7 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
知识点1 二次根式的概念
1下列各式中,是二次根式的是 (C)
A.π B. C. D.
2下列式子一定是二次根式的是 (C)
A. B.
C. D.
3当a满足 a≤0 时,≥a成立.
知识点2 最简二次根式
4下列各式:①,②,③,④中,最简二次根式有 (A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点3 二次根式有意义的条件
5要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是 (C)
A.x≤-3 B.x>3 C.x≥3 D.x=3
6设x,y为实数,且y=+-4,则|x-y|的值是 (C)
A.2 B.4 C.6 D.8
知识点4 二次根式化简
7下列计算正确的是 (C)
A.=±4 B.=-2 023
C.= D.-=3
8化简:(1)的结果是 .
(2)= .
9把下列二次根式化成最简二次根式:
(1);(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);(8)5;(9)6;
(10)(a>0);(11)(n<0).
【解析】(1)==4;
(2)==2;
(3)===;
(4)==;
(5)==;
(6)==;
(7)===;
(8)5=5×2=10;
(9)6=6×=6×=;
(10)(a>0)=5a;
(11)(n<0)=×=-.
练易错 绝对值化简容易判断符号错误
10计算:-14+|-|-+(-)-2.
【解析】-14+|-|-+(-)-2
=-1+--+9
=8-.
11化简二次根式(x<0),得 (C)
A. B.
C.- D.-
12下列说法:①-a表示负数;②绝对值等于本身的数是非负数;③若ab>0,a+b<0,则a<0,b<0;④,0,,a都是单项式.其中正确的有 (B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13已知2,5,m是某三角形三边的长,则+= 4 .
14新中考·过程性学习阅读与思考
请仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
==,===3+,
像上述解题过程中,与,-与+相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程被称为分母有理化.
任务:(1)的有理化因式_________ ;-2的有理化因式是______________.
(2)写出下列式子分母有理化的结果:
①=________;②=________.
(3)计算:+++…+.
【解析】(1)的有理化因式是,-2的有理化因式是+2;
答案:(答案不唯一) +2(答案不唯一)
(2)①==,②==-1;
答案: -1
(3)原式=-1+-+-+…+-=-1=10-1=9.
15新趋势·创新意识
【发现问题】
一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn·,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样可以把形如a+b的式子化为平方式.
【初步探索】
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得:a=________,b=________.
【综合运用】
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:_______+_____
=(_______+_____ )2;
(3)化简-.
【解析】(1)因为a+b=(m+n)2,
(m+n)2=m2+2mn+3n2,
所以a=m2+3n2,b=2mn.
答案:m2+3n2 2mn
(2)设a+b=(m+n)2,
则(m+n)2=m2+2mn+5n2,
所以a=m2+5n2,b=2mn.
若令m=1,n=2,则a=21,b=4.
答案:21 4 1 2(答案不唯一)
(3)-
=-
=-
=-
=-
=++-
=+.第2课时 二次根式的四则运算
知识点1 同类二次根式
1下列根式中,与是同类二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2(2024·武汉质检)若最简二次根式与可以合并,则m的值是 ( )
A.- B.2 C.7 D.
知识点2 二次根式的性质
3下列计算正确的是 ( )
A.+=
B.3-=2
C.2÷=2
D.×=
4如图,已知每个小方格的边长为1,A,B,C三点都在小方格的格点上,则AB边上的高等于 ( )
A. B.
C. D.
5[教材P46习题2.10T4变式]已知=a,=b,用a,b表示= .
6计算:(+)(-)的结果为 .
知识点3 二次根式的符号化简
7(2024·广州质检)把x根号外的因式移到根号内,得 ( )
A. B.
C.- D.-
知识点4 二次根式的混合运算
8实数a在数轴上的位置如图所示,则化简+结果为 ( )
A.7 B.-7
C.2a-15 D.无法确定
9计算
(1)-+;
(2)×-(+)(-);
(3)(3+-4÷;
(4)×(+)-;
(5)×-;
(6)6×+(π-2019)0-|5-|-.
练易错 运算顺序错误
103÷×的结果为 .
11如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12 cm2和16 cm2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为 ( )
A.(8-4) cm2 B.(16-8) cm2
C.(8-12) cm2 D.(4-2) cm2
12电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km)之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,如果两个电视塔的高分别是h1 km,h2 km,那么它们的传播半径之比是,则式子化简为 ( )
A. B. C. D.
13(2024·诸暨质检)我们把形如a+b(a,b为有理数,为最简二次根式)的数叫做型无理数,如3+1是型无理数,则(-)2是 ( )
A.型无理数 B.型无理数
C.型无理数 D.型无理数
14实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+1|-+= .
15(2024·上海质检)计算:·(-÷(a>0).
16新趋势·推理能力、创新意识
我们将(+)、(-)称为一对“对偶式”,因为(+)(-)=-=a-b,所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(+)和(-)中的“”去掉,于是二次根式除法可以这样,如==,==3+2.像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)比较大小(用“>”“<”或“=”填空);
(2)已知x=,y=,求的值;
(3)计算:+++…+.知识点1 二次根式的化简求值
1已知a=-1,则代数式a2+2a+1的值是 ( )
A.2 B.1+ C.-2 D.2
2计算下列各题:
(1)2+5+;
(2)(+-2)-(-.
知识点2 二次根式的应用
3(2024·福州期末)如图,将长方形分成四个区域,其中A,B两正方形区域的面积分别是1和6,则剩余区域的面积是 .
4(2024·杭州期中)如图,从一个大正方形中裁去面积为8 cm2和18 cm2的两个小正方形,则留下的阴影部分面积和为 .
知识点3 二次根式的混合运算
5下列运算正确的是 ( )
A.+=
B.2×3=6
C.(+)2=10
D.(+)÷=+
6已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简()2+的结果为 .
7计算(-)2 022(+)2 023的结果是 .
8如果=a+b,其中a,b为有理数,那么a+b等于 .
9计算:
(1)+-×+÷;
(2)(3+2)(3-2)-(-)2.
练易错 等腰三角形不确定腰的情况下忽视分类讨论
10等腰三角形的一边长为2,周长为4+7,求这个等腰三角形的腰长.
11已知a=3-,b=2+,则代数式(a2-6a+9)(b2-4b+4)的值是 ( )
A.20 B.16 C.8 D.4
12如果f( )=,并且f()表示当x=时的值,即f()==,f(表示当x=时的值,即f()==,那么f()+f()+f()+f()+f()+…+f()+f()的值是 ( )
A.n- B.n- C.n- D.n+
13如果a=-2,则+= .
14化简:m÷×.
15新趋势·推理能力、模型观念
细心观察下图,认真分析各式,然后解答下列问题:
O=()2+1=2,S1=(S1是Rt△OA1A2的面积);
O=()2+1=3,S2=(S2是Rt△OA2A3的面积);
O=()2+1=4,S3=(S3是Rt△OA3A4的面积);
…
(1)请用含有n(n为正整数)的式子填空:O= ,Sn= ;
(2)求+++…+的值;
(3)在线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022中,长度为正整数的线段共有 条. 第3课时 二次根式的混合运算
知识点1 二次根式的化简求值
1已知a=-1,则代数式a2+2a+1的值是 (D)
A.2 B.1+ C.-2 D.2
2计算下列各题:
(1)2+5+;
(2)(+-2)-(-.
【解析】(1)2+5+
=2×3+5×+×4
=6+2+10
=18.
(2)原式=4+--+=4.
知识点2 二次根式的应用
3(2024·福州期末)如图,将长方形分成四个区域,其中A,B两正方形区域的面积分别是1和6,则剩余区域的面积是 -1 .
4(2024·杭州期中)如图,从一个大正方形中裁去面积为8 cm2和18 cm2的两个小正方形,则留下的阴影部分面积和为 24 cm2 .
知识点3 二次根式的混合运算
5下列运算正确的是 (D)
A.+=
B.2×3=6
C.(+)2=10
D.(+)÷=+
6已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简()2+的结果为 a+1 .
7计算(-)2 022(+)2 023的结果是 + .
8如果=a+b,其中a,b为有理数,那么a+b等于 3 .
9计算:
(1)+-×+÷;
(2)(3+2)(3-2)-(-)2.
【解析】(1)原式=4+-+2
=7-;
(2)原式=18-12-(5-2+3)
=18-12-8+2
=-2+2.
练易错 等腰三角形不确定腰的情况下忽视分类讨论
10等腰三角形的一边长为2,周长为4+7,求这个等腰三角形的腰长.
【解析】当2是腰长时,底边是4+7-2×2=7,
因为2+2=4<7,
所以此时不能组成三角形;
当2是底边时,腰长为(4+7-2)=+,
能组成三角形,
综上所述,这个等腰三角形的腰长为+.
11已知a=3-,b=2+,则代数式(a2-6a+9)(b2-4b+4)的值是 (D)
A.20 B.16 C.8 D.4
12如果f(x)=,并且f()表示当x=时的值,即f()==,f(表示当x=时的值,即f()==,那么f()+f()+f()+f()+f()+…+f()+f()的值是 (A)
A.n- B.n- C.n- D.n+
13如果a=-2,则+= +6 .
14化简:m÷×.
【解析】m÷×
=m××
=(-)2
=m+n-2.
15新趋势·推理能力、模型观念
细心观察下图,认真分析各式,然后解答下列问题:
O=()2+1=2,S1=(S1是Rt△OA1A2的面积);
O=()2+1=3,S2=(S2是Rt△OA2A3的面积);
O=()2+1=4,S3=(S3是Rt△OA3A4的面积);
…
(1)请用含有n(n为正整数)的式子填空:O=________,Sn=________;
(2)求+++…+的值;
(3)在线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022中,长度为正整数的线段共有________条.
【解析】(1)由已知条件可知O=n,Sn=;
答案:n
(2)原式
=+++…+,
=+++…+
=2×+++…+]
=2×(-+-+-+…+-)
=2×(-1)
=18.
(3)线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022的长分别是,,,,…,.
长度为正整数的数字分别是1,2,3,4,5,…,a,
因为442=1 936,452=2 025,
所以a=44,
所以线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022中,长度为正整数的线段共有44条.
答案:44第2课时 二次根式的四则运算
知识点1 同类二次根式
1下列根式中,与是同类二次根式的是 (D)
A. B. C. D.
2(2024·武汉质检)若最简二次根式与可以合并,则m的值是 (B)
A.- B.2 C.7 D.
知识点2 二次根式的性质
3下列计算正确的是 (B)
A.+=
B.3-=2
C.2÷=2
D.×=
4如图,已知每个小方格的边长为1,A,B,C三点都在小方格的格点上,则AB边上的高等于 (B)
A. B.
C. D.
5[教材P46习题2.10T4变式]已知=a,=b,用a,b表示= .
6计算:(+)(-)的结果为 3 .
知识点3 二次根式的符号化简
7(2024·广州质检)把x根号外的因式移到根号内,得 (D)
A. B.
C.- D.-
知识点4 二次根式的混合运算
8实数a在数轴上的位置如图所示,则化简+结果为 (A)
A.7 B.-7
C.2a-15 D.无法确定
9计算
(1)-+;
(2)×-(+)(-);
(3)(3+-4÷;
(4)×(+)-;
(5)×-;
(6)6×+(π-2019)0-|5-|-.
【解析】(1)原式=3-2+3
=+3;
(2)原式=-(5-3)=3-2=1;
(3)原式=(9+-2)÷4
=(9+-2)÷4
=8÷4=2;
(4)原式=2+1-(-)
=2+1-3+2=2;
(5)原式=3×-(1+3-2)
=2-4+2=4-4;
(6)原式=6×+1-(3-5)-4
=2+1-3+5-4=2-.
练易错 运算顺序错误
103÷×的结果为 1 .
11如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12 cm2和16 cm2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为 (C)
A.(8-4) cm2 B.(16-8) cm2
C.(8-12) cm2 D.(4-2) cm2
12电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km)之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,如果两个电视塔的高分别是h1 km,h2 km,那么它们的传播半径之比是,则式子化简为 (D)
A. B. C. D.
13(2024·诸暨质检)我们把形如a+b(a,b为有理数,为最简二次根式)的数叫做型无理数,如3+1是型无理数,则(-)2是 (A)
A.型无理数 B.型无理数
C.型无理数 D.型无理数
14实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+1|-+= 2 .
15(2024·上海质检)计算:·(-÷(a>0).
【解析】原式=-(··3)
=-=-·a2b2
=-4a2b.
16新趋势·推理能力、创新意识
我们将(+)、(-)称为一对“对偶式”,因为(+)(-)=-=a-b,所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(+)和(-)中的“”去掉,于是二次根式除法可以这样,如==,==3+2.像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)比较大小_______ (用“>”“<”或“=”填空);
(2)已知x=,y=,求的值;
(3)计算:+++…+.
【解析】(1)因为==,
==;
比较+2与+
因为>,2>,所以+2>+,
所以>;
答案:>
(2)因为x===5+4+4=9+4,
y===5-4+4=9-4,
所以x+y=9+4+9-4=18,
x-y=9+4-9+4=8,
xy=(9+4)(9-4)=81-80=1,
所以===;
(3)+++…+
=++
+…
+
=1-+-+-+…+-
=1-
=1-.7 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
知识点1 二次根式的概念
1下列各式中,是二次根式的是 ( )
A.π B. C. D.
2下列式子一定是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
3当a满足 时,≥a成立.
知识点2 最简二次根式
4下列各式:①,②,③,④中,最简二次根式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点3 二次根式有意义的条件
5要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≤-3 B.x>3 C.x≥3 D.x=3
6设x,y为实数,且y=+-4,则|x-y|的值是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
知识点4 二次根式化简
7下列计算正确的是 ( )
A.=±4 B.=-2 023
C.= D.-=3
8化简:(1)的结果是 .
(2)= .
9把下列二次根式化成最简二次根式:
(1);(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);(8)5;(9)6;
(10)(a>0);(11)(n<0).
练易错 绝对值化简容易判断符号错误
10计算:-14+|-|-+(-)-2.
11化简二次根式(x<0),得 ( )
A. B.
C.- D.-
12下列说法:①-a表示负数;②绝对值等于本身的数是非负数;③若ab>0,a+b<0,则a<0,b<0;④,0,,a都是单项式.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13已知2,5,m是某三角形三边的长,则+= .
14新中考·过程性学习阅读与思考
请仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
==,===3+,
像上述解题过程中,与,-与+相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程被称为分母有理化.
任务:(1)的有理化因式 ;-2的有理化因式是 .
(2)写出下列式子分母有理化的结果:
①= ;②= .
(3)计算:+++…+.
15新趋势·创新意识
【发现问题】
一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn·,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样可以把形如a+b的式子化为平方式.
【初步探索】
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得:a= ,b= .
【综合运用】
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空: + =( + )2;
(3)化简-.
