第四章 一次函数
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2024·济南质检)下列各曲线中,不表示y是x的函数的是 (D)
2若点P在一次函数y=-x+4的图象上,则点P一定不在 (C)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3(2023·临夏州中考)若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为 (D)
A.-2 B.-1 C.- D.2
4若点(m,n)在坐标系中的第四象限,则一次函数y=(m+2)x+n-4的图象一定不经过 (B)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5(2024·牡丹江质检)若a<-1,则一次函数y=(a+1)x+1-a的图象可能是 (D)
6已知点A(,m),B(,n)在一次函数y=2x+1的图象上,则m与n的大小关系是 (C)
A.m>n B.m=n C.m7(2024·济宁质检)如图,在等边三角形ABO中,边OA在x轴上,点A的坐标为(-m,0),直线y=-x+2与x轴交于点C,与y轴交于点D,将△ABO沿x轴向右平移3个单位,点B的对应点B'恰好落在直线CD上,则点B'的坐标为 (A)
A.(2,) B.(3,) C.(2,2) D.(2,2)
8小李与小陆从A地出发, 骑自行车沿同一条路行驶到B地, 他们离出发地的距离S(单位:km)和行驶时间t(单位:h)之间的函数关系的图象如图所示, 根据图中提供的信息, 有下列说法:
(1)他们都行驶了20 km;(2)小陆全程共用了1.5 h;(3)小李与小陆相遇后, 小李的速度小于小陆的速度;
(4)小李在途中停留了0.5 h.
其中正确的有 (A)
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
9(2024·杭州质检)在学习过一次函数后,小星准备利用已有知识探索函数y=|x+1|的图象与性质,通过列表、描点、连线,他得到了此图象,图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,则下列说法正确的有 (C)
①点A的坐标是(1,0);②函数图象是一个轴对称图形;③y随着x的增大而增大;④该函数有最小值,最小值为0;⑤∠BAO=45°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10(2024·宁波期末)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO,点C为x轴正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.下列结论正确的有 (B)
①△OBC≌△ABD;②∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变;
③点E的位置不随着点C位置的变化而变化,点E的坐标是(0,);
④当点C的坐标为(m,0)(m>1)时,四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为S=m2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票,买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式为 y=6-0.8x ,最多可以买 7 枚.
12如图,ax+b-kx=0的解是 x=-3 .
13有一种动画设计,屏幕上的△ABC是黑色区域(含三角形的边界).其中A(-1,1),B(2,1),C(1,3).用信号枪沿直线y=kx-2发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的k的取值范围是 k≤-3或k≥ .
14(2024·恩施质检)直线y=kx-2k+3恒过一定点,则该点的坐标是 (2,3) .平面直角坐标系中有三点A(-1,0),B(2,3),C(5,0),若该直线y=kx-2k+3将△ABC分成左右面积之比为1∶2的两部分,则k的值是 3 .
15在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,则PA+PB的最小值为 .
16(2024·海口质检)如图,在坐标轴上取点A1(2,0),作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1,作等腰直角三角形A1B1A2;又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x于点B2,作等腰直角三角形A2B2A3…,如此继续,则点A2 025的坐标是 (2×32 024,0) .
三、解答题(共52分)
17(6分)某种型号汽车油箱容量为40 L,每行驶100 km耗油10 L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x(km),行驶过程中油箱内剩余油量为y(L).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)为了有效延长汽车使用寿命,厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的,按此建议,求该辆汽车最多行驶的路程.
【解析】(1)由题意可知:y=40-×10,即y=-0.1x+40(0≤x≤400),
所以y与x之间的函数表达式:y=-0.1x+40(0≤x≤400).
(2)因为油箱内剩余油量不低于油箱容量的,所以y≥40×=10,则-0.1x+40≥10.
所以0≤x≤300,故该辆汽车最多行驶的路程是300 km.
18(8分)某食品加工厂需要一批食品包装盒,供应这种包装盒有两种方案可供选择:
方案一:从包装盒加工厂直接购买,购买所需的费用y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系.
方案二:租赁机器自己加工,所需费用y2(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x满足如图2所示的函数关系.根据图象回答下列问题:
(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元
(2)方案二中租赁机器的费用是多少元 生产一个包装盒的费用是多少元
(3)请分别求出y1,y2与x的函数关系式.
(4)如果你是决策者,你认为应该选择哪种方案更省钱 并说明理由.
【解析】(1)500÷100=5,
所以方案一的盒子单价为5元.
(2)根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20 000元,
盒子的单价为(30 000-20 000)÷4 000=2.5,
故盒子的单价为2.5元.
(3)设题图1中的函数关系式为y1=k1x,
由图象知函数经过点(100,500),
所以500=100k1,
解得k1=5,
所以函数的关系式为y1=5x;
设题图2中的函数关系式为y2=k2x+b,
由图象知道函数的图象经过点(0,20 000)和(4 000,30 000),
所以
解得
所以函数的关系式为y2=2.5x+20 000.
(4)令5x=2.5x+20 000,
解得x=8 000,
所以当x=8 000时,两种方案同样省钱;
当0当x>8 000时,选择方案二更省钱.
19(8分)(2024·雅安质检)如图1,甲、乙两车分别从相距480千米的A,B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,并以各自的速度匀速行驶,甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地,两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图2,结合图象信息解答下列问题:
(1)乙车的速度是________千米/时,乙车行驶的时间t=________小时;
(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中,甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式;
(3)求甲车出发多长时间两车相距60千米.
【解析】(1)因为乙车比甲车先出发1小时,由题图可知乙车行驶了80千米,
所以乙车速度为80千米/时,乙车行驶全程的时间t=480÷80=6(小时).
答案:80 6
(2)根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时,
因为甲车到达C地后因有事立即按原路原速返回A地,
所以结合题干图象可知,当x=时,y=300;
当x=5时,y=0.
设甲车从C地按原路原速返回A地,即≤x≤5时,
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为y=kx+b,
将(,300),(5,0)代入函数关系式得,解得,
故甲车从C地按原路原速返回A地时,
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为y=-120x+600(≤x≤5).
(3)由题意可知甲车的速度为=120(千米/时),
设甲车出发m小时两车相距60千米,有以下三种情况:
①120m+80(m+1)+60=480,
解得m=1.7;
②120m+80(m+1)-60=480,
解得m=2.3;
③120(m-2.5)+60=80(m+1)-180,解得m=3.5,
所以甲车出发1.7小时或2.3小时或3.5小时时两车相距60千米.
20(8分)杨嫂在再就业中心的扶持下,创办了“爱家”报刊零售点,对经营的某种晚报,杨嫂提供了如下信息:
①买进每份0.20元,卖出0.30元;
②在一个月内(以30天计),其中有20天每天可以卖出200份,其余的10天每天就只能卖出120份;
③一个月内,每天从报社买进的报纸份数必须相同,当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给报社.
(1)填表:
一个月每天买进该晚报的份数 100 150
当月利润(元)
(2)设每天从报社买进晚报x份(120≤x≤200)时,月利润为y元,试写出y和x的函数关系式,并求月利润的最大值.
【解析】(1)一个月每天买进该晚报的份数为100时,30×(0.30-0.20)×100=300(元).
一个月每天买进该晚报的份数为150时,20×(0.30-0.20)×150+10×(0.30-0.20)×120-10×(0.20-0.10)×(150-120)=390(元).
答案:300 390
(2)当每天从报社买进晚报x份(120≤x≤200且为整数)时,
y=20(0.30-0.20)x+10×(0.30-0.20)×120-10(x-120)(0.20-0.10)=x+240.
当x取最大值时,y取到最大值.
x的最大值为200,所以y=200+240=440.
月利润的最大值为440元.
21(10分)在平面直角坐标系中,对于点P(x,y)和P'给出如下定义:
若x≥0,则点P'(x,y+2);若x<0,则点P'(x,-y+2),则称P'是P的“友好点”.例如:点(1,2)的“友好点”为点(1,4).
(1)点(-1,2)的“友好点”的坐标为________.
(2)若点P'(m,4m+2)是函数y=2x+2图象上点P的“友好点”,求点P的坐标.
(3)点P为直线y=2x+2上的动点,当x≥0时,它的“友好点”P'所形成的图象如图所示(实线部分含实心点).请补全当x<0时,点P的“友好点”P'所形成的图象.
【解析】(1)因为-1<0,
所以点(-1,2)的“友好点”的坐标为(-1,0).
答案:(-1,0)
(2)当m≥0时,点P'(m,4m+2)是点P(m,4m)的“友好点”,
所以4m=2m+2,得m=1,
所以点P的坐标为(1,4);
当m<0时,点P'(m,4m+2)是点P(m,-4m)的“友好点”,
所以-4m=2m+2,得m=-,
所以点P的坐标为(-,).
(3)由题意可得,
点P为(x,2x+2),则x≥0时,它的“友好点”是点(x,2x+4),
当x<0时,点P为(x,2x+2),“友好点”是点(x,-2x),
所以当x<0时,点P的“友好点”P'所形成的图象如图所示.
22(12分)如图1,平面直角坐标系中,一次函数y=x+3图象分别交x轴、y轴于点A,B,一次函数y=-x+b的图象经过点B,并与x轴交于点C,点P是直线AB上的一个动点.
(1)求b的值与点C的坐标.
(2)如图2,过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,垂足为点H.探究直线AB上是否存在点P,使PQ=BC 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)探究x轴上是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)在y=x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=-6,
所以A(-6,0),B(0,3),
把B(0,3)代入y=-x+b得3=-0+b,
所以b=3.
所以y=-x+3,
在y=-x+3中,令y=0得x=3,
所以C(3,0).
所以b的值为3,点C的坐标为(3,0).
(2)存在点P,使PQ=BC,理由如下:
因为B(0,3),C(3,0),
所以BC==3.
设P(m,m+3),则Q(m,-m+3),
所以PQ==,
所以=3,
解得m=2或m=-2,
所以P(2,+3)或(-2,-+3).
(3)x轴上存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形,理由如下:
设M(t,0),
又A(-6,0),B(0,3),
所以AM2=(t+6)2,BM2=t2+9,AB2=45,
①当AM=BM时,(t+6)2=t2+9,
解得t=-,
所以M(-,0);
②当AM=AB时,(t+6)2=45,
解得t=3-6或t=-3-6,
所以M(3-6,0)或(-3-6,0);
③当BM=AB时,t2+9=45,
解得t=6或t=-6(此时M与A重合,舍去),
所以M(6,0).
综上所述,M的坐标为(-,0)或(3-6,0)或(-3-6,0)或(6,0).第四章 一次函数
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2024·济南质检)下列各曲线中,不表示y是x的函数的是 ( )
2若点P在一次函数y=-x+4的图象上,则点P一定不在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3(2023·临夏州中考)若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为 ( )
A.-2 B.-1 C.- D.2
4若点(m,n)在坐标系中的第四象限,则一次函数y=(m+2)x+n-4的图象一定不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5(2024·牡丹江质检)若a<-1,则一次函数y=(a+1)x+1-a的图象可能是 ( )
6已知点A(,m),B(,n)在一次函数y=2x+1的图象上,则m与n的大小关系是 ( )
A.m>n B.m=n C.m7(2024·济宁质检)如图,在等边三角形ABO中,边OA在x轴上,点A的坐标为(-m,0),直线y=-x+2与x轴交于点C,与y轴交于点D,将△ABO沿x轴向右平移3个单位,点B的对应点B'恰好落在直线CD上,则点B'的坐标为 ( )
A.(2,) B.(3,) C.(2,2) D.(2,2)
8小李与小陆从A地出发, 骑自行车沿同一条路行驶到B地, 他们离出发地的距离S(单位:km)和行驶时间t(单位:h)之间的函数关系的图象如图所示, 根据图中提供的信息, 有下列说法:
(1)他们都行驶了20 km;(2)小陆全程共用了1.5 h;(3)小李与小陆相遇后, 小李的速度小于小陆的速度;
(4)小李在途中停留了0.5 h.
其中正确的有 ( )
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
9(2024·杭州质检)在学习过一次函数后,小星准备利用已有知识探索函数y=|x+1|的图象与性质,通过列表、描点、连线,他得到了此图象,图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,则下列说法正确的有 ( )
①点A的坐标是(1,0);②函数图象是一个轴对称图形;③y随着x的增大而增大;④该函数有最小值,最小值为0;⑤∠BAO=45°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10(2024·宁波期末)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO,点C为x轴正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.下列结论正确的有 ( )
①△OBC≌△ABD;②∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变;
③点E的位置不随着点C位置的变化而变化,点E的坐标是(0,);
④当点C的坐标为(m,0)(m>1)时,四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为S=m2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票,买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式为,最多可以买枚.
12如图,ax+b-kx=0的解是.
13有一种动画设计,屏幕上的△ABC是黑色区域(含三角形的边界).其中A(-1,1),B(2,1),C(1,3).用信号枪沿直线y=kx-2发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的k的取值范围是.
14(2024·恩施质检)直线y=kx-2k+3恒过一定点,则该点的坐标是.平面直角坐标系中有三点A(-1,0),B(2,3),C(5,0),若该直线y=kx-2k+3将△ABC分成左右面积之比为1∶2的两部分,则k的值是.
15在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,则PA+PB的最小值为.
16(2024·海口质检)如图,在坐标轴上取点A1(2,0),作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1,作等腰直角三角形A1B1A2;又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x于点B2,作等腰直角三角形A2B2A3…,如此继续,则点A2 025的坐标是.
三、解答题(共52分)
17(6分)某种型号汽车油箱容量为40 L,每行驶100 km耗油10 L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x(km),行驶过程中油箱内剩余油量为y( ).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)为了有效延长汽车使用寿命,厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的,按此建议,求该辆汽车最多行驶的路程.
18(8分)某食品加工厂需要一批食品包装盒,供应这种包装盒有两种方案可供选择:
方案一:从包装盒加工厂直接购买,购买所需的费用y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系.
方案二:租赁机器自己加工,所需费用y2(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x满足如图2所示的函数关系.根据图象回答下列问题:
(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元
(2)方案二中租赁机器的费用是多少元 生产一个包装盒的费用是多少元
(3)请分别求出y1,y2与x的函数关系式.
(4)如果你是决策者,你认为应该选择哪种方案更省钱 并说明理由.
19(8分)(2024·雅安质检)如图1,甲、乙两车分别从相距480千米的A,B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,并以各自的速度匀速行驶,甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地,两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图2,结合图象信息解答下列问题:
(1)乙车的速度是千米/时,乙车行驶的时间t=小时;
(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中,甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式;
(3)求甲车出发多长时间两车相距60千米.
(1)因为乙车比甲车先出发1小时,由题图可知乙车行驶了80千米,
所以乙车速度为80千米/时,乙车行驶全程的时间t=480÷80=6(小时).
.
20(8分)杨嫂在再就业中心的扶持下,创办了“爱家”报刊零售点,对经营的某种晚报,杨嫂提供了如下信息:
①买进每份0.20元,卖出0.30元;
②在一个月内(以30天计),其中有20天每天可以卖出200份,其余的10天每天就只能卖出120份;
③一个月内,每天从报社买进的报纸份数必须相同,当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给报社.
(1)填表:
一个月每天买进该晚报的份数 100 150
当月利润(元)
(2)设每天从报社买进晚报x份(120≤x≤200)时,月利润为y元,试写出y和x的函数关系式,并求月利润的最大值.
21(10分)在平面直角坐标系中,对于点P(x,y)和P'给出如下定义:
若x≥0,则点P'(x,y+2);若x<0,则点P'(x,-y+2),则称P'是P的“友好点”.例如:点(1,2)的“友好点”为点(1,4).
(1)点(-1,2)的“友好点”的坐标为.
(2)若点P'(m,4m+2)是函数y=2x+2图象上点P的“友好点”,求点P的坐标.
(3)点P为直线y=2x+2上的动点,当x≥0时,它的“友好点”P'所形成的图象如图所示(实线部分含实心点).请补全当x<0时,点P的“友好点”P'所形成的图象.
(1)因为-1<0,
所以点(-1,2)的“友好点”的坐标为(-1,0).
22(12分)如图1,平面直角坐标系中,一次函数y=x+3图象分别交x轴、y轴于点A,B,一次函数y=-x+b的图象经过点B,并与x轴交于点C,点P是直线AB上的一个动点.
(1)求b的值与点C的坐标.
(2)如图2,过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,垂足为点H.探究直线AB上是否存在点P,使PQ=BC 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)探究x轴上是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由.
