°,北纬40.8°
3小明乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示,每相邻两个圆之间距离是1 km(小圆半径是1 km),若小艇C在游船的正南方2 km处,则下列关于小艇A,B的位置描述,正确的是( )
A.小艇A在游船的北偏东60°,且距游船3 km
B.游船在小艇A的北偏东60°,且距小艇A3 km
C.小艇B在游船的北偏西30°,且距游船2 km
D.小艇B在游船的北偏西60°,且距游船2 km
4(2024·济南质检)如图,在方格纸上,用(1,1)表示点A的位置,用(2,3)表示点C的位置,则点B的位置表示为( )
A.(3,1) B.(3,2) C.(4,2) D.(4,3)
5点M(m+1,m+3)在y轴上,则M点的坐标为( )
A.(0,-4) B.(4,0) C.(-2,0) D.(0,2)
6若点M在第一、三象限的角平分线上,且点M到x轴的距离为2,则点M的坐标是( )
A.(2,2) B.(-2,-2)
C.(2,2)或(-2,-2) D.(2,-2)或(-2,2)
7已知P(0,a)在y轴的负半轴上,则Q(-a2-1,-a+1)在( )
A.y轴的左边,x轴上方 B.y轴的右边,x轴上方
C.y轴的左边,x轴下方 D.y轴的右边,x轴下方
8如图,在平面直角坐标系中,B,C两点的坐标分别为(-3,0)和(7,0),AB=AC=13,则点A的坐标为( )
A.(2,12) B.(3,13) C.(5,12) D.(5,13)
9(2024·杭州期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC≌△DEF,AB=BC=5,若点A的坐标为(-3,1),点B,C在直线y=-3上,点D在y轴的正半轴上,且点E的坐标为(0,-1),则点F的坐标为( )
A.(4,2) B.(3,2) C.(4,3) D.(5,3)
10(2024·北京东城区期末)对一组数(x,y)的一次操作变换记为P1(x,y),定义其变换法则如下:P1(x,y)=(x+y,x-y),且规定Pn(x,y)=P1((x,y))(n为大于1的整数),如P1(1,2)=(3,-1),P2(1,2)=P1(P1(1,2))=P1(3,-1)=(2,4),P3(1,2)=P1(P2(1,2))=P1(2,4)=(6,-2),则P2 024(1,-1)=( )
A.(0,21 012) B.(21 012,-21 012) C.(0,-21 012) D.(21 012,21 012)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11若P(x,y)是第四象限内的点,且点P到x轴距离为3,到y轴距离为2,则点P的坐标是 .
12若+(b+2)2=0,则点M(a,b)关于x轴的对称点的坐标为 .
13在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形如图所示,点B在y轴上,且坐标是(0,2),点C在x轴上,则点D的坐标为 .
14如图,在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(4,3),P是坐标轴上的一点,若以O,A,P三点为顶点的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有 个.
15已知点A(2,0),B(2,4),以点A,B,P(点P不与点O重合)为顶点的三角形与△ABO全等,则符合要求的点P坐标可以是 .
16如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头方向,每次移动一个单位长度,依次得到点P1(0,-1),P2(-1,-1),P3(-1,0),P4(-1,1),P5(-2,1),P6(-2,0),…,则点P2 023的坐标是 .
三、解答题(共52分)
17(6分)如图在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1).
(1)在图中作△A'B'C'使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称;
(2)写出点A',B',C'的坐标.
18(8分)(2024·桂林期末)已知点P(2m+4,m-1),请分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P在x轴上;
(2)点P的纵坐标比横坐标大3;
(3)点P在过点A(2,-4)且与y轴平行的直线上.
19 (8分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-4,1),B(1,1),C(-3,3).
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若点C关于直线AB的对称点为点D,则点D的坐标为 ;
(3)连接CD,BD,则△BCD的周长为 .
20 (10分)在平面直角坐标系中,A(-4,0),点C是y轴正半轴上的一点,且∠ACB
=90°,AC=BC.
(1)如图①,若点B在第四象限,C(0,2),求点B的坐标;
(2)如图②,若点B在第二象限,以OC为直角边在第一象限作等腰Rt△COF,连接BF,交y轴于点M,求CM的长.
21(10分)如图,四边形OABC为长方形,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,已知点A的坐标为(0,6),点C的坐标为(8,0).
(1)直接写出点B的坐标为 ;
(2)有一动点D从原点O出发,以1单位长度/秒的速度沿线段OA向终点A运动.当直线CD将长方形OABC的周长分为3∶4两部分时,求点D的运动时间t的值;
(3)在(2)的条件下,点E为坐标轴上一点,若三角形CDE的面积是24.求点E的坐标.
22(10分)对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),若点P'的坐标为(a+kb,ka+b)(其中k为常数,且k≠0),则称点P'为点P的“k属派生点”,例如:P(1,4)的“2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4),即P'(9,6).
(1)点P(-2,3)的“2属派生点”P'的坐标为 ;
(2)若点P的“4属派生点”P'的坐标为(2,-7),求点P的坐标;
(3)若点P在y轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为P'点,且线段PP'的长度为线段OP长度的3倍,求k的值.
【附加题】(10分)
(2024·杭州期末)如图1,A(-1,0),B(0,2),以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC.
(1)求C点的坐标;
(2)在坐标平面内是否存在一点P,使△PAB与△ABC全等 若存在,直接写出P点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点E为y轴正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△AEM,过M作MN⊥x轴于N,直接写出OE-MN的值.第三章 位置与坐标
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1在平面直角坐标系中,点A(4,-3)位于(D)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2张家口市历史悠久,早在原始社会末期,黄帝部落联盟“与蚩尤战于涿野之郡”,而“邑于涿鹿之阿”.以下能够准确表示张家口市地理位置的是(D)
A.离北京市200千米 B.在河北省
C.在宁德市北方 D.东经114.8°,北纬40.8°
3小明乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示,每相邻两个圆之间距离是1 km(小圆半径是1 km),若小艇C在游船的正南方2 km处,则下列关于小艇A,B的位置描述,正确的是(D)
A.小艇A在游船的北偏东60°,且距游船3 km
B.游船在小艇A的北偏东60°,且距小艇A3 km
C.小艇B在游船的北偏西30°,且距游船2 km
D.小艇B在游船的北偏西60°,且距游船2 km
4(2024·济南质检)如图,在方格纸上,用(1,1)表示点A的位置,用(2,3)表示点C的位置,则点B的位置表示为(C)
A.(3,1) B.(3,2) C.(4,2) D.(4,3)
5点M(m+1,m+3)在y轴上,则M点的坐标为(D)
A.(0,-4) B.(4,0) C.(-2,0) D.(0,2)
6若点M在第一、三象限的角平分线上,且点M到x轴的距离为2,则点M的坐标是(C)
A.(2,2) B.(-2,-2)
C.(2,2)或(-2,-2) D.(2,-2)或(-2,2)
7已知P(0,a)在y轴的负半轴上,则Q(-a2-1,-a+1)在(A)
A.y轴的左边,x轴上方 B.y轴的右边,x轴上方
C.y轴的左边,x轴下方 D.y轴的右边,x轴下方
8如图,在平面直角坐标系中,B,C两点的坐标分别为(-3,0)和(7,0),AB=AC=13,则点A的坐标为(A)
A.(2,12) B.(3,13) C.(5,12) D.(5,13)
9(2024·杭州期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC≌△DEF,AB=BC=5,若点A的坐标为(-3,1),点B,C在直线y=-3上,点D在y轴的正半轴上,且点E的坐标为(0,-1),则点F的坐标为(A)
A.(4,2) B.(3,2) C.(4,3) D.(5,3)
10(2024·北京东城区期末)对一组数(x,y)的一次操作变换记为P1(x,y),定义其变换法则如下:P1(x,y)=(x+y,x-y),且规定Pn(x,y)=P1((x,y))(n为大于1的整数),如P1(1,2)=(3,-1),P2(1,2)=P1(P1(1,2))=P1(3,-1)=(2,4),P3(1,2)=P1(P2(1,2))=P1(2,4)=(6,-2),则P2 024(1,-1)=(B)
A.(0,21 012) B.(21 012,-21 012) C.(0,-21 012) D.(21 012,21 012)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11若P(x,y)是第四象限内的点,且点P到x轴距离为3,到y轴距离为2,则点P的坐标是 (2,-3) .
12若+(b+2)2=0,则点M(a,b)关于x轴的对称点的坐标为 (3,2) .
13在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形如图所示,点B在y轴上,且坐标是(0,2),点C在x轴上,则点D的坐标为 (3,1) .
14如图,在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(4,3),P是坐标轴上的一点,若以O,A,P三点为顶点的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有 8 个.
15已知点A(2,0),B(2,4),以点A,B,P(点P不与点O重合)为顶点的三角形与△ABO全等,则符合要求的点P坐标可以是 (0,4)或(4,0)或(4,4) .
16如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头方向,每次移动一个单位长度,依次得到点P1(0,-1),P2(-1,-1),P3(-1,0),P4(-1,1),P5(-2,1),P6(-2,0),…,则点P2 023的坐标是 (-674,-1) .
三、解答题(共52分)
17(6分)如图在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1).
(1)在图中作△A'B'C'使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称;
(2)写出点A',B',C'的坐标.
【解析】(1)如图.
(2)点A'的坐标为(4,0),点B'的坐标为(-1,-4),点C'的坐标为(-3,-1).
18(8分)(2024·桂林期末)已知点P(2m+4,m-1),请分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P在x轴上;
(2)点P的纵坐标比横坐标大3;
(3)点P在过点A(2,-4)且与y轴平行的直线上.
【解析】(1)因为点P(2m+4,m-1)在x轴上,所以m-1=0,
解得m=1,所以2m+4=2×1+4=6,所以,点P的坐标为(6,0);
(2)因为点P(2m+4,m-1)的纵坐标比横坐标大3,所以m-1-(2m+4)=3,
解得m=-8,所以2m+4=2×(-8)+4=-12,m-1=-8-1=-9,
所以点P的坐标为(-12,-9);
(3)因为点P(2m+4,m-1)在过点A(2,-4)且与y轴平行的直线上,所以2m+4=2,
解得m=-1,所以m-1=-1-1=-2,所以点P的坐标为(2,-2).
19 (8分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-4,1),B(1,1),C(-3,3).
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若点C关于直线AB的对称点为点D,则点D的坐标为________;
(3)连接CD,BD,则△BCD的周长为________.
【解析】(1)因为AC2=5,BC2=20,AB2=25,
所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形.
(2)如图所示:
点D的坐标为(-3,-1).
答案:(-3,-1)
(3)DC=4,BC=BD=2,△BCD的周长为4+4.
答案:4+4
20 (10分)在平面直角坐标系中,A(-4,0),点C是y轴正半轴上的一点,且∠ACB
=90°,AC=BC.
(1)如图①,若点B在第四象限,C(0,2),求点B的坐标;
(2)如图②,若点B在第二象限,以OC为直角边在第一象限作等腰Rt△COF,连接BF,交y轴于点M,求CM的长.
【解析】(1)作BD⊥y轴,
因为∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
所以∠BCD=∠CAO,
在△ACO和△CBD中,
所以△ACO≌△CBD(AAS),
所以CD=AO=4,BD=CO=2,
所以B点坐标为(2,-2);
(2)作BG⊥y轴,
因为∠CAO+∠OCA=90°,∠OCA+∠BCG=90°,
所以∠CAO=∠BCG,
在△CAO和△BCG中,
所以△CAO≌△BCG(AAS),
所以CG=AO,BG=OC,
因为OC=CF,所以CF=BG,
在△BGM和△FCM中,
所以△BGM≌△FCM(AAS),所以MC=MG,
所以MC=CG=AO=2.
即CM的长为2.
21(10分)如图,四边形OABC为长方形,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,已知点A的坐标为(0,6),点C的坐标为(8,0).
(1)直接写出点B的坐标为________;
(2)有一动点D从原点O出发,以1单位长度/秒的速度沿线段OA向终点A运动.当直线CD将长方形OABC的周长分为3∶4两部分时,求点D的运动时间t的值;
(3)在(2)的条件下,点E为坐标轴上一点,若三角形CDE的面积是24.求点E的坐标.
【解析】(1)因为四边形OABC为长方形,
而点A的坐标为(0,6),点C的坐标为(8,0),
所以B点坐标为(8,6).
答案:(8,6)
(2)如图1,OD=t,AD=6-t,OC=8,BC=6,AB=8,
因为直线CD将长方形OABC的周长分为3∶4两部分,
所以(OD+OC)∶(AD+AB+BC)=3∶4,
即(t+8)∶(6-t+8+6)=3∶4,
所以t=4;
(3)如图2,D点坐标为(0,4),C点坐标为(8,0),
设E点坐标为(a,0),
因为三角形CDE的面积是24,
所以×4×|8-a|=24,解得a=-4或a=20,
所以E点坐标为(-4,0)或(20,0).
同理可得:在y轴上还有(0,10)和(0,-2)两个点.
综上,点E的坐标为(-4,0)或(20,0)或(0,10)或(0,-2).
22(10分)对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),若点P'的坐标为(a+kb,ka+b)(其中k为常数,且k≠0),则称点P'为点P的“k属派生点”,例如:P(1,4)的“2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4),即P'(9,6).
(1)点P(-2,3)的“2属派生点”P'的坐标为________;
(2)若点P的“4属派生点”P'的坐标为(2,-7),求点P的坐标;
(3)若点P在y轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为P'点,且线段PP'的长度为线段OP长度的3倍,求k的值.
【解析】(1)由定义可知,-2+2×3=4,2×(-2)+3=-1,
所以P'的坐标为(4,-1).
答案:(4,-1)
(2)设P(a,b),所以2=a+4b,-7=4a+b,
所以a=-2,b=1,所以P(-2,1).
(3)因为点P在y轴的正半轴上,所以P点的横坐标为0,
设P(0,b),
则点P的“k属派生点”P'点为(kb,b),
所以PP'=|kb|,PO=|b|,
因为线段PP'的长度为线段OP长度的3倍,
所以|kb|=3|b|,所以k=±3.
【附加题】(10分)
(2024·杭州期末)如图1,A(-1,0),B(0,2),以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC.
(1)求C点的坐标;
(2)在坐标平面内是否存在一点P,使△PAB与△ABC全等 若存在,直接写出P点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点E为y轴正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△AEM,过M作MN⊥x轴于N,直接写出OE-MN的值.
【解析】(1)作CE⊥y轴于E,如图1,
因为A(-1,0),B(0,2),
所以OA=1,OB=2,
因为∠CBA=90°,
所以∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°,
所以∠ECB+∠EBC=90°,∠CBE+∠ABO=90°,
所以∠ECB=∠ABO,
在△CBE和△BAO中,
所以△CBE≌△BAO,
所以CE=BO=2,BE=AO=1,
即OE=1+2=3,
所以C(-2,3).
(2)存在一点P,使△PAB与△ABC全等,
分为四种情况:①如图2,当P和C重合时,△PAB和△ABC全等,即此时P的坐标是(-2,3);
②如图3,过P作PE⊥x轴于E,
则∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°,
所以∠EPA+∠PAE=90°,∠PAE+∠BAO=90°,
所以∠EPA=∠BAO,
在△PEA和△AOB中,
所以△PEA≌△AOB,
所以PE=AO=1,EA=BO=2,
所以OE=1+2=3,
即P的坐标是(-3,1);
③如图4,过C作CM⊥x轴于M,过P作PE⊥x轴于E,
则∠CMA=∠PEA=90°,
因为△CBA≌△PBA,
所以∠PAB=∠CAB=45°,AC=AP,
所以∠CAP=90°,
所以∠MCA+∠CAM=90°,∠CAM+∠PAE=90°,
所以∠MCA=∠PAE,
在△CMA和△AEP中,
所以△CMA≌△AEP,
所以PE=AM,CM=AE,
因为C(-2,3),A(-1,0),
所以PE=2-1=1,OE=AE-AO=3-1=2,
即P的坐标是(2,1);
④如图5,过P作PE⊥x轴于E,
因为△CBA≌△PAB,
所以AB=AP,∠CBA=∠BAP=90°,
因为∠AEP=∠AOB=90°,
所以∠BAO+∠PAE=90°,∠PAE+∠APE=90°,
所以∠BAO=∠APE,
在△AOB和△PEA中,
所以△AOB≌△PEA,
所以PE=AO=1,AE=OB=2,
所以OE=AE-AO=2-1=1,
即P的坐标是(1,-1).
综合上述:符合条件的P的坐标是(-3,1)或(1,-1)或(2,1)或(-2,3).
(3)如图6,作MF⊥y轴于F,
则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°,
因为∠AEO+∠MEF=90°,∠MEF+∠EMF=90°,
所以∠AEO=∠EMF,
在△AOE和△EFM中,
所以△AOE≌△EFM(AAS),
所以EF=AO=1,MF=OE,
因为MN⊥x轴,MF⊥y轴,
所以∠MFO=∠FON=∠MNO=90°,
所以四边形FONM是矩形,
所以MN=OF,
所以OE-MN=OE-OF=EF=OA=1.
