第五章 二元一次方程组
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列是二元一次方程的是 ( )
A.x-1=2x B.x= C.x-2y=0 D.x-y
2用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是 ( )
A.①×2-② B.①+②×10 C.①×(-2)+② D.①-②×10
3方程组的解为 ( )
A. B.
C. D.
4某公司市场营销部的个人收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系,其图象如图所示,营销人员没有销售量时最低收入是 ( )
A.1 000 B.2 000 C.3 000 D.4 000
5《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”,其原文是:甲乙隔沟牧放,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上;乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌.这个题目的意思是:甲、乙两个牧人隔着山沟放羊,两人都在暗思对方有多少只羊,甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙对甲说:“我若得你9只羊,我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊,乙有y只羊,根据题意列出二元一次方程组为 ( )
A. B.
C. D.
6如图,已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P,点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
7已知关于x,y的二元一次方程组无解,则一次函数y=kx-1的图象不经过的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案,已知点A的坐标为(-14,6),则点B的坐标是 ( )
A.(1,-7) B.(-1,7) C.(2,-10) D.(-2,10)
9已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且a,b满足|2a-3b-7|+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为 ( )
A.7 B.11或7 C.11 D.7或10
10(2024·宁波期末)我们知道自行车一般是由后轮驱动,因此,后轮胎的磨损要超过前轮胎,假设前轮行驶5 000千米报废,后轮行驶3 000千米报废,如果在自行车行驶若干千米后,将前后轮进行调换,那么这对轮胎最多可以行驶 ( )
A.4 000千米 B.3 750千米
C.4 250千米 D.3 250千米
二、填空题(每小题3分,共18分)
11若二元一次方程组的解为则a-b= .
12若方程组的解也是2x-ay=14的解,则a= .
13(2024·杭州期末)已知方程组的解是,则方程组的解是 .
14某篮球选手在一场比赛中24投16中,拿下28分,其中三分球三投全中,那么该选手两分球投中 球,罚球投中 球.
15某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况,下面是调查后小明与其他两位同学进行交流的情景.
小明说:“去年两超市销售额共为150万元,今年两超市销售额共为170万元.”
小亮说:“甲超市销售额今年比去年增加10%.”
小颖说:“乙超市销售额今年比去年增加20%.”
根据他们的对话,得出今年甲超市销售额为 万元.
16已知方程组的解是,则方程组的解是 .
三、解答题(共52分)
17(8分)解下列方程组:
(1); (2).
18(8分)(2024·济宁期末)已知方程组与有相同的解,求a,b的值.
19(8分)亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若只单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只单独调配22座新能源客车,则用车数量将增加5辆,并空出10个座位.
(1)计划调配36座新能源客车多少辆 该大学共有多少名志愿者 (用二元一次方程组解答)
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则36座客车需要 辆,22座客车需要 辆.
20(8分)(2024·重庆质检)某企业生产A,B两种型号的设备共500台,销往甲、乙两个地区,在两地销售可获得的利润情况如表:
项目 A型设备(万元/台) B型设备(万元/台)
甲地区销售可获得的利润 1.8 1.3
乙地区销售可获得的利润 1.6 1.2
该企业如果将生产的A,B两种型号的设备全部在甲地区销售,那么可获得利润750万元.
(1)求A,B两种型号设备各生产了多少台;
(2)若销往甲地区x台A型设备,余下的所有设备销往乙地区,写出销售这500台设备可获得的利润y(万元)与x之间的函数表达式,并求利润的最大值.
21(10分) 阅读材料,回答以下问题:
我们知道,二元一次方程有无数个解.在平面直角坐标系中,我们标出以这个方程的解为坐标的点,就会发现这些点在同一条直线上.
例如:是方程x-y=-1的一个解,对应点M(1,2).如图所示,我们在平面直角坐标系中将其标出,另外方程的解还对应点(2,3),(3,4),……将这些点连起来正是一条直线,反过来,在这条直线上任取一点,这个点的坐标也是方程x-y=-1的解,所以我们就把这条直线叫做方程x-y=-1的图象.
一般地,任意二元一次方程解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象.请问:
(1)已知A(1,1),B(-3,4),C(,2),则点 (填“A”“B”或“C”)在方程2x-y=-1的图象上.
(2)求方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标.
(3)已知以关于x,y的方程组的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上,当t>m时,化简-|1-7t|.
22(10分)(2024·济南质检)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作正方形ABCD.
(1)求点A,B的坐标,并求边AB的长;
(2)求点C和点D的坐标;
(3)在x轴上找一点M,使△MDB的周长最小,请求出M点的坐标,并直接写出△MDB的周长最小值.
【附加题】(10分)
定义:关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c)中的常数项c与未知数系数a,b之一互换,得到的方程叫“交换系数方程”,例如:ax+by=c的交换系数方程为cx+by=a或ax+cy=b.
(1)方程3x+2y=4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ;
(2)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程mx+ny=p的一个解,求代数式(m+n)m-p(n+p)+2 023的值.第五章 二元一次方程组
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列是二元一次方程的是 (C)
A.x-1=2x B.x= C.x-2y=0 D.x-y
2用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是 (D)
A.①×2-② B.①+②×10 C.①×(-2)+② D.①-②×10
3方程组的解为 (B)
A. B.
C. D.
4某公司市场营销部的个人收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系,其图象如图所示,营销人员没有销售量时最低收入是 (B)
A.1 000 B.2 000 C.3 000 D.4 000
5《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”,其原文是:甲乙隔沟牧放,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上;乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌.这个题目的意思是:甲、乙两个牧人隔着山沟放羊,两人都在暗思对方有多少只羊,甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙对甲说:“我若得你9只羊,我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊,乙有y只羊,根据题意列出二元一次方程组为 (B)
A. B.
C. D.
6如图,已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P,点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组的解是 (A)
A. B.
C. D.
7已知关于x,y的二元一次方程组无解,则一次函数y=kx-1的图象不经过的象限是 (B)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案,已知点A的坐标为(-14,6),则点B的坐标是 (D)
A.(1,-7) B.(-1,7) C.(2,-10) D.(-2,10)
9已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且a,b满足|2a-3b-7|+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为 (C)
A.7 B.11或7 C.11 D.7或10
10(2024·宁波期末)我们知道自行车一般是由后轮驱动,因此,后轮胎的磨损要超过前轮胎,假设前轮行驶5 000千米报废,后轮行驶3 000千米报废,如果在自行车行驶若干千米后,将前后轮进行调换,那么这对轮胎最多可以行驶 (B)
A.4 000千米 B.3 750千米
C.4 250千米 D.3 250千米
二、填空题(每小题3分,共18分)
11若二元一次方程组的解为则a-b= 2 .
12若方程组的解也是2x-ay=14的解,则a= -4 .
13(2024·杭州期末)已知方程组的解是,则方程组的解是 .
14某篮球选手在一场比赛中24投16中,拿下28分,其中三分球三投全中,那么该选手两分球投中 6 球,罚球投中 7 球.
15某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况,下面是调查后小明与其他两位同学进行交流的情景.
小明说:“去年两超市销售额共为150万元,今年两超市销售额共为170万元.”
小亮说:“甲超市销售额今年比去年增加10%.”
小颖说:“乙超市销售额今年比去年增加20%.”
根据他们的对话,得出今年甲超市销售额为 110 万元.
16已知方程组的解是,则方程组的解是 .
三、解答题(共52分)
17(8分)解下列方程组:
(1); (2).
【解析】(1),将②代入①,得2x-18x=16,
解得x=-1,将x=-1代入②,得y=-6,
所以原方程组的解为;
(2),①×3-②×2,得29y=-29,
解得y=-1,将y=-1代入①,得2x-5=-1,
解得x=2,所以原方程组的解为.
18(8分)(2024·济宁期末)已知方程组与有相同的解,求a,b的值.
【解析】将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立,组成新的方程组.
解这个方程组,得.
将代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程,得-6a-45=4,-30-9b=1.
解得a=-,b=-.
19(8分)亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若只单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只单独调配22座新能源客车,则用车数量将增加5辆,并空出10个座位.
(1)计划调配36座新能源客车多少辆 该大学共有多少名志愿者 (用二元一次方程组解答)
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则36座客车需要_________辆,22座客车需要________辆.
【解析】(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者,则需调配22座新能源客车(x+5)辆,
依题意,得,解得.
答:计划调配36座新能源客车7辆,该大学共有254名志愿者.
(2)设需调配36座客车m辆,22座客车n辆,
依题意,得36m+22n=254,所以n=.
又因为m,n均为正整数,所以.
需调配36座客车4辆,22座客车5辆.
答案:4 5
20(8分)(2024·重庆质检)某企业生产A,B两种型号的设备共500台,销往甲、乙两个地区,在两地销售可获得的利润情况如表:
项目 A型设备(万元/台) B型设备(万元/台)
甲地区销售可获得的利润 1.8 1.3
乙地区销售可获得的利润 1.6 1.2
该企业如果将生产的A,B两种型号的设备全部在甲地区销售,那么可获得利润750万元.
(1)求A,B两种型号设备各生产了多少台;
(2)若销往甲地区x台A型设备,余下的所有设备销往乙地区,写出销售这500台设备可获得的利润y(万元)与x之间的函数表达式,并求利润的最大值.
【解析】(1)设A种型号的设备生产了a台,B种型号的设备生产了b台.
由题意得,解得.
答:A种型号设备生产了200台,B种型号设备生产了300台.
(2)由题意得y=1.8x+1.6(200-x)+300×1.2,即y=0.2x+680(0因为0.2>0,所以y随x的增大而增大,
所以当x=200时,利润的最大值为0.2×200+680=720(万元).
答:利润y(万元)与x之间的函数表达式为y=0.2x+680(021(10分)(新中考·阅读理解)阅读材料,回答以下问题:
我们知道,二元一次方程有无数个解.在平面直角坐标系中,我们标出以这个方程的解为坐标的点,就会发现这些点在同一条直线上.
例如:是方程x-y=-1的一个解,对应点M(1,2).如图所示,我们在平面直角坐标系中将其标出,另外方程的解还对应点(2,3),(3,4),……将这些点连起来正是一条直线,反过来,在这条直线上任取一点,这个点的坐标也是方程x-y=-1的解,所以我们就把这条直线叫做方程x-y=-1的图象.
一般地,任意二元一次方程解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象.请问:
(1)已知A(1,1),B(-3,4),C(,2),则点________(填“A”“B”或“C”)在方程2x-y=-1的图象上.
(2)求方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标.
(3)已知以关于x,y的方程组的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上,当t>m时,化简-|1-7t|.
【解析】(1)如图观察图象可知,点C在方程2x-y=-1的图象上,
答案:C
(2)由,解得,
所以方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标为(3,1).
(3)由,解得,
因为x+y=5,所以+=5,所以m=,
当t>时,-|1-7t|=t+2+1-7t=3-6t.
22(10分)(2024·济南质检)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作正方形ABCD.
(1)求点A,B的坐标,并求边AB的长;
(2)求点C和点D的坐标;
(3)在x轴上找一点M,使△MDB的周长最小,请求出M点的坐标,并直接写出△MDB的周长最小值.
【解析】(1)对于直线y=x+2,
令x=0,得到y=2;令y=0,得到x=-4,
所以A(-4,0),B(0,2),即OA=4,OB=2,则AB==2;
(2)过D作DE⊥x轴,过C作CF⊥y轴,
因为四边形ABCD为正方形,
所以AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=∠BFC=∠DEA=∠AOB=90°,
因为∠FBC+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,∠DAE+∠BAO=90°,∠EDA+∠DAE=90°,
所以∠FBC=∠OAB=∠EDA,
所以△DEA≌△AOB≌△BFC(AAS),
所以AE=OB=CF=2,DE=OA=FB=4,
即OE=OA+AE=4+2=6,OF=OB+BF=2+4=6,则D(-6,4),C(-2,6);
(3)如图所示,连接BD,作点B关于x轴的对称点B',连接DB'交x轴于点M,此时BM+MD=MB'+DM,当D,M,B'三点共线时,DB'最小,即△BDM周长最小,
因为B(0,2),所以B'(0,-2),
设直线DB'的表达式为y=kx+b,
把D(-6,4),B'(0,-2)代入得,
解得k=-1,b=-2,
所以直线DB'表达式为y=-x-2,
令y=0,得到x=-2,
则M的坐标为(-2,0),
此时△MDB的周长最小值为2+6.
【附加题】(10分)
定义:关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c)中的常数项c与未知数系数a,b之一互换,得到的方程叫“交换系数方程”,例如:ax+by=c的交换系数方程为cx+by=a或ax+cy=b.
(1)方程3x+2y=4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为_________;
(2)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程mx+ny=p的一个解,求代数式(m+n)m-p(n+p)+2 023的值.
【解析】(1)因为方程3x+2y=4的“交换系数方程”为4x+2y=3或3x+4y=2,
所以方程3x+2y=4与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②.
所以方程组①的解为,方程组②的解为.
答案:或
(2)方程ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②.
所以方程组①的解为.当a+b+c=0时,方程组①的解为;
方程组②的解为.当a+b+c=0时,方程组②的解为.
所以方程ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组解为.
将代入mx+ny=p,得-(m+n)=p.
所以(m+n)m-p(n+p)+2 023=-pm-pn-p2+2 023=-p(m+n)-p2+2 023=(-p)2-p2+2 023=2 023.
